Theorem plyss 15841

Description: The polynomial set function preserves the subset relation. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyss	|- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` T ) )

Proof of Theorem plyss

Dummy variables a f n k z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> T C_ CC )
2		cnex 8303	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
3		ssexg 4272	. . . . . . . 8 |- ( ( T C_ CC /\ CC e. _V ) -> T e. _V )
4	1, 2, 3	sylancl 417	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> T e. _V )
5		c0ex 8320	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
6	5	snex 4322	. . . . . . 7 |- { 0 } e. _V
7		unexg 4589	. . . . . . 7 |- ( ( T e. _V /\ { 0 } e. _V ) -> ( T u. { 0 } ) e. _V )
8	4, 6, 7	sylancl 417	. . . . . 6 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> ( T u. { 0 } ) e. _V )
9		unss1 3398	. . . . . . 7 |- ( S C_ T -> ( S u. { 0 } ) C_ ( T u. { 0 } ) )
10	9	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> ( S u. { 0 } ) C_ ( T u. { 0 } ) )
11		mapss 6973	. . . . . 6 |- ( ( ( T u. { 0 } ) e. _V /\ ( S u. { 0 } ) C_ ( T u. { 0 } ) ) -> ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) C_ ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
12	8, 10, 11	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) C_ ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
13		ssrexv 3313	. . . . 5 |- ( ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) C_ ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) -> ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> E. a e. ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
14	12, 13	syl 14	. . . 4 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> E. a e. ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
15	14	reximdv 2651	. . 3 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> E. n e. NN0 E. a e. ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
16	15	ss2abdv 3321	. 2 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } C_ { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
17		sstr 3256	. . 3 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> S C_ CC )
18		plyval 15835	. . 3 |- ( S C_ CC -> (Poly ` S ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
19	17, 18	syl 14	. 2 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> (Poly ` S ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
20		plyval 15835	. . 3 |- ( T C_ CC -> (Poly ` T ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
21	20	adantl 277	. 2 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> (Poly ` T ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
22	16, 19, 21	3sstr4d 3293	1 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` T ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   u. cun 3218   C_ wss 3220   {csn 3709   |-> cmpt 4192   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ^m cmap 6922   CCcc 8177   0cc0 8179   x. cmul 8184   NN0cn0 9565   ...cfz 10413   ^cexp 10977   sum_csu 12121  Polycply 15831

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-i2m1 8284

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-inn 9306  df-n0 9566  df-ply 15833

This theorem is used by:  plyssc  15842