Theorem isprm2lem 12008

Description: Lemma for isprm2 12009. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
isprm2lem	|- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o <-> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) )

Distinct variable group:   P, n

Proof of Theorem isprm2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 520	. . . . 5 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> P =/= 1 )
2	1	necomd 2413	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> 1 =/= P )
3		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> { n e. NN | n || P } ~~ 2o )
4		nnz 9191	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> P e. ZZ )
5		1dvds 11712	. . . . . . . 8 |- ( P e. ZZ -> 1 || P )
6	4, 5	syl 14	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> 1 || P )
7	6	ad2antrr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> 1 || P )
8		1nn 8849	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
9		breq1 3970	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( n || P <-> 1 || P ) )
10	9	elrab3 2869	. . . . . . 7 |- ( 1 e. NN -> ( 1 e. { n e. NN | n || P } <-> 1 || P ) )
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( 1 e. { n e. NN | n || P } <-> 1 || P )
12	7, 11	sylibr 133	. . . . 5 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> 1 e. { n e. NN | n || P } )
13		iddvds 11711	. . . . . . . 8 |- ( P e. ZZ -> P || P )
14	4, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> P || P )
15	14	ad2antrr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> P || P )
16		breq1 3970	. . . . . . . 8 |- ( n = P -> ( n || P <-> P || P ) )
17	16	elrab3 2869	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> ( P e. { n e. NN | n || P } <-> P || P ) )
18	17	ad2antrr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> ( P e. { n e. NN | n || P } <-> P || P ) )
19	15, 18	mpbird 166	. . . . 5 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> P e. { n e. NN | n || P } )
20		en2eqpr 6854	. . . . 5 |- ( ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o /\ 1 e. { n e. NN | n || P } /\ P e. { n e. NN | n || P } ) -> ( 1 =/= P -> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) )
21	3, 12, 19, 20	syl3anc 1220	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> ( 1 =/= P -> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) )
22	2, 21	mpd 13	. . 3 |- ( ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) -> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } )
23	22	ex 114	. 2 |- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o -> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) )
24		necom 2411	. . . 4 |- ( 1 =/= P <-> P =/= 1 )
25		pr2ne 7129	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. NN /\ P e. NN ) -> ( { 1 , P } ~~ 2o <-> 1 =/= P ) )
26	8, 25	mpan 421	. . . . 5 |- ( P e. NN -> ( { 1 , P } ~~ 2o <-> 1 =/= P ) )
27	26	biimpar 295	. . . 4 |- ( ( P e. NN /\ 1 =/= P ) -> { 1 , P } ~~ 2o )
28	24, 27	sylan2br 286	. . 3 |- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> { 1 , P } ~~ 2o )
29		breq1 3970	. . 3 |- ( { n e. NN | n || P } = { 1 , P } -> ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o <-> { 1 , P } ~~ 2o ) )
30	28, 29	syl5ibrcom 156	. 2 |- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> ( { n e. NN | n || P } = { 1 , P } -> { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) )
31	23, 30	impbid 128	1 |- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o <-> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   =/= wne 2327   {crab 2439   {cpr 3562   class class class wbr 3967   2oc2o 6359   ~~ cen 6685   1c1 7735   NNcn 8838   ZZcz 9172   || cdvds 11694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-iinf 4549  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-ltadd 7850

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-opab 4028  df-tr 4065  df-id 4255  df-iord 4328  df-on 4330  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1o 6365  df-2o 6366  df-er 6482  df-en 6688  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-inn 8839  df-z 9173  df-dvds 11695

This theorem is referenced by:  isprm2  12009