Theorem plyssc 14975

Description: Every polynomial ring is contained in the ring of polynomials over ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyssc	⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)

Proof of Theorem plyssc

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plybss 14969	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
2		ssid 3203	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
3		plyss 14974	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
5	4	sseld 3182	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑓 ∈ (Poly‘ℂ)))
6	5	pm2.43i 49	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑓 ∈ (Poly‘ℂ))
7	6	ssriv 3187	1 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2167   ⊆ wss 3157  ‘cfv 5258  ℂcc 7877  Polycply 14964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-i2m1 7984

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-map 6709  df-inn 8991  df-n0 9250  df-ply 14966

This theorem is referenced by:  plyaddcl  14990  plymulcl  14991  plysubcl  14992  dvply2  15003