Theorem op1std 6139

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op1std	|- ( C = <. A , B >. -> ( 1st ` C ) = A )

Proof of Theorem op1std

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5507	. 2 |- ( C = <. A , B >. -> ( 1st ` C ) = ( 1st ` <. A , B >. ) )
2		op1st.1	. . 3 |- A e. _V
3		op1st.2	. . 3 |- B e. _V
4	2, 3	op1st 6137	. 2 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = A
5	1, 4	eqtrdi 2224	1 |- ( C = <. A , B >. -> ( 1st ` C ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2146   _Vcvv 2735   <.cop 3592   ` cfv 5208   1stc1st 6129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-sbc 2961  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-1st 6131

This theorem is referenced by:  xp1st  6156  sbcopeq1a  6178  csbopeq1a  6179  eloprabi  6187  mpomptsx  6188  dmmpossx  6190  fmpox  6191  fmpoco  6207  df1st2  6210  xporderlem  6222  xpf1o  6834  fisumcom2  11412  fprodcom2fi  11600  txbas  13327  cnmpt1st  13357  txhmeo  13388