Theorem fmpttd 5798

Description: Version of fmptd 5797 with inlined definition. Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.) (Proof shortened by BJ, 16-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpttd.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )

Assertion

Ref	Expression
fmpttd	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   ph, x

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem fmpttd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpttd.1	. 2 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )
2		eqid 2229	. 2 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
3	1, 2	fmptd 5797	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   |-> cmpt 4148   -->wf 5320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332

This theorem is referenced by:  fmpt3d  5799  pw2f1odclem  7015  ctmlemr  7298  ctssdclemn0  7300  ctssdc  7303  infnninf  7314  nnnninf  7316  ismkvnex  7345  seqf1og  10773  ccatcl  11160  swrdclg  11221  swrdwrdsymbg  11235  fsumf1o  11941  isumss  11942  fisumss  11943  fsumcl2lem  11949  fsumadd  11957  isumclim3  11974  isummulc2  11977  fsummulc2  11999  isumshft  12041  prodfdivap  12098  fprodf1o  12139  prodssdc  12140  fprodssdc  12141  fprodmul  12142  gsumfzz  13568  gsumfzmptfidmadd  13916  gsumfzconst  13918  gsumfzmhm2  13921  srglmhm  13996  srgrmhm  13997  ringlghm  14064  ringrghm  14065  gsumfzfsumlemm  14591  expghmap  14611  fczpsrbag  14675  mplsubgfilemm  14702  tgrest  14883  resttopon  14885  rest0  14893  cnpfval  14909  txcnp  14985  uptx  14988  cnmpt11  14997  bdxmet  15215  cncfmptc  15310  cncfmptid  15311  cdivcncfap  15318  mulcncf  15322  maxcncf  15329  mincncf  15330  ivthreinc  15359  hovercncf  15360  limcmpted  15377  dvfgg  15402  dvcnp2cntop  15413  dvmulxxbr  15416  dvcjbr  15422  dvexp  15425  dvrecap  15427  dvmptclx  15432  dvmptaddx  15433  dvmptmulx  15434  dvmptcjx  15438  dvef  15441  elply2  15449  plyf  15451  elplyd  15455  dvply2g  15480  lgseisenlem3  15791  lgseisenlem4  15792  incistruhgr  15931  2omap  16530  pw1map  16532  subctctexmid  16537  nninffeq  16558  iswomni0  16591  dceqnconst  16600  dcapnconst  16601