Theorem psrvalstrd 13971

Description: The multivariate power series structure is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrvalstrd.b	|- ( ph -> B e. X )
psrvalstrd.plusg	|- ( ph -> .+ e. Y )
psrvalstrd.ips	|- ( ph -> .X. e. Z )
psrvalstrd.r	|- ( ph -> R e. W )
psrvalstrd.mulr	|- ( ph -> .x. e. P )
psrvalstrd.j	|- ( ph -> J e. Q )

Assertion

Ref	Expression
psrvalstrd	|- ( ph -> ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } ) Struct <. 1 , 9 >. )

Proof of Theorem psrvalstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrvalstrd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. X )
2		psrvalstrd.plusg	. . 3 |- ( ph -> .+ e. Y )
3		psrvalstrd.ips	. . 3 |- ( ph -> .X. e. Z )
4		eqid 2189	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. }
5	4	rngstrg 12657	. . 3 |- ( ( B e. X /\ .+ e. Y /\ .X. e. Z ) -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } Struct <. 1 , 3 >. )
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1249	. 2 |- ( ph -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } Struct <. 1 , 3 >. )
7		psrvalstrd.r	. . 3 |- ( ph -> R e. W )
8		psrvalstrd.mulr	. . 3 |- ( ph -> .x. e. P )
9		psrvalstrd.j	. . 3 |- ( ph -> J e. Q )
10		5nn 9118	. . . 4 |- 5 e. NN
11		scandx 12673	. . . 4 |- (Scalar ` ndx ) = 5
12		5lt6 9133	. . . 4 |- 5 < 6
13		6nn 9119	. . . 4 |- 6 e. NN
14		vscandx 12679	. . . 4 |- ( .s ` ndx ) = 6
15		6lt9 9153	. . . 4 |- 6 < 9
16		9nn 9122	. . . 4 |- 9 e. NN
17		tsetndx 12708	. . . 4 |- (TopSet ` ndx ) = 9
18	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	strle3g 12631	. . 3 |- ( ( R e. W /\ .x. e. P /\ J e. Q ) -> { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } Struct <. 5 , 9 >. )
19	7, 8, 9, 18	syl3anc 1249	. 2 |- ( ph -> { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } Struct <. 5 , 9 >. )
20		3lt5 9130	. . 3 |- 3 < 5
21	20	a1i 9	. 2 |- ( ph -> 3 < 5 )
22	6, 19, 21	strleund 12626	1 |- ( ph -> ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } ) Struct <. 1 , 9 >. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2160   u. cun 3142   {ctp 3612   <.cop 3613   class class class wbr 4021   ` cfv 5238   1c1 7847   < clt 8027   3c3 9006   5c5 9008   6c6 9009   9c9 9012   Struct cstr 12519   ndxcnx 12520   Basecbs 12523   +g cplusg 12600   .rcmulr 12601  Scalarcsca 12603   .scvsca 12604  TopSetcts 12606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-tp 3618  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-4 9015  df-5 9016  df-6 9017  df-7 9018  df-8 9019  df-9 9020  df-n0 9212  df-z 9289  df-uz 9564  df-fz 10045  df-struct 12525  df-ndx 12526  df-slot 12527  df-base 12529  df-plusg 12613  df-mulr 12614  df-sca 12616  df-vsca 12617  df-tset 12619

This theorem is referenced by:  psrbasg  13976  psrplusgg  13979