Theorem psrbag 14648

Description: Elementhood in the set of finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbag	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnveq 4896	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ◡𝑓 = ◡𝐹)
2	1	imaeq1d 5067	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (◡𝑓 “ ℕ) = (◡𝐹 “ ℕ))
3	2	eleq1d 2298	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
4		psrbag.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5	3, 4	elrab2 2962	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
6		nn0ex 9386	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
7		elmapg 6816	. . . 4 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝐹:𝐼⟶ℕ0))
8	6, 7	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝐹:𝐼⟶ℕ0))
9	8	anbi1d 465	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin) ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
10	5, 9	bitrid 192	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {crab 2512  Vcvv 2799  ^◡ccnv 4718   “ cima 4722  ⟶wf 5314  (class class class)co 6007   ↑_𝑚 cmap 6803  Fincfn 6895  ℕcn 9121  ℕ₀cn0 9380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-i2m1 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-map 6805  df-inn 9122  df-n0 9381

This theorem is referenced by:  fczpsrbag  14650  psrbaglesuppg  14651