ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isprm2lem Unicode version

Theorem isprm2lem 12008
Description: Lemma for isprm2 12009. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
isprm2lem  |-  ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  -> 
( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  {
1 ,  P }
) )
Distinct variable group:    P, n

Proof of Theorem isprm2lem
StepHypRef Expression
1 simplr 520 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o )  ->  P  =/=  1
)
21necomd 2413 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o )  ->  1  =/=  P
)
3 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o )  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o )
4 nnz 9191 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  ZZ )
5 1dvds 11712 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ZZ  ->  1  ||  P )
64, 5syl 14 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  NN  ->  1  ||  P )
76ad2antrr 480 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o )  ->  1  ||  P
)
8 1nn 8849 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
9 breq1 3970 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
n  ||  P  <->  1  ||  P ) )
109elrab3 2869 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
1  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  <->  1  ||  P
) )
118, 10ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  <->  1  ||  P
)
127, 11sylibr 133 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o )  ->  1  e.  {
n  e.  NN  |  n  ||  P } )
13 iddvds 11711 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ZZ  ->  P  ||  P )
144, 13syl 14 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  NN  ->  P  ||  P )
1514ad2antrr 480 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o )  ->  P  ||  P
)
16 breq1 3970 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  P  ->  (
n  ||  P  <->  P  ||  P
) )
1716elrab3 2869 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  NN  ->  ( P  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  <->  P  ||  P ) )
1817ad2antrr 480 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o )  ->  ( P  e. 
{ n  e.  NN  |  n  ||  P }  <->  P 
||  P ) )
1915, 18mpbird 166 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o )  ->  P  e.  {
n  e.  NN  |  n  ||  P } )
20 en2eqpr 6854 . . . . 5  |-  ( ( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o  /\  1  e. 
{ n  e.  NN  |  n  ||  P }  /\  P  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  P } )  ->  (
1  =/=  P  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  { 1 ,  P } ) )
213, 12, 19, 20syl3anc 1220 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o )  ->  ( 1  =/= 
P  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  {
1 ,  P }
) )
222, 21mpd 13 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o )  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  {
1 ,  P }
)
2322ex 114 . 2  |-  ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  -> 
( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  { 1 ,  P } ) )
24 necom 2411 . . . 4  |-  ( 1  =/=  P  <->  P  =/=  1 )
25 pr2ne 7129 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  P  e.  NN )  ->  ( { 1 ,  P }  ~~  2o  <->  1  =/=  P ) )
268, 25mpan 421 . . . . 5  |-  ( P  e.  NN  ->  ( { 1 ,  P }  ~~  2o  <->  1  =/=  P ) )
2726biimpar 295 . . . 4  |-  ( ( P  e.  NN  /\  1  =/=  P )  ->  { 1 ,  P }  ~~  2o )
2824, 27sylan2br 286 . . 3  |-  ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  ->  { 1 ,  P }  ~~  2o )
29 breq1 3970 . . 3  |-  ( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  { 1 ,  P }  ->  ( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o  <->  { 1 ,  P }  ~~  2o ) )
3028, 29syl5ibrcom 156 . 2  |-  ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  -> 
( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  {
1 ,  P }  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o ) )
3123, 30impbid 128 1  |-  ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  -> 
( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  {
1 ,  P }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1335    e. wcel 2128    =/= wne 2327   {crab 2439   {cpr 3562   class class class wbr 3967   2oc2o 6359    ~~ cen 6685   1c1 7735   NNcn 8838   ZZcz 9172    || cdvds 11694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-iinf 4549  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-ltadd 7850
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-opab 4028  df-tr 4065  df-id 4255  df-iord 4328  df-on 4330  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1o 6365  df-2o 6366  df-er 6482  df-en 6688  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-inn 8839  df-z 9173  df-dvds 11695
This theorem is referenced by:  isprm2  12009
  Copyright terms: Public domain W3C validator