Theorem op2ndd 6204

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op2ndd	|- ( C = <. A , B >. -> ( 2nd ` C ) = B )

Proof of Theorem op2ndd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5555	. 2 |- ( C = <. A , B >. -> ( 2nd ` C ) = ( 2nd ` <. A , B >. ) )
2		op1st.1	. . 3 |- A e. _V
3		op1st.2	. . 3 |- B e. _V
4	2, 3	op2nd 6202	. 2 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B
5	1, 4	eqtrdi 2242	1 |- ( C = <. A , B >. -> ( 2nd ` C ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   <.cop 3622   ` cfv 5255   2ndc2nd 6194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-2nd 6196

This theorem is referenced by:  xp2nd  6221  sbcopeq1a  6242  csbopeq1a  6243  eloprabi  6251  mpomptsx  6252  dmmpossx  6254  fmpox  6255  fmpoco  6271  df2nd2  6275  xporderlem  6286  xpf1o  6902  frecuzrdgtcl  10486  frecuzrdgfunlem  10493  fisumcom2  11584  fprodcom2fi  11772  txbas  14437  cnmpt2nd  14468  txhmeo  14498