Theorem omp1eom 7204

Description: Adding one to ω. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
omp1eom	⊢ (ω ⊔ 1o) ≈ ω

Proof of Theorem omp1eom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4645	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		eqeq1 2213	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 = ∅ ↔ 𝑥 = ∅))
3		fveq2 5583	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (inr‘𝑦) = (inr‘𝑥))
4		unieq 3861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ∪ 𝑦 = ∪ 𝑥)
5	4	fveq2d 5587	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (inl‘∪ 𝑦) = (inl‘∪ 𝑥))
6	2, 3, 5	ifbieq12d 3598	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦 = ∅, (inr‘𝑦), (inl‘∪ 𝑦)) = if(𝑥 = ∅, (inr‘𝑥), (inl‘∪ 𝑥)))
7	6	cbvmptv 4144	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ω ↦ if(𝑦 = ∅, (inr‘𝑦), (inl‘∪ 𝑦))) = (𝑥 ∈ ω ↦ if(𝑥 = ∅, (inr‘𝑥), (inl‘∪ 𝑥)))
8		suceq 4453	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → suc 𝑦 = suc 𝑥)
9	8	cbvmptv 4144	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ω ↦ suc 𝑦) = (𝑥 ∈ ω ↦ suc 𝑥)
10		eqid 2206	. . . 4 ⊢ case((𝑦 ∈ ω ↦ suc 𝑦), ( I ↾ 1o)) = case((𝑦 ∈ ω ↦ suc 𝑦), ( I ↾ 1o))
11	7, 9, 10	omp1eomlem 7203	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ω ↦ if(𝑦 = ∅, (inr‘𝑦), (inl‘∪ 𝑦))):ω–1-1-onto→(ω ⊔ 1o)
12		f1oeng 6855	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ (𝑦 ∈ ω ↦ if(𝑦 = ∅, (inr‘𝑦), (inl‘∪ 𝑦))):ω–1-1-onto→(ω ⊔ 1o)) → ω ≈ (ω ⊔ 1o))
13	1, 11, 12	mp2an 426	. 2 ⊢ ω ≈ (ω ⊔ 1o)
14	13	ensymi 6881	1 ⊢ (ω ⊔ 1o) ≈ ω

Syntax hints:   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773  ∅c0 3461  ifcif 3572  ∪ cuni 3852   class class class wbr 4047   ↦ cmpt 4109   I cid 4339  suc csuc 4416  ωcom 4642   ↾ cres 4681  –1-1-onto→wf1o 5275  ‘cfv 5276  1_oc1o 6502   ≈ cen 6832   ⊔ cdju 7146  inlcinl 7154  inrcinr 7155  casecdjucase 7192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-1o 6509  df-er 6627  df-en 6835  df-dju 7147  df-inl 7156  df-inr 7157  df-case 7193

This theorem is referenced by:  difinfsn  7209  sbthom  16039