Theorem sublt0d 8844

Description: When a subtraction gives a negative result. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sublt0d.1	|- ( ph -> A e. RR )
sublt0d.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
sublt0d	|- ( ph -> ( ( A - B ) < 0 <-> A < B ) )

Proof of Theorem sublt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sublt0d.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
2		sublt0d.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
3		0red 8275	. . 3 |- ( ph -> 0 e. RR )
4	1, 2, 3	ltsubaddd 8815	. 2 |- ( ph -> ( ( A - B ) < 0 <-> A < ( 0 + B ) ) )
5	2	recnd 8302	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
6	5	addlidd 8423	. . 3 |- ( ph -> ( 0 + B ) = B )
7	6	breq2d 4121	. 2 |- ( ph -> ( A < ( 0 + B ) <-> A < B ) )
8	4, 7	bitrd 188	1 |- ( ph -> ( ( A - B ) < 0 <-> A < B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   RRcr 8126   0cc0 8127   + caddc 8130   < clt 8308   - cmin 8444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-sub 8446  df-neg 8447

This theorem is referenced by:  modfzo0difsn  10757  maxabslemlub  11892  ivthreinc  15510  trirec0  16828  apdifflemf  16830