ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isprm2lem Unicode version

Theorem isprm2lem 11724
Description: Lemma for isprm2 11725. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
isprm2lem  |-  ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  -> 
( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  {
1 ,  P }
) )
Distinct variable group:    P, n

Proof of Theorem isprm2lem
StepHypRef Expression
1 simplr 504 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o )  ->  P  =/=  1
)
21necomd 2371 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o )  ->  1  =/=  P
)
3 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o )  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o )
4 nnz 9041 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  ZZ )
5 1dvds 11434 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ZZ  ->  1  ||  P )
64, 5syl 14 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  NN  ->  1  ||  P )
76ad2antrr 479 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o )  ->  1  ||  P
)
8 1nn 8699 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
9 breq1 3902 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
n  ||  P  <->  1  ||  P ) )
109elrab3 2814 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
1  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  <->  1  ||  P
) )
118, 10ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  <->  1  ||  P
)
127, 11sylibr 133 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o )  ->  1  e.  {
n  e.  NN  |  n  ||  P } )
13 iddvds 11433 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ZZ  ->  P  ||  P )
144, 13syl 14 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  NN  ->  P  ||  P )
1514ad2antrr 479 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o )  ->  P  ||  P
)
16 breq1 3902 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  P  ->  (
n  ||  P  <->  P  ||  P
) )
1716elrab3 2814 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  NN  ->  ( P  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  <->  P  ||  P ) )
1817ad2antrr 479 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o )  ->  ( P  e. 
{ n  e.  NN  |  n  ||  P }  <->  P 
||  P ) )
1915, 18mpbird 166 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o )  ->  P  e.  {
n  e.  NN  |  n  ||  P } )
20 en2eqpr 6769 . . . . 5  |-  ( ( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o  /\  1  e. 
{ n  e.  NN  |  n  ||  P }  /\  P  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  P } )  ->  (
1  =/=  P  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  { 1 ,  P } ) )
213, 12, 19, 20syl3anc 1201 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o )  ->  ( 1  =/= 
P  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  {
1 ,  P }
) )
222, 21mpd 13 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o )  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  {
1 ,  P }
)
2322ex 114 . 2  |-  ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  -> 
( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  { 1 ,  P } ) )
24 necom 2369 . . . 4  |-  ( 1  =/=  P  <->  P  =/=  1 )
25 pr2ne 7016 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  P  e.  NN )  ->  ( { 1 ,  P }  ~~  2o  <->  1  =/=  P ) )
268, 25mpan 420 . . . . 5  |-  ( P  e.  NN  ->  ( { 1 ,  P }  ~~  2o  <->  1  =/=  P ) )
2726biimpar 295 . . . 4  |-  ( ( P  e.  NN  /\  1  =/=  P )  ->  { 1 ,  P }  ~~  2o )
2824, 27sylan2br 286 . . 3  |-  ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  ->  { 1 ,  P }  ~~  2o )
29 breq1 3902 . . 3  |-  ( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  { 1 ,  P }  ->  ( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o  <->  { 1 ,  P }  ~~  2o ) )
3028, 29syl5ibrcom 156 . 2  |-  ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  -> 
( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  {
1 ,  P }  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o ) )
3123, 30impbid 128 1  |-  ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  -> 
( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  {
1 ,  P }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316    e. wcel 1465    =/= wne 2285   {crab 2397   {cpr 3498   class class class wbr 3899   2oc2o 6275    ~~ cen 6600   1c1 7589   NNcn 8688   ZZcz 9022    || cdvds 11420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1o 6281  df-2o 6282  df-er 6397  df-en 6603  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-z 9023  df-dvds 11421
This theorem is referenced by:  isprm2  11725
  Copyright terms: Public domain W3C validator