Theorem fmpttd 5837

Description: Version of fmptd 5836 with inlined definition. Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.) (Proof shortened by BJ, 16-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpttd.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )

Assertion

Ref	Expression
fmpttd	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   ph, x

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem fmpttd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpttd.1	. 2 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )
2		eqid 2234	. 2 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
3	1, 2	fmptd 5836	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2205   |-> cmpt 4176   -->wf 5353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365

This theorem is referenced by:  fmpt3d  5838  pw2f1odclem  7100  mapxpen  7114  2omap  7282  ctmlemr  7412  ctssdclemn0  7414  ctssdc  7417  infnninf  7428  nnnninf  7430  ismkvnex  7459  seqf1og  10907  ccatcl  11306  swrdclg  11367  swrdwrdsymbg  11381  fsumf1o  12101  isumss  12102  fisumss  12103  fsumcl2lem  12109  fsumadd  12117  isumclim3  12134  isummulc2  12137  fsummulc2  12159  isumshft  12201  prodfdivap  12258  fprodf1o  12299  prodssdc  12300  fprodssdc  12301  fprodmul  12302  gsumfzz  13750  gsumfzmptfidmadd  14092  gsumfzconst  14094  gsumfzmhm2  14097  gfsumsn  14107  gfsumz  14109  srglmhm  14236  srgrmhm  14237  ringlghm  14304  ringrghm  14305  gsumfzfsumlemm  14861  expghmap  14881  fczpsrbag  14946  mplsubgfilemm  14979  tgrest  15160  resttopon  15162  rest0  15170  cnpfval  15186  txcnp  15262  uptx  15265  cnmpt11  15274  bdxmet  15492  cncfmptc  15587  cncfmptid  15588  cdivcncfap  15595  mulcncf  15599  maxcncf  15606  mincncf  15607  ivthreinc  15636  hovercncf  15637  limcmpted  15654  dvfgg  15679  dvcnp2cntop  15690  dvmulxxbr  15693  dvcjbr  15699  dvexp  15702  dvrecap  15704  dvmptclx  15709  dvmptaddx  15710  dvmptmulx  15711  dvmptcjx  15715  dvef  15718  elply2  15726  plyf  15728  elplyd  15732  dvply2g  15757  lgseisenlem3  16071  lgseisenlem4  16072  incistruhgr  16211  pw1map  16895  subctctexmid  16900  nninffeq  16924  iswomni0  16962  dceqnconst  16972  dcapnconst  16973