Theorem sublt0d 8527

Description: When a subtraction gives a negative result. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sublt0d.1	|- ( ph -> A e. RR )
sublt0d.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
sublt0d	|- ( ph -> ( ( A - B ) < 0 <-> A < B ) )

Proof of Theorem sublt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sublt0d.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
2		sublt0d.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
3		0red 7958	. . 3 |- ( ph -> 0 e. RR )
4	1, 2, 3	ltsubaddd 8498	. 2 |- ( ph -> ( ( A - B ) < 0 <-> A < ( 0 + B ) ) )
5	2	recnd 7986	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
6	5	addid2d 8107	. . 3 |- ( ph -> ( 0 + B ) = B )
7	6	breq2d 4016	. 2 |- ( ph -> ( A < ( 0 + B ) <-> A < B ) )
8	4, 7	bitrd 188	1 |- ( ph -> ( ( A - B ) < 0 <-> A < B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875   RRcr 7810   0cc0 7811   + caddc 7814   < clt 7992   - cmin 8128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-sub 8130  df-neg 8131

This theorem is referenced by:  modfzo0difsn  10395  maxabslemlub  11216  trirec0  14795  apdifflemf  14797