Theorem omp1eom 7435

Description: Adding one to ω. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
omp1eom	⊢ (ω ⊔ 1o) ≈ ω

Proof of Theorem omp1eom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4740	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		eqeq1 2245	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 = ∅ ↔ 𝑥 = ∅))
3		fveq2 5695	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (inr‘𝑦) = (inr‘𝑥))
4		unieq 3944	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ∪ 𝑦 = ∪ 𝑥)
5	4	fveq2d 5699	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (inl‘∪ 𝑦) = (inl‘∪ 𝑥))
6	2, 3, 5	ifbieq12d 3667	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦 = ∅, (inr‘𝑦), (inl‘∪ 𝑦)) = if(𝑥 = ∅, (inr‘𝑥), (inl‘∪ 𝑥)))
7	6	cbvmptv 4227	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ω ↦ if(𝑦 = ∅, (inr‘𝑦), (inl‘∪ 𝑦))) = (𝑥 ∈ ω ↦ if(𝑥 = ∅, (inr‘𝑥), (inl‘∪ 𝑥)))
8		suceq 4547	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → suc 𝑦 = suc 𝑥)
9	8	cbvmptv 4227	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ω ↦ suc 𝑦) = (𝑥 ∈ ω ↦ suc 𝑥)
10		eqid 2238	. . . 4 ⊢ case((𝑦 ∈ ω ↦ suc 𝑦), ( I ↾ 1o)) = case((𝑦 ∈ ω ↦ suc 𝑦), ( I ↾ 1o))
11	7, 9, 10	omp1eomlem 7434	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ω ↦ if(𝑦 = ∅, (inr‘𝑦), (inl‘∪ 𝑦))):ω–1-1-onto→(ω ⊔ 1o)
12		f1oeng 7043	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ (𝑦 ∈ ω ↦ if(𝑦 = ∅, (inr‘𝑦), (inl‘∪ 𝑦))):ω–1-1-onto→(ω ⊔ 1o)) → ω ≈ (ω ⊔ 1o))
13	1, 11, 12	mp2an 430	. 2 ⊢ ω ≈ (ω ⊔ 1o)
14	13	ensymi 7069	1 ⊢ (ω ⊔ 1o) ≈ ω

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ∅c0 3520  ifcif 3638  ∪ cuni 3935   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192   I cid 4433  suc csuc 4510  ωcom 4737   ↾ cres 4776  –1-1-onto→wf1o 5376  ‘cfv 5377  1_oc1o 6680   ≈ cen 7020   ⊔ cdju 7377  inlcinl 7385  inrcinr 7386  casecdjucase 7423

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-dju 7378  df-inl 7387  df-inr 7388  df-case 7424

This theorem is used by:  difinfsn  7440  sbthom  17083