Theorem znadd 13962

Description: The additive structure of ℤ/nℤ is the same as the quotient ring it is based on. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.) (Revised by AV, 3-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
znval2.s	|- S = (RSpan ` ℤring )
znval2.u	|- U = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
znval2.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )

Assertion

Ref	Expression
znadd	|- ( N e. NN0 -> ( +g ` U ) = ( +g ` Y ) )

Proof of Theorem znadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znval2.s	. 2 |- S = (RSpan ` ℤring )
2		znval2.u	. 2 |- U = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
3		znval2.y	. 2 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
4		plusgid 12633	. 2 |- +g = Slot ( +g ` ndx )
5		plusgndxnn 12634	. 2 |- ( +g ` ndx ) e. NN
6		plendxnplusgndx 12728	. . 3 |- ( le ` ndx ) =/= ( +g ` ndx )
7	6	necomi 2445	. 2 |- ( +g ` ndx ) =/= ( le ` ndx )
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	znbaslemnn 13960	1 |- ( N e. NN0 -> ( +g ` U ) = ( +g ` Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   {csn 3610   ` cfv 5238  (class class class)co 5900   NN0cn0 9211   ndxcnx 12520   +g cplusg 12600   lecple 12607   /._s cqus 12788   ~_QG cqg 13133  RSpancrsp 13809  ℤ_ringczring 13914  ℤ/nℤczn 13936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-precex 7956  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962  ax-pre-mulgt0 7963  ax-addf 7968  ax-mulf 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-tp 3618  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-ec 6565  df-map 6680  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-reap 8567  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-4 9015  df-5 9016  df-6 9017  df-7 9018  df-8 9019  df-9 9020  df-n0 9212  df-z 9289  df-dec 9420  df-uz 9564  df-fz 10045  df-cj 10892  df-struct 12525  df-ndx 12526  df-slot 12527  df-base 12529  df-sets 12530  df-iress 12531  df-plusg 12613  df-mulr 12614  df-starv 12615  df-sca 12616  df-vsca 12617  df-ip 12618  df-ple 12620  df-0g 12774  df-iimas 12790  df-qus 12791  df-mgm 12843  df-sgrp 12888  df-mnd 12901  df-grp 12971  df-minusg 12972  df-subg 13134  df-eqg 13136  df-cmn 13250  df-mgp 13300  df-ur 13339  df-ring 13377  df-cring 13378  df-rhm 13527  df-subrg 13591  df-lsp 13728  df-sra 13776  df-rgmod 13777  df-rsp 13811  df-icnfld 13890  df-zring 13915  df-zrh 13937  df-zn 13939

This theorem is referenced by:  zncrng  13965