Theorem op1std 6146

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op1std	|- ( C = <. A , B >. -> ( 1st ` C ) = A )

Proof of Theorem op1std

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5514	. 2 |- ( C = <. A , B >. -> ( 1st ` C ) = ( 1st ` <. A , B >. ) )
2		op1st.1	. . 3 |- A e. _V
3		op1st.2	. . 3 |- B e. _V
4	2, 3	op1st 6144	. 2 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = A
5	1, 4	eqtrdi 2226	1 |- ( C = <. A , B >. -> ( 1st ` C ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   <.cop 3595   ` cfv 5215   1stc1st 6136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fv 5223  df-1st 6138

This theorem is referenced by:  xp1st  6163  sbcopeq1a  6185  csbopeq1a  6186  eloprabi  6194  mpomptsx  6195  dmmpossx  6197  fmpox  6198  fmpoco  6214  df1st2  6217  xporderlem  6229  xpf1o  6841  fisumcom2  11439  fprodcom2fi  11627  txbas  13629  cnmpt1st  13659  txhmeo  13690