Theorem op2ndd 6207

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op2ndd	|- ( C = <. A , B >. -> ( 2nd ` C ) = B )

Proof of Theorem op2ndd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5558	. 2 |- ( C = <. A , B >. -> ( 2nd ` C ) = ( 2nd ` <. A , B >. ) )
2		op1st.1	. . 3 |- A e. _V
3		op1st.2	. . 3 |- B e. _V
4	2, 3	op2nd 6205	. 2 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B
5	1, 4	eqtrdi 2245	1 |- ( C = <. A , B >. -> ( 2nd ` C ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   <.cop 3625   ` cfv 5258   2ndc2nd 6197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-2nd 6199

This theorem is referenced by:  xp2nd  6224  sbcopeq1a  6245  csbopeq1a  6246  eloprabi  6254  mpomptsx  6255  dmmpossx  6257  fmpox  6258  fmpoco  6274  df2nd2  6278  xporderlem  6289  xpf1o  6905  frecuzrdgtcl  10504  frecuzrdgfunlem  10511  fisumcom2  11603  fprodcom2fi  11791  txbas  14494  cnmpt2nd  14525  txhmeo  14555