Theorem plyss 15595

Description: The polynomial set function preserves the subset relation. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyss	|- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` T ) )

Proof of Theorem plyss

Dummy variables a f n k z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> T C_ CC )
2		cnex 8250	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
3		ssexg 4248	. . . . . . . 8 |- ( ( T C_ CC /\ CC e. _V ) -> T e. _V )
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> T e. _V )
5		c0ex 8267	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
6	5	snex 4297	. . . . . . 7 |- { 0 } e. _V
7		unexg 4563	. . . . . . 7 |- ( ( T e. _V /\ { 0 } e. _V ) -> ( T u. { 0 } ) e. _V )
8	4, 6, 7	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> ( T u. { 0 } ) e. _V )
9		unss1 3387	. . . . . . 7 |- ( S C_ T -> ( S u. { 0 } ) C_ ( T u. { 0 } ) )
10	9	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> ( S u. { 0 } ) C_ ( T u. { 0 } ) )
11		mapss 6925	. . . . . 6 |- ( ( ( T u. { 0 } ) e. _V /\ ( S u. { 0 } ) C_ ( T u. { 0 } ) ) -> ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) C_ ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
12	8, 10, 11	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) C_ ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
13		ssrexv 3302	. . . . 5 |- ( ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) C_ ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) -> ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> E. a e. ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
14	12, 13	syl 14	. . . 4 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> E. a e. ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
15	14	reximdv 2643	. . 3 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> E. n e. NN0 E. a e. ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
16	15	ss2abdv 3310	. 2 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } C_ { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
17		sstr 3245	. . 3 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> S C_ CC )
18		plyval 15589	. . 3 |- ( S C_ CC -> (Poly ` S ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
19	17, 18	syl 14	. 2 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> (Poly ` S ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
20		plyval 15589	. . 3 |- ( T C_ CC -> (Poly ` T ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
21	20	adantl 277	. 2 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> (Poly ` T ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
22	16, 19, 21	3sstr4d 3282	1 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   {cab 2218   E.wrex 2521   _Vcvv 2812   u. cun 3208   C_ wss 3210   {csn 3688   |-> cmpt 4170   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   ^m cmap 6881   CCcc 8124   0cc0 8126   x. cmul 8131   NN0cn0 9495   ...cfz 10341   ^cexp 10899   sum_csu 12034  Polycply 15585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-i2m1 8231

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-map 6883  df-inn 9237  df-n0 9496  df-ply 15587

This theorem is referenced by:  plyssc  15596