Theorem ressscag 13130

Description: Scalar is unaffected by restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
resssca.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
resssca.2	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressscag	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 = (Scalar‘𝐻))

Proof of Theorem ressscag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resssca.1	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		resssca.2	. 2 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐺)
3		scaslid 13100	. 2 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
4		scandxnbasendx 13101	. 2 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
5		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ 𝑋)
6		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	resseqnbasd 13020	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 = (Scalar‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967   ↾_s cress 12948  Scalarcsca 13027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-iress 12955  df-sca 13040

This theorem is referenced by:  islss3  14256