Theorem plyss 15620

Description: The polynomial set function preserves the subset relation. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyss	|- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` T ) )

Proof of Theorem plyss

Dummy variables a f n k z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> T C_ CC )
2		cnex 8253	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
3		ssexg 4251	. . . . . . . 8 |- ( ( T C_ CC /\ CC e. _V ) -> T e. _V )
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> T e. _V )
5		c0ex 8270	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
6	5	snex 4300	. . . . . . 7 |- { 0 } e. _V
7		unexg 4566	. . . . . . 7 |- ( ( T e. _V /\ { 0 } e. _V ) -> ( T u. { 0 } ) e. _V )
8	4, 6, 7	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> ( T u. { 0 } ) e. _V )
9		unss1 3390	. . . . . . 7 |- ( S C_ T -> ( S u. { 0 } ) C_ ( T u. { 0 } ) )
10	9	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> ( S u. { 0 } ) C_ ( T u. { 0 } ) )
11		mapss 6928	. . . . . 6 |- ( ( ( T u. { 0 } ) e. _V /\ ( S u. { 0 } ) C_ ( T u. { 0 } ) ) -> ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) C_ ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
12	8, 10, 11	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) C_ ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
13		ssrexv 3305	. . . . 5 |- ( ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) C_ ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) -> ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> E. a e. ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
14	12, 13	syl 14	. . . 4 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> E. a e. ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
15	14	reximdv 2645	. . 3 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> E. n e. NN0 E. a e. ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
16	15	ss2abdv 3313	. 2 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } C_ { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
17		sstr 3248	. . 3 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> S C_ CC )
18		plyval 15614	. . 3 |- ( S C_ CC -> (Poly ` S ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
19	17, 18	syl 14	. 2 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> (Poly ` S ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
20		plyval 15614	. . 3 |- ( T C_ CC -> (Poly ` T ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
21	20	adantl 277	. 2 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> (Poly ` T ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( T u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
22	16, 19, 21	3sstr4d 3285	1 |- ( ( S C_ T /\ T C_ CC ) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   {cab 2220   E.wrex 2523   _Vcvv 2815   u. cun 3211   C_ wss 3213   {csn 3691   |-> cmpt 4173   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   ^m cmap 6884   CCcc 8127   0cc0 8129   x. cmul 8134   NN0cn0 9498   ...cfz 10345   ^cexp 10904   sum_csu 12042  Polycply 15610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-i2m1 8234

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-map 6886  df-inn 9240  df-n0 9499  df-ply 15612

This theorem is referenced by:  plyssc  15621