Theorem isprm2lem 12678

Description: Lemma for isprm2 12679. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
isprm2lem	|- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o <-> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) )

Distinct variable group:   P, n

Proof of Theorem isprm2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> P =/= 1 )
2	1	necomd 2486	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> 1 =/= P )
3		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> { n e. NN | n || P } ~~ 2o )
4		nnz 9488	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> P e. ZZ )
5		1dvds 12356	. . . . . . . 8 |- ( P e. ZZ -> 1 || P )
6	4, 5	syl 14	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> 1 || P )
7	6	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> 1 || P )
8		1nn 9144	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
9		breq1 4089	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( n || P <-> 1 || P ) )
10	9	elrab3 2961	. . . . . . 7 |- ( 1 e. NN -> ( 1 e. { n e. NN | n || P } <-> 1 || P ) )
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( 1 e. { n e. NN | n || P } <-> 1 || P )
12	7, 11	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> 1 e. { n e. NN | n || P } )
13		iddvds 12355	. . . . . . . 8 |- ( P e. ZZ -> P || P )
14	4, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> P || P )
15	14	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> P || P )
16		breq1 4089	. . . . . . . 8 |- ( n = P -> ( n || P <-> P || P ) )
17	16	elrab3 2961	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> ( P e. { n e. NN | n || P } <-> P || P ) )
18	17	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> ( P e. { n e. NN | n || P } <-> P || P ) )
19	15, 18	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> P e. { n e. NN | n || P } )
20		en2eqpr 7092	. . . . 5 |- ( ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o /\ 1 e. { n e. NN | n || P } /\ P e. { n e. NN | n || P } ) -> ( 1 =/= P -> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) )
21	3, 12, 19, 20	syl3anc 1271	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> ( 1 =/= P -> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) )
22	2, 21	mpd 13	. . 3 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } )
23	22	ex 115	. 2 |- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o -> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) )
24		necom 2484	. . . 4 |- ( 1 =/= P <-> P =/= 1 )
25		pr2ne 7388	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. NN /\ P e. NN ) -> ( { 1 , P } ~~ 2o <-> 1 =/= P ) )
26	8, 25	mpan 424	. . . . 5 |- ( P e. NN -> ( { 1 , P } ~~ 2o <-> 1 =/= P ) )
27	26	biimpar 297	. . . 4 |- ( ( P e. NN /\ 1 =/= P ) -> { 1 , P } ~~ 2o )
28	24, 27	sylan2br 288	. . 3 |- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> { 1 , P } ~~ 2o )
29		breq1 4089	. . 3 |- ( { n e. NN | n || P } = { 1 , P } -> ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o <-> { 1 , P } ~~ 2o ) )
30	28, 29	syl5ibrcom 157	. 2 |- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> ( { n e. NN | n || P } = { 1 , P } -> { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) )
31	23, 30	impbid 129	1 |- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o <-> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   {crab 2512   {cpr 3668   class class class wbr 4086   2oc2o 6571   ~~ cen 6902   1c1 8023   NNcn 9133   ZZcz 9469   || cdvds 12338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-z 9470  df-dvds 12339

This theorem is referenced by:  isprm2  12679