Theorem isprm2lem 12894

Description: Lemma for isprm2 12895. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
isprm2lem	|- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o <-> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) )

Distinct variable group:   P, n

Proof of Theorem isprm2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 533	. . . . 5 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> P =/= 1 )
2	1	necomd 2506	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> 1 =/= P )
3		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> { n e. NN | n || P } ~~ 2o )
4		nnz 9663	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> P e. ZZ )
5		1dvds 12572	. . . . . . . 8 |- ( P e. ZZ -> 1 || P )
6	4, 5	syl 14	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> 1 || P )
7	6	ad2antrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> 1 || P )
8		1nn 9315	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
9		breq1 4133	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( n || P <-> 1 || P ) )
10	9	elrab3 2983	. . . . . . 7 |- ( 1 e. NN -> ( 1 e. { n e. NN | n || P } <-> 1 || P ) )
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( 1 e. { n e. NN | n || P } <-> 1 || P )
12	7, 11	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> 1 e. { n e. NN | n || P } )
13		iddvds 12571	. . . . . . . 8 |- ( P e. ZZ -> P || P )
14	4, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> P || P )
15	14	ad2antrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> P || P )
16		breq1 4133	. . . . . . . 8 |- ( n = P -> ( n || P <-> P || P ) )
17	16	elrab3 2983	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> ( P e. { n e. NN | n || P } <-> P || P ) )
18	17	ad2antrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> ( P e. { n e. NN | n || P } <-> P || P ) )
19	15, 18	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> P e. { n e. NN | n || P } )
20		en2eqpr 7214	. . . . 5 |- ( ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o /\ 1 e. { n e. NN | n || P } /\ P e. { n e. NN | n || P } ) -> ( 1 =/= P -> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) )
21	3, 12, 19, 20	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> ( 1 =/= P -> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) )
22	2, 21	mpd 13	. . 3 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } )
23	22	ex 115	. 2 |- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o -> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) )
24		necom 2504	. . . 4 |- ( 1 =/= P <-> P =/= 1 )
25		pr2ne 7538	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. NN /\ P e. NN ) -> ( { 1 , P } ~~ 2o <-> 1 =/= P ) )
26	8, 25	mpan 428	. . . . 5 |- ( P e. NN -> ( { 1 , P } ~~ 2o <-> 1 =/= P ) )
27	26	biimpar 297	. . . 4 |- ( ( P e. NN /\ 1 =/= P ) -> { 1 , P } ~~ 2o )
28	24, 27	sylan2br 288	. . 3 |- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> { 1 , P } ~~ 2o )
29		breq1 4133	. . 3 |- ( { n e. NN | n || P } = { 1 , P } -> ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o <-> { 1 , P } ~~ 2o ) )
30	28, 29	syl5ibrcom 157	. 2 |- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> ( { n e. NN | n || P } = { 1 , P } -> { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) )
31	23, 30	impbid 129	1 |- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o <-> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   {crab 2532   {cpr 3710   class class class wbr 4130   2oc2o 6681   ~~ cen 7020   1c1 8180   NNcn 9304   ZZcz 9644   || cdvds 12554

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-z 9645  df-dvds 12555

This theorem is used by:  isprm2  12895