Theorem psrvalstrd 14747

Description: The multivariate power series structure is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrvalstrd.b	|- ( ph -> B e. X )
psrvalstrd.plusg	|- ( ph -> .+ e. Y )
psrvalstrd.ips	|- ( ph -> .X. e. Z )
psrvalstrd.r	|- ( ph -> R e. W )
psrvalstrd.mulr	|- ( ph -> .x. e. P )
psrvalstrd.j	|- ( ph -> J e. Q )

Assertion

Ref	Expression
psrvalstrd	|- ( ph -> ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } ) Struct <. 1 , 9 >. )

Proof of Theorem psrvalstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrvalstrd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. X )
2		psrvalstrd.plusg	. . 3 |- ( ph -> .+ e. Y )
3		psrvalstrd.ips	. . 3 |- ( ph -> .X. e. Z )
4		eqid 2231	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. }
5	4	rngstrg 13281	. . 3 |- ( ( B e. X /\ .+ e. Y /\ .X. e. Z ) -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } Struct <. 1 , 3 >. )
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1274	. 2 |- ( ph -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } Struct <. 1 , 3 >. )
7		psrvalstrd.r	. . 3 |- ( ph -> R e. W )
8		psrvalstrd.mulr	. . 3 |- ( ph -> .x. e. P )
9		psrvalstrd.j	. . 3 |- ( ph -> J e. Q )
10		5nn 9350	. . . 4 |- 5 e. NN
11		scandx 13297	. . . 4 |- (Scalar ` ndx ) = 5
12		5lt6 9365	. . . 4 |- 5 < 6
13		6nn 9351	. . . 4 |- 6 e. NN
14		vscandx 13303	. . . 4 |- ( .s ` ndx ) = 6
15		6lt9 9385	. . . 4 |- 6 < 9
16		9nn 9354	. . . 4 |- 9 e. NN
17		tsetndx 13332	. . . 4 |- (TopSet ` ndx ) = 9
18	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	strle3g 13254	. . 3 |- ( ( R e. W /\ .x. e. P /\ J e. Q ) -> { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } Struct <. 5 , 9 >. )
19	7, 8, 9, 18	syl3anc 1274	. 2 |- ( ph -> { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } Struct <. 5 , 9 >. )
20		3lt5 9362	. . 3 |- 3 < 5
21	20	a1i 9	. 2 |- ( ph -> 3 < 5 )
22	6, 19, 21	strleund 13249	1 |- ( ph -> ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } ) Struct <. 1 , 9 >. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   u. cun 3199   {ctp 3675   <.cop 3676   class class class wbr 4093   ` cfv 5333   1c1 8076   < clt 8256   3c3 9237   5c5 9239   6c6 9240   9c9 9243   Struct cstr 13141   ndxcnx 13142   Basecbs 13145   +g cplusg 13223   .rcmulr 13224  Scalarcsca 13226   .scvsca 13227  TopSetcts 13229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289  df-struct 13147  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-sca 13239  df-vsca 13240  df-tset 13242

This theorem is referenced by:  psrbasg  14758  psrplusgg  14762