Theorem fmpttd 5854

Description: Version of fmptd 5853 with inlined definition. Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.) (Proof shortened by BJ, 16-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpttd.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )

Assertion

Ref	Expression
fmpttd	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   ph, x

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem fmpttd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpttd.1	. 2 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )
2		eqid 2238	. 2 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
3	1, 2	fmptd 5853	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   |-> cmpt 4187   -->wf 5368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380

This theorem is referenced by:  fmpt3d  5855  pw2f1odclem  7124  mapxpen  7138  2omap  7308  ctmlemr  7438  ctssdclemn0  7440  ctssdc  7443  infnninf  7454  nnnninf  7456  ismkvnex  7485  seqf1og  10936  ccatcl  11339  swrdclg  11400  swrdwrdsymbg  11414  fsumf1o  12135  isumss  12136  fisumss  12137  fsumcl2lem  12143  fsumadd  12151  isumclim3  12168  isummulc2  12171  fsummulc2  12193  isumshft  12235  prodfdivap  12292  fprodf1o  12333  prodssdc  12334  fprodssdc  12335  fprodmul  12336  gzsumconst  14120  gzsummhm2  14123  gsumsncmn  14133  gsumzfi  14135  gsummptfidmadd  14138  gsummhm2fi  14142  gsumconstcmn  14143  srglmhm  14271  srgrmhm  14272  ringlghm  14339  ringrghm  14340  gsumfsum  14895  expghmap  14914  fczpsrbag  14979  mplsubgfilemm  15012  tgrest  15193  resttopon  15195  rest0  15203  cnpfval  15219  txcnp  15295  uptx  15298  cnmpt11  15307  bdxmet  15525  cncfmptc  15620  cncfmptid  15621  cdivcncfap  15628  mulcncf  15632  maxcncf  15639  mincncf  15640  ivthreinc  15669  hovercncf  15670  limcmpted  15687  dvfgg  15712  dvcnp2cntop  15723  dvmulxxbr  15726  dvcjbr  15732  dvexp  15735  dvrecap  15737  dvmptclx  15742  dvmptaddx  15743  dvmptmulx  15744  dvmptcjx  15748  dvef  15751  elply2  15759  plyf  15761  elplyd  15765  dvply2g  15790  lgseisenlem3  16105  lgseisenlem4  16106  incistruhgr  16245  pw1map  16939  subctctexmid  16944  nninffeq  16968  iswomni0  17006  dceqnconst  17015  dcapnconst  17016