Theorem fmpttd 5863

Description: Version of fmptd 5862 with inlined definition. Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.) (Proof shortened by BJ, 16-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpttd.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )

Assertion

Ref	Expression
fmpttd	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   ph, x

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem fmpttd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpttd.1	. 2 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )
2		eqid 2238	. 2 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
3	1, 2	fmptd 5862	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   |-> cmpt 4192   -->wf 5373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385

This theorem is used by:  fmpt3d  5864  pw2f1odclem  7134  mapxpen  7148  2omap  7318  ctmlemr  7448  ctssdclemn0  7450  ctssdc  7453  infnninf  7464  nnnninf  7466  ismkvnex  7495  seqf1og  10958  ccatcl  11361  swrdclg  11422  swrdwrdsymbg  11436  fsumf1o  12157  isumss  12158  fisumss  12159  fsumcl2lem  12165  fsumadd  12173  isumclim3  12190  isummulc2  12193  fsummulc2  12215  isumshft  12257  prodfdivap  12314  fprodf1o  12355  prodssdc  12356  fprodssdc  12357  fprodmul  12358  gzsumconst  14143  gzsummhm2  14146  gsumsncmn  14156  gsumzfi  14158  gsummptfidmadd  14161  gsummhm2fi  14165  gsumconstcmn  14166  srglmhm  14297  srgrmhm  14298  ringlghm  14366  ringrghm  14367  gsumfsum  14923  expghmap  14942  fczpsrbag  15056  mplsubgfilemm  15089  tgrest  15270  resttopon  15272  rest0  15280  cnpfval  15296  txcnp  15372  uptx  15375  cnmpt11  15384  bdxmet  15602  cncfmptc  15697  cncfmptid  15698  cdivcncfap  15705  mulcncf  15709  maxcncf  15716  mincncf  15717  ivthreinc  15746  hovercncf  15747  limcmpted  15764  dvfgg  15789  dvcnp2cntop  15800  dvmulxxbr  15803  dvcjbr  15809  dvexp  15812  dvrecap  15814  dvmptclx  15819  dvmptaddx  15820  dvmptmulx  15821  dvmptcjx  15825  dvef  15828  elply2  15836  plyf  15838  elplyd  15842  dvply2g  15867  lgseisenlem3  16191  lgseisenlem4  16192  incistruhgr  16331  pw1map  17025  subctctexmid  17030  nninffeq  17063  iswomni0  17101  dceqnconst  17110  dcapnconst  17111