Theorem psrbag 14223

Description: Elementhood in the set of finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbag	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnveq 4840	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ◡𝑓 = ◡𝐹)
2	1	imaeq1d 5008	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (◡𝑓 “ ℕ) = (◡𝐹 “ ℕ))
3	2	eleq1d 2265	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
4		psrbag.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5	3, 4	elrab2 2923	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
6		nn0ex 9255	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
7		elmapg 6720	. . . 4 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝐹:𝐼⟶ℕ0))
8	6, 7	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝐹:𝐼⟶ℕ0))
9	8	anbi1d 465	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin) ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
10	5, 9	bitrid 192	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {crab 2479  Vcvv 2763  ^◡ccnv 4662   “ cima 4666  ⟶wf 5254  (class class class)co 5922   ↑_𝑚 cmap 6707  Fincfn 6799  ℕcn 8990  ℕ₀cn0 9249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-i2m1 7984

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-map 6709  df-inn 8991  df-n0 9250

This theorem is referenced by:  fczpsrbag  14225  psrbaglesuppg  14226