Theorem psrvalstrd 15052

Description: The multivariate power series structure is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrvalstrd.b	|- ( ph -> B e. X )
psrvalstrd.plusg	|- ( ph -> .+ e. Y )
psrvalstrd.ips	|- ( ph -> .X. e. Z )
psrvalstrd.r	|- ( ph -> R e. W )
psrvalstrd.mulr	|- ( ph -> .x. e. P )
psrvalstrd.j	|- ( ph -> J e. Q )

Assertion

Ref	Expression
psrvalstrd	|- ( ph -> ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } ) Struct <. 1 , 9 >. )

Proof of Theorem psrvalstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrvalstrd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. X )
2		psrvalstrd.plusg	. . 3 |- ( ph -> .+ e. Y )
3		psrvalstrd.ips	. . 3 |- ( ph -> .X. e. Z )
4		eqid 2238	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. }
5	4	rngstrg 13489	. . 3 |- ( ( B e. X /\ .+ e. Y /\ .X. e. Z ) -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } Struct <. 1 , 3 >. )
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1278	. 2 |- ( ph -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } Struct <. 1 , 3 >. )
7		psrvalstrd.r	. . 3 |- ( ph -> R e. W )
8		psrvalstrd.mulr	. . 3 |- ( ph -> .x. e. P )
9		psrvalstrd.j	. . 3 |- ( ph -> J e. Q )
10		5nn 9469	. . . 4 |- 5 e. NN
11		scandx 13505	. . . 4 |- (Scalar ` ndx ) = 5
12		5lt6 9484	. . . 4 |- 5 < 6
13		6nn 9470	. . . 4 |- 6 e. NN
14		vscandx 13511	. . . 4 |- ( .s ` ndx ) = 6
15		6lt9 9504	. . . 4 |- 6 < 9
16		9nn 9473	. . . 4 |- 9 e. NN
17		tsetndx 13540	. . . 4 |- (TopSet ` ndx ) = 9
18	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	strle3g 13462	. . 3 |- ( ( R e. W /\ .x. e. P /\ J e. Q ) -> { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } Struct <. 5 , 9 >. )
19	7, 8, 9, 18	syl3anc 1278	. 2 |- ( ph -> { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } Struct <. 5 , 9 >. )
20		3lt5 9481	. . 3 |- 3 < 5
21	20	a1i 9	. 2 |- ( ph -> 3 < 5 )
22	6, 19, 21	strleund 13457	1 |- ( ph -> ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } ) Struct <. 1 , 9 >. )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   u. cun 3218   {ctp 3711   <.cop 3712   class class class wbr 4130   ` cfv 5377   1c1 8180   < clt 8360   3c3 9356   5c5 9358   6c6 9359   9c9 9362   Struct cstr 13348   ndxcnx 13349   Basecbs 13352   +g cplusg 13431   .rcmulr 13432  Scalarcsca 13434   .scvsca 13435  TopSetcts 13437

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-struct 13354  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-sca 13447  df-vsca 13448  df-tset 13450

This theorem is used by:  psrbasg  15065  psrplusgg  15069