ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  possumd GIF version

Theorem possumd 8503
Description: Condition for a positive sum. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
possumd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
possumd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
possumd (𝜑 → (0 < (𝐴 + 𝐵) ↔ -𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem possumd
StepHypRef Expression
1 possumd.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
21renegcld 8314 . . 3 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
3 possumd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
42, 3posdifd 8466 . 2 (𝜑 → (-𝐵 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − -𝐵)))
53recnd 7963 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
61recnd 7963 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
75, 6subnegd 8252 . . 3 (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
87breq2d 4012 . 2 (𝜑 → (0 < (𝐴 − -𝐵) ↔ 0 < (𝐴 + 𝐵)))
94, 8bitr2d 189 1 (𝜑 → (0 < (𝐴 + 𝐵) ↔ -𝐵 < 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105  wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5868  cr 7788  0cc0 7789   + caddc 7792   < clt 7969  cmin 8105  -cneg 8106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-ltxr 7974  df-sub 8107  df-neg 8108
This theorem is referenced by:  subfzo0  10215  addmodlteq  10371
  Copyright terms: Public domain W3C validator