Theorem psrvalstrd 14372

Description: The multivariate power series structure is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrvalstrd.b	|- ( ph -> B e. X )
psrvalstrd.plusg	|- ( ph -> .+ e. Y )
psrvalstrd.ips	|- ( ph -> .X. e. Z )
psrvalstrd.r	|- ( ph -> R e. W )
psrvalstrd.mulr	|- ( ph -> .x. e. P )
psrvalstrd.j	|- ( ph -> J e. Q )

Assertion

Ref	Expression
psrvalstrd	|- ( ph -> ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } ) Struct <. 1 , 9 >. )

Proof of Theorem psrvalstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrvalstrd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. X )
2		psrvalstrd.plusg	. . 3 |- ( ph -> .+ e. Y )
3		psrvalstrd.ips	. . 3 |- ( ph -> .X. e. Z )
4		eqid 2204	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. }
5	4	rngstrg 12909	. . 3 |- ( ( B e. X /\ .+ e. Y /\ .X. e. Z ) -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } Struct <. 1 , 3 >. )
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1249	. 2 |- ( ph -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } Struct <. 1 , 3 >. )
7		psrvalstrd.r	. . 3 |- ( ph -> R e. W )
8		psrvalstrd.mulr	. . 3 |- ( ph -> .x. e. P )
9		psrvalstrd.j	. . 3 |- ( ph -> J e. Q )
10		5nn 9200	. . . 4 |- 5 e. NN
11		scandx 12925	. . . 4 |- (Scalar ` ndx ) = 5
12		5lt6 9215	. . . 4 |- 5 < 6
13		6nn 9201	. . . 4 |- 6 e. NN
14		vscandx 12931	. . . 4 |- ( .s ` ndx ) = 6
15		6lt9 9235	. . . 4 |- 6 < 9
16		9nn 9204	. . . 4 |- 9 e. NN
17		tsetndx 12960	. . . 4 |- (TopSet ` ndx ) = 9
18	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	strle3g 12882	. . 3 |- ( ( R e. W /\ .x. e. P /\ J e. Q ) -> { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } Struct <. 5 , 9 >. )
19	7, 8, 9, 18	syl3anc 1249	. 2 |- ( ph -> { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } Struct <. 5 , 9 >. )
20		3lt5 9212	. . 3 |- 3 < 5
21	20	a1i 9	. 2 |- ( ph -> 3 < 5 )
22	6, 19, 21	strleund 12877	1 |- ( ph -> ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } ) Struct <. 1 , 9 >. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2175   u. cun 3163   {ctp 3634   <.cop 3635   class class class wbr 4043   ` cfv 5270   1c1 7925   < clt 8106   3c3 9087   5c5 9089   6c6 9090   9c9 9093   Struct cstr 12770   ndxcnx 12771   Basecbs 12774   +g cplusg 12851   .rcmulr 12852  Scalarcsca 12854   .scvsca 12855  TopSetcts 12857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-tp 3640  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-7 9099  df-8 9100  df-9 9101  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-fz 10130  df-struct 12776  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780  df-plusg 12864  df-mulr 12865  df-sca 12867  df-vsca 12868  df-tset 12870

This theorem is referenced by:  psrbasg  14378  psrplusgg  14382