Theorem isprm2lem 12813

Description: Lemma for isprm2 12814. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
isprm2lem	|- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o <-> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) )

Distinct variable group:   P, n

Proof of Theorem isprm2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 529	. . . . 5 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> P =/= 1 )
2	1	necomd 2498	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> 1 =/= P )
3		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> { n e. NN | n || P } ~~ 2o )
4		nnz 9596	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> P e. ZZ )
5		1dvds 12491	. . . . . . . 8 |- ( P e. ZZ -> 1 || P )
6	4, 5	syl 14	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> 1 || P )
7	6	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> 1 || P )
8		1nn 9248	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
9		breq1 4112	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( n || P <-> 1 || P ) )
10	9	elrab3 2974	. . . . . . 7 |- ( 1 e. NN -> ( 1 e. { n e. NN | n || P } <-> 1 || P ) )
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( 1 e. { n e. NN | n || P } <-> 1 || P )
12	7, 11	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> 1 e. { n e. NN | n || P } )
13		iddvds 12490	. . . . . . . 8 |- ( P e. ZZ -> P || P )
14	4, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> P || P )
15	14	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> P || P )
16		breq1 4112	. . . . . . . 8 |- ( n = P -> ( n || P <-> P || P ) )
17	16	elrab3 2974	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> ( P e. { n e. NN | n || P } <-> P || P ) )
18	17	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> ( P e. { n e. NN | n || P } <-> P || P ) )
19	15, 18	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> P e. { n e. NN | n || P } )
20		en2eqpr 7167	. . . . 5 |- ( ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o /\ 1 e. { n e. NN | n || P } /\ P e. { n e. NN | n || P } ) -> ( 1 =/= P -> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) )
21	3, 12, 19, 20	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> ( 1 =/= P -> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) )
22	2, 21	mpd 13	. . 3 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } )
23	22	ex 115	. 2 |- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o -> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) )
24		necom 2496	. . . 4 |- ( 1 =/= P <-> P =/= 1 )
25		pr2ne 7489	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. NN /\ P e. NN ) -> ( { 1 , P } ~~ 2o <-> 1 =/= P ) )
26	8, 25	mpan 424	. . . . 5 |- ( P e. NN -> ( { 1 , P } ~~ 2o <-> 1 =/= P ) )
27	26	biimpar 297	. . . 4 |- ( ( P e. NN /\ 1 =/= P ) -> { 1 , P } ~~ 2o )
28	24, 27	sylan2br 288	. . 3 |- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> { 1 , P } ~~ 2o )
29		breq1 4112	. . 3 |- ( { n e. NN | n || P } = { 1 , P } -> ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o <-> { 1 , P } ~~ 2o ) )
30	28, 29	syl5ibrcom 157	. 2 |- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> ( { n e. NN | n || P } = { 1 , P } -> { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) )
31	23, 30	impbid 129	1 |- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o <-> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   {crab 2524   {cpr 3690   class class class wbr 4109   2oc2o 6641   ~~ cen 6973   1c1 8128   NNcn 9237   ZZcz 9577   || cdvds 12473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1o 6647  df-2o 6648  df-er 6767  df-en 6976  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-z 9578  df-dvds 12474

This theorem is referenced by:  isprm2  12814