Theorem psrbaglesuppg 14434

Description: The support of a dominated bag is smaller than the dominating bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
psrbaglesuppg	|- ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) -> ( `' G " NN ) C_ ( `' F " NN ) )

Distinct variable groups:   f, F   f, I

Allowed substitution hints:   D( f)   G( f)   V( f)

Proof of Theorem psrbaglesuppg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr1 1042	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) -> F e. D )
2		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) -> I e. V )
3		psrbag.d	. . . . . . . . . . 11 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
4	3	psrbag 14431	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. V -> ( F e. D <-> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) ) )
5	2, 4	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) -> ( F e. D <-> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) ) )
6	1, 5	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) -> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) )
7	6	simpld 112	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) -> F : I --> NN0 )
8		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) -> x e. ( `' G " NN ) )
9		simplr2 1043	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) -> G : I --> NN0 )
10	9	ffnd 5426	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) -> G Fn I )
11		elpreima 5699	. . . . . . . . . 10 |- ( G Fn I -> ( x e. ( `' G " NN ) <-> ( x e. I /\ ( G ` x ) e. NN ) ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) -> ( x e. ( `' G " NN ) <-> ( x e. I /\ ( G ` x ) e. NN ) ) )
13	8, 12	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) -> ( x e. I /\ ( G ` x ) e. NN ) )
14	13	simpld 112	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) -> x e. I )
15	7, 14	ffvelcdmd 5716	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) -> ( F ` x ) e. NN0 )
16	15	nn0zd 9493	. . . . 5 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) -> ( F ` x ) e. ZZ )
17		1red 8087	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) -> 1 e. RR )
18		ffun 5428	. . . . . . . . . 10 |- ( G : I --> NN0 -> Fun G )
19	18	3ad2ant2 1022	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> Fun G )
20	19	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) -> Fun G )
21		fvimacnvi 5694	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun G /\ x e. ( `' G " NN ) ) -> ( G ` x ) e. NN )
22	20, 8, 21	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) -> ( G ` x ) e. NN )
23	22	nnred 9049	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) -> ( G ` x ) e. RR )
24	15	nn0red 9349	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
25	22	nnge1d 9079	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) -> 1 <_ ( G ` x ) )
26		simplr3 1044	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) -> G oR <_ F )
27	7	ffnd 5426	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) -> F Fn I )
28		inidm 3382	. . . . . . . 8 |- ( I i^i I ) = I
29		eqidd 2206	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) /\ x e. I ) -> ( G ` x ) = ( G ` x ) )
30		eqidd 2206	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) /\ x e. I ) -> ( F ` x ) = ( F ` x ) )
31	10, 27, 2, 2, 28, 29, 30	ofrval 6169	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) /\ G oR <_ F /\ x e. I ) -> ( G ` x ) <_ ( F ` x ) )
32	26, 14, 31	mpd3an23 1352	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) -> ( G ` x ) <_ ( F ` x ) )
33	17, 23, 24, 25, 32	letrd 8196	. . . . 5 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) -> 1 <_ ( F ` x ) )
34		elnnz1 9395	. . . . 5 |- ( ( F ` x ) e. NN <-> ( ( F ` x ) e. ZZ /\ 1 <_ ( F ` x ) ) )
35	16, 33, 34	sylanbrc 417	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) -> ( F ` x ) e. NN )
36	7	ffund 5429	. . . . 5 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) -> Fun F )
37	7	fdmd 5432	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) -> dom F = I )
38	14, 37	eleqtrrd 2285	. . . . 5 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) -> x e. dom F )
39		fvimacnv 5695	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( ( F ` x ) e. NN <-> x e. ( `' F " NN ) ) )
40	36, 38, 39	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) -> ( ( F ` x ) e. NN <-> x e. ( `' F " NN ) ) )
41	35, 40	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( `' G " NN ) ) -> x e. ( `' F " NN ) )
42	41	ex 115	. 2 |- ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) -> ( x e. ( `' G " NN ) -> x e. ( `' F " NN ) ) )
43	42	ssrdv 3199	1 |- ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) -> ( `' G " NN ) C_ ( `' F " NN ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   {crab 2488   C_ wss 3166   class class class wbr 4044   `'ccnv 4674   dom cdm 4675   "cima 4678   Fun wfun 5265   Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   oRcofr 6157   ^m cmap 6735   Fincfn 6827   1c1 7926   <_ cle 8108   NNcn 9036   NN0cn0 9295   ZZcz 9372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-ofr 6159  df-map 6737  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373

This theorem is referenced by: (None)