Theorem psrvalstrd 14647

Description: The multivariate power series structure is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrvalstrd.b	|- ( ph -> B e. X )
psrvalstrd.plusg	|- ( ph -> .+ e. Y )
psrvalstrd.ips	|- ( ph -> .X. e. Z )
psrvalstrd.r	|- ( ph -> R e. W )
psrvalstrd.mulr	|- ( ph -> .x. e. P )
psrvalstrd.j	|- ( ph -> J e. Q )

Assertion

Ref	Expression
psrvalstrd	|- ( ph -> ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } ) Struct <. 1 , 9 >. )

Proof of Theorem psrvalstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrvalstrd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. X )
2		psrvalstrd.plusg	. . 3 |- ( ph -> .+ e. Y )
3		psrvalstrd.ips	. . 3 |- ( ph -> .X. e. Z )
4		eqid 2229	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. }
5	4	rngstrg 13183	. . 3 |- ( ( B e. X /\ .+ e. Y /\ .X. e. Z ) -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } Struct <. 1 , 3 >. )
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1271	. 2 |- ( ph -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } Struct <. 1 , 3 >. )
7		psrvalstrd.r	. . 3 |- ( ph -> R e. W )
8		psrvalstrd.mulr	. . 3 |- ( ph -> .x. e. P )
9		psrvalstrd.j	. . 3 |- ( ph -> J e. Q )
10		5nn 9286	. . . 4 |- 5 e. NN
11		scandx 13199	. . . 4 |- (Scalar ` ndx ) = 5
12		5lt6 9301	. . . 4 |- 5 < 6
13		6nn 9287	. . . 4 |- 6 e. NN
14		vscandx 13205	. . . 4 |- ( .s ` ndx ) = 6
15		6lt9 9321	. . . 4 |- 6 < 9
16		9nn 9290	. . . 4 |- 9 e. NN
17		tsetndx 13234	. . . 4 |- (TopSet ` ndx ) = 9
18	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	strle3g 13156	. . 3 |- ( ( R e. W /\ .x. e. P /\ J e. Q ) -> { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } Struct <. 5 , 9 >. )
19	7, 8, 9, 18	syl3anc 1271	. 2 |- ( ph -> { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } Struct <. 5 , 9 >. )
20		3lt5 9298	. . 3 |- 3 < 5
21	20	a1i 9	. 2 |- ( ph -> 3 < 5 )
22	6, 19, 21	strleund 13151	1 |- ( ph -> ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } ) Struct <. 1 , 9 >. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   u. cun 3195   {ctp 3668   <.cop 3669   class class class wbr 4083   ` cfv 5318   1c1 8011   < clt 8192   3c3 9173   5c5 9175   6c6 9176   9c9 9179   Struct cstr 13043   ndxcnx 13044   Basecbs 13047   +g cplusg 13125   .rcmulr 13126  Scalarcsca 13128   .scvsca 13129  TopSetcts 13131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217  df-struct 13049  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-plusg 13138  df-mulr 13139  df-sca 13141  df-vsca 13142  df-tset 13144

This theorem is referenced by:  psrbasg  14653  psrplusgg  14657