ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  plpvlu Unicode version

Theorem plpvlu 7294
Description: Value of addition on positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
plpvlu  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  +P.  B
)  =  <. { x  e.  Q.  |  E. y  e.  ( 1st `  A
) E. z  e.  ( 1st `  B
) x  =  ( y  +Q  z ) } ,  { x  e.  Q.  |  E. y  e.  ( 2nd `  A
) E. z  e.  ( 2nd `  B
) x  =  ( y  +Q  z ) } >. )
Distinct variable groups:    x, y, z, A    x, B, y, z

Proof of Theorem plpvlu
Dummy variables  f  g  h  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-iplp 7224 . 2  |-  +P.  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  <. { f  e.  Q.  |  E. g  e.  Q.  E. h  e.  Q.  (
g  e.  ( 1st `  w )  /\  h  e.  ( 1st `  v
)  /\  f  =  ( g  +Q  h
) ) } ,  { f  e.  Q.  |  E. g  e.  Q.  E. h  e.  Q.  (
g  e.  ( 2nd `  w )  /\  h  e.  ( 2nd `  v
)  /\  f  =  ( g  +Q  h
) ) } >. )
2 addclnq 7131 . 2  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( g  +Q  h
)  e.  Q. )
31, 2genipv 7265 1  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  +P.  B
)  =  <. { x  e.  Q.  |  E. y  e.  ( 1st `  A
) E. z  e.  ( 1st `  B
) x  =  ( y  +Q  z ) } ,  { x  e.  Q.  |  E. y  e.  ( 2nd `  A
) E. z  e.  ( 2nd `  B
) x  =  ( y  +Q  z ) } >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314    e. wcel 1463   E.wrex 2391   {crab 2394   <.cop 3496   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   1stc1st 5990   2ndc2nd 5991   Q.cnq 7036    +Q cplq 7038   P.cnp 7047    +P. cpp 7049
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-irdg 6221  df-oadd 6271  df-omul 6272  df-er 6383  df-ec 6385  df-qs 6389  df-ni 7060  df-pli 7061  df-mi 7062  df-plpq 7100  df-enq 7103  df-nqqs 7104  df-plqqs 7105  df-inp 7222  df-iplp 7224
This theorem is referenced by:  addcomprg  7334
  Copyright terms: Public domain W3C validator