ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  psrbag GIF version

Theorem psrbag 14155
Description: Elementhood in the set of finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbag (𝐼𝑉 → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbag
StepHypRef Expression
1 cnveq 4836 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹𝑓 = 𝐹)
21imaeq1d 5004 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 “ ℕ) = (𝐹 “ ℕ))
32eleq1d 2262 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
4 psrbag.d . . 3 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
53, 4elrab2 2919 . 2 (𝐹𝐷 ↔ (𝐹 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
6 nn0ex 9246 . . . 4 0 ∈ V
7 elmapg 6715 . . . 4 ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼𝑉) → (𝐹 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ↔ 𝐹:𝐼⟶ℕ0))
86, 7mpan 424 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝐹 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ↔ 𝐹:𝐼⟶ℕ0))
98anbi1d 465 . 2 (𝐼𝑉 → ((𝐹 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin) ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
105, 9bitrid 192 1 (𝐼𝑉 → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2164  {crab 2476  Vcvv 2760  ccnv 4658  cima 4662  wf 5250  (class class class)co 5918  𝑚 cmap 6702  Fincfn 6794  cn 8982  0cn0 9240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-i2m1 7977
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-map 6704  df-inn 8983  df-n0 9241
This theorem is referenced by:  fczpsrbag  14157  psrbaglesuppg  14158
  Copyright terms: Public domain W3C validator