Theorem fmpttd 5673

Description: Version of fmptd 5672 with inlined definition. Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.) (Proof shortened by BJ, 16-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpttd.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )

Assertion

Ref	Expression
fmpttd	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   ph, x

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem fmpttd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpttd.1	. 2 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )
2		eqid 2177	. 2 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
3	1, 2	fmptd 5672	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   |-> cmpt 4066   -->wf 5214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226

This theorem is referenced by:  fmpt3d  5674  ctmlemr  7109  ctssdclemn0  7111  ctssdc  7114  infnninf  7124  nnnninf  7126  ismkvnex  7155  fsumf1o  11400  isumss  11401  fisumss  11402  fsumcl2lem  11408  fsumadd  11416  isumclim3  11433  isummulc2  11436  fsummulc2  11458  isumshft  11500  prodfdivap  11557  fprodf1o  11598  prodssdc  11599  fprodssdc  11600  fprodmul  11601  srglmhm  13181  srgrmhm  13182  tgrest  13754  resttopon  13756  rest0  13764  cnpfval  13780  txcnp  13856  uptx  13859  cnmpt11  13868  bdxmet  14086  cncfmptc  14167  cncfmptid  14168  cdivcncfap  14172  mulcncf  14176  limcmpted  14217  dvfgg  14242  dvcnp2cntop  14248  dvmulxxbr  14251  dvcjbr  14257  dvexp  14260  dvrecap  14262  dvmptclx  14265  dvmptaddx  14266  dvmptmulx  14267  dvmptcjx  14271  dvef  14273  subctctexmid  14835  nninffeq  14854  iswomni0  14884  dceqnconst  14893  dcapnconst  14894