Theorem sublt0d 8809

Description: When a subtraction gives a negative result. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sublt0d.1	|- ( ph -> A e. RR )
sublt0d.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
sublt0d	|- ( ph -> ( ( A - B ) < 0 <-> A < B ) )

Proof of Theorem sublt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sublt0d.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
2		sublt0d.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
3		0red 8240	. . 3 |- ( ph -> 0 e. RR )
4	1, 2, 3	ltsubaddd 8780	. 2 |- ( ph -> ( ( A - B ) < 0 <-> A < ( 0 + B ) ) )
5	2	recnd 8267	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
6	5	addlidd 8388	. . 3 |- ( ph -> ( 0 + B ) = B )
7	6	breq2d 4105	. 2 |- ( ph -> ( A < ( 0 + B ) <-> A < B ) )
8	4, 7	bitrd 188	1 |- ( ph -> ( ( A - B ) < 0 <-> A < B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   RRcr 8091   0cc0 8092   + caddc 8095   < clt 8273   - cmin 8409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278  df-sub 8411  df-neg 8412

This theorem is referenced by:  modfzo0difsn  10720  maxabslemlub  11847  ivthreinc  15456  trirec0  16776  apdifflemf  16778