Theorem fmpttd 5863

Description: Version of fmptd 5862 with inlined definition. Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.) (Proof shortened by BJ, 16-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpttd.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )

Assertion

Ref	Expression
fmpttd	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   ph, x

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem fmpttd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpttd.1	. 2 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )
2		eqid 2238	. 2 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
3	1, 2	fmptd 5862	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   |-> cmpt 4192   -->wf 5373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385

This theorem is used by:  fmpt3d  5864  pw2f1odclem  7134  mapxpen  7148  2omap  7319  ctmlemr  7449  ctssdclemn0  7451  ctssdc  7454  infnninf  7465  nnnninf  7467  ismkvnex  7496  seqf1og  10973  ccatcl  11377  swrdclg  11438  swrdwrdsymbg  11452  fsumf1o  12176  isumss  12177  fisumss  12178  fsumcl2lem  12184  fsumadd  12192  isumclim3  12209  isummulc2  12212  fsummulc2  12234  isumshft  12276  prodfdivap  12333  fprodf1o  12374  prodssdc  12375  fprodssdc  12376  fprodmul  12377  gzsumconst  14227  gzsummhm2  14230  gsumsncmn  14240  gsumzfi  14242  gsummptfidmadd  14245  gsummhm2fi  14249  gsumconstcmn  14250  srglmhm  14381  srgrmhm  14382  ringlghm  14450  ringrghm  14451  gsumfsum  15007  expghmap  15026  fczpsrbag  15140  rhmpsrfilem2  15157  psrmulvalfi  15160  psrmulclfilem  15161  mplsubgfilemm  15180  tgrest  15361  resttopon  15363  rest0  15371  cnpfval  15387  txcnp  15463  uptx  15466  cnmpt11  15475  bdxmet  15693  cncfmptc  15788  cncfmptid  15789  cdivcncfap  15796  mulcncf  15800  maxcncf  15807  mincncf  15808  ivthreinc  15837  hovercncf  15838  limcmpted  15855  dvfgg  15880  dvcnp2cntop  15891  dvmulxxbr  15894  dvcjbr  15900  dvexp  15903  dvrecap  15905  dvmptclx  15910  dvmptaddx  15911  dvmptmulx  15912  dvmptcjx  15916  dvef  15919  elply2  15927  plyf  15929  elplyd  15933  dvply2g  15958  lgseisenlem3  16357  lgseisenlem4  16358  incistruhgr  16497  pw1map  17191  subctctexmid  17196  nninffeq  17229  iswomni0  17268  dceqnconst  17277  dcapnconst  17278