Theorem fmpttd 5866

Description: Version of fmptd 5865 with inlined definition. Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.) (Proof shortened by BJ, 16-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpttd.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )

Assertion

Ref	Expression
fmpttd	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   ph, x

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem fmpttd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpttd.1	. 2 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )
2		eqid 2238	. 2 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
3	1, 2	fmptd 5865	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   |-> cmpt 4193   -->wf 5376

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388

This theorem is used by:  fmpt3d  5867  pw2f1odclem  7138  mapxpen  7152  2omap  7324  ctmlemr  7454  ctssdclemn0  7456  ctssdc  7459  infnninf  7470  nnnninf  7472  ismkvnex  7501  seqf1og  10979  ccatcl  11383  swrdclg  11444  swrdwrdsymbg  11458  fsumf1o  12182  isumss  12183  fisumss  12184  fsumcl2lem  12190  fsumadd  12198  isumclim3  12215  isummulc2  12218  fsummulc2  12240  isumshft  12282  prodfdivap  12339  fprodf1o  12380  prodssdc  12381  fprodssdc  12382  fprodmul  12383  gzsumconst  14233  gzsummhm2  14236  gsumsncmn  14246  gsumzfi  14248  gsummptfidmadd  14251  gsummptfidmsplit  14254  gsummhm2fi  14265  gsumconstcmn  14266  gsum2dfilem1  14271  gsum2dfilem2  14272  gsum2dfi  14273  srglmhm  14404  srgrmhm  14405  ringlghm  14473  ringrghm  14474  gsumfsum  15032  expghmap  15051  fczpsrbag  15165  psrass1filem  15177  rhmpsrfilem2  15185  psrmulvalfi  15188  psrmulclfilem  15189  psrlidmfi  15199  psrridmfi  15200  mplsubgfilemm  15214  tgrest  15395  resttopon  15397  rest0  15405  cnpfval  15421  txcnp  15497  uptx  15500  cnmpt11  15509  bdxmet  15727  cncfmptc  15822  cncfmptid  15823  cdivcncfap  15830  mulcncf  15834  maxcncf  15841  mincncf  15842  ivthreinc  15871  hovercncf  15872  limcmpted  15889  dvfgg  15914  dvcnp2cntop  15925  dvmulxxbr  15928  dvcjbr  15934  dvexp  15937  dvrecap  15939  dvmptclx  15944  dvmptaddx  15945  dvmptmulx  15946  dvmptcjx  15950  dvef  15953  elply2  15961  plyf  15963  elplyd  15967  dvply2g  15992  lgseisenlem3  16396  lgseisenlem4  16397  incistruhgr  16536  pw1map  17230  subctctexmid  17235  nninffeq  17269  iswomni0  17308  dceqnconst  17317  dcapnconst  17318