ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  plpvlu Unicode version

Theorem plpvlu 7000
Description: Value of addition on positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
plpvlu  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  +P.  B
)  =  <. { x  e.  Q.  |  E. y  e.  ( 1st `  A
) E. z  e.  ( 1st `  B
) x  =  ( y  +Q  z ) } ,  { x  e.  Q.  |  E. y  e.  ( 2nd `  A
) E. z  e.  ( 2nd `  B
) x  =  ( y  +Q  z ) } >. )
Distinct variable groups:    x, y, z, A    x, B, y, z

Proof of Theorem plpvlu
Dummy variables  f  g  h  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-iplp 6930 . 2  |-  +P.  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  <. { f  e.  Q.  |  E. g  e.  Q.  E. h  e.  Q.  (
g  e.  ( 1st `  w )  /\  h  e.  ( 1st `  v
)  /\  f  =  ( g  +Q  h
) ) } ,  { f  e.  Q.  |  E. g  e.  Q.  E. h  e.  Q.  (
g  e.  ( 2nd `  w )  /\  h  e.  ( 2nd `  v
)  /\  f  =  ( g  +Q  h
) ) } >. )
2 addclnq 6837 . 2  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( g  +Q  h
)  e.  Q. )
31, 2genipv 6971 1  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  +P.  B
)  =  <. { x  e.  Q.  |  E. y  e.  ( 1st `  A
) E. z  e.  ( 1st `  B
) x  =  ( y  +Q  z ) } ,  { x  e.  Q.  |  E. y  e.  ( 2nd `  A
) E. z  e.  ( 2nd `  B
) x  =  ( y  +Q  z ) } >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   E.wrex 2354   {crab 2357   <.cop 3425   ` cfv 4969  (class class class)co 5591   1stc1st 5844   2ndc2nd 5845   Q.cnq 6742    +Q cplq 6744   P.cnp 6753    +P. cpp 6755
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-irdg 6067  df-oadd 6117  df-omul 6118  df-er 6222  df-ec 6224  df-qs 6228  df-ni 6766  df-pli 6767  df-mi 6768  df-plpq 6806  df-enq 6809  df-nqqs 6810  df-plqqs 6811  df-inp 6928  df-iplp 6930
This theorem is referenced by:  addcomprg  7040
  Copyright terms: Public domain W3C validator