Theorem plyss 15529

Description: The polynomial set function preserves the subset relation. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyss	|- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` T ) )

Proof of Theorem plyss

Dummy variables a f n k z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> T C_ CC )
2		cnex 8199	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
3		ssexg 4233	. . . . . . . 8 |- ( ( T C_ CC /\ CC e. _V ) -> T e. _V )
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> T e. _V )
5		c0ex 8216	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
6	5	snex 4281	. . . . . . 7 |- { 0 } e. _V
7		unexg 4546	. . . . . . 7 |- ( ( T e. _V /\ { 0 } e. _V ) -> ( T u. { 0 } ) e. _V )
8	4, 6, 7	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> ( T u. { 0 } ) e. _V )
9		unss1 3378	. . . . . . 7 |- ( S C_ T -> ( S u. { 0 } ) C_ ( T u. { 0 } ) )
10	9	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> ( S u. { 0 } ) C_ ( T u. { 0 } ) )
11		mapss 6903	. . . . . 6 |- ( ( ( T u. { 0 } ) e. _V /\ ( S u. { 0 } ) C_ ( T u. { 0 } ) ) -> ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) C_ ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
12	8, 10, 11	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) C_ ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
13		ssrexv 3293	. . . . 5 |- ( ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) C_ ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) -> ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> E. a e. ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
14	12, 13	syl 14	. . . 4 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> E. a e. ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
15	14	reximdv 2634	. . 3 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> E. n e. NN0 E. a e. ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
16	15	ss2abdv 3301	. 2 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } C_ { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
17		sstr 3236	. . 3 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> S C_ CC )
18		plyval 15523	. . 3 |- ( S C_ CC -> (Poly ` S ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
19	17, 18	syl 14	. 2 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> (Poly ` S ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
20		plyval 15523	. . 3 |- ( T C_ CC -> (Poly ` T ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
21	20	adantl 277	. 2 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> (Poly ` T ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
22	16, 19, 21	3sstr4d 3273	1 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   {cab 2217   E.wrex 2512   _Vcvv 2803   u. cun 3199   C_ wss 3201   {csn 3673   |-> cmpt 4155   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   ^m cmap 6860   CCcc 8073   0cc0 8075   x. cmul 8080   NN0cn0 9445   ...cfz 10286   ^cexp 10844   sum_csu 11974  Polycply 15519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-i2m1 8180

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-map 6862  df-inn 9187  df-n0 9446  df-ply 15521

This theorem is referenced by:  plyssc  15530