Theorem omp1eom 7093

Description: Adding one to ω. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
omp1eom	⊢ (ω ⊔ 1o) ≈ ω

Proof of Theorem omp1eom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4592	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		eqeq1 2184	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 = ∅ ↔ 𝑥 = ∅))
3		fveq2 5515	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (inr‘𝑦) = (inr‘𝑥))
4		unieq 3818	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ∪ 𝑦 = ∪ 𝑥)
5	4	fveq2d 5519	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (inl‘∪ 𝑦) = (inl‘∪ 𝑥))
6	2, 3, 5	ifbieq12d 3560	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦 = ∅, (inr‘𝑦), (inl‘∪ 𝑦)) = if(𝑥 = ∅, (inr‘𝑥), (inl‘∪ 𝑥)))
7	6	cbvmptv 4099	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ω ↦ if(𝑦 = ∅, (inr‘𝑦), (inl‘∪ 𝑦))) = (𝑥 ∈ ω ↦ if(𝑥 = ∅, (inr‘𝑥), (inl‘∪ 𝑥)))
8		suceq 4402	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → suc 𝑦 = suc 𝑥)
9	8	cbvmptv 4099	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ω ↦ suc 𝑦) = (𝑥 ∈ ω ↦ suc 𝑥)
10		eqid 2177	. . . 4 ⊢ case((𝑦 ∈ ω ↦ suc 𝑦), ( I ↾ 1o)) = case((𝑦 ∈ ω ↦ suc 𝑦), ( I ↾ 1o))
11	7, 9, 10	omp1eomlem 7092	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ω ↦ if(𝑦 = ∅, (inr‘𝑦), (inl‘∪ 𝑦))):ω–1-1-onto→(ω ⊔ 1o)
12		f1oeng 6756	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ (𝑦 ∈ ω ↦ if(𝑦 = ∅, (inr‘𝑦), (inl‘∪ 𝑦))):ω–1-1-onto→(ω ⊔ 1o)) → ω ≈ (ω ⊔ 1o))
13	1, 11, 12	mp2an 426	. 2 ⊢ ω ≈ (ω ⊔ 1o)
14	13	ensymi 6781	1 ⊢ (ω ⊔ 1o) ≈ ω

Syntax hints:   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737  ∅c0 3422  ifcif 3534  ∪ cuni 3809   class class class wbr 4003   ↦ cmpt 4064   I cid 4288  suc csuc 4365  ωcom 4589   ↾ cres 4628  –1-1-onto→wf1o 5215  ‘cfv 5216  1_oc1o 6409   ≈ cen 6737   ⊔ cdju 7035  inlcinl 7043  inrcinr 7044  casecdjucase 7081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-1o 6416  df-er 6534  df-en 6740  df-dju 7036  df-inl 7045  df-inr 7046  df-case 7082

This theorem is referenced by:  difinfsn  7098  sbthom  14710