Theorem plyss 15420

Description: The polynomial set function preserves the subset relation. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyss	|- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` T ) )

Proof of Theorem plyss

Dummy variables a f n k z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> T C_ CC )
2		cnex 8131	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
3		ssexg 4223	. . . . . . . 8 |- ( ( T C_ CC /\ CC e. _V ) -> T e. _V )
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> T e. _V )
5		c0ex 8148	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
6	5	snex 4269	. . . . . . 7 |- { 0 } e. _V
7		unexg 4534	. . . . . . 7 |- ( ( T e. _V /\ { 0 } e. _V ) -> ( T u. { 0 } ) e. _V )
8	4, 6, 7	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> ( T u. { 0 } ) e. _V )
9		unss1 3373	. . . . . . 7 |- ( S C_ T -> ( S u. { 0 } ) C_ ( T u. { 0 } ) )
10	9	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> ( S u. { 0 } ) C_ ( T u. { 0 } ) )
11		mapss 6846	. . . . . 6 |- ( ( ( T u. { 0 } ) e. _V /\ ( S u. { 0 } ) C_ ( T u. { 0 } ) ) -> ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) C_ ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
12	8, 10, 11	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) C_ ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
13		ssrexv 3289	. . . . 5 |- ( ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) C_ ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) -> ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> E. a e. ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
14	12, 13	syl 14	. . . 4 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> E. a e. ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
15	14	reximdv 2631	. . 3 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> E. n e. NN0 E. a e. ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
16	15	ss2abdv 3297	. 2 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } C_ { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
17		sstr 3232	. . 3 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> S C_ CC )
18		plyval 15414	. . 3 |- ( S C_ CC -> (Poly ` S ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
19	17, 18	syl 14	. 2 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> (Poly ` S ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
20		plyval 15414	. . 3 |- ( T C_ CC -> (Poly ` T ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
21	20	adantl 277	. 2 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> (Poly ` T ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
22	16, 19, 21	3sstr4d 3269	1 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cab 2215   E.wrex 2509   _Vcvv 2799   u. cun 3195   C_ wss 3197   {csn 3666   |-> cmpt 4145   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   ^m cmap 6803   CCcc 8005   0cc0 8007   x. cmul 8012   NN0cn0 9377   ...cfz 10212   ^cexp 10768   sum_csu 11872  Polycply 15410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-i2m1 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-map 6805  df-inn 9119  df-n0 9378  df-ply 15412

This theorem is referenced by:  plyssc  15421