Theorem fmpttd 5802

Description: Version of fmptd 5801 with inlined definition. Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.) (Proof shortened by BJ, 16-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpttd.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )

Assertion

Ref	Expression
fmpttd	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   ph, x

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem fmpttd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpttd.1	. 2 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )
2		eqid 2231	. 2 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
3	1, 2	fmptd 5801	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   |-> cmpt 4150   -->wf 5322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334

This theorem is referenced by:  fmpt3d  5803  pw2f1odclem  7019  ctmlemr  7306  ctssdclemn0  7308  ctssdc  7311  infnninf  7322  nnnninf  7324  ismkvnex  7353  seqf1og  10782  ccatcl  11169  swrdclg  11230  swrdwrdsymbg  11244  fsumf1o  11950  isumss  11951  fisumss  11952  fsumcl2lem  11958  fsumadd  11966  isumclim3  11983  isummulc2  11986  fsummulc2  12008  isumshft  12050  prodfdivap  12107  fprodf1o  12148  prodssdc  12149  fprodssdc  12150  fprodmul  12151  gsumfzz  13577  gsumfzmptfidmadd  13925  gsumfzconst  13927  gsumfzmhm2  13930  srglmhm  14005  srgrmhm  14006  ringlghm  14073  ringrghm  14074  gsumfzfsumlemm  14600  expghmap  14620  fczpsrbag  14684  mplsubgfilemm  14711  tgrest  14892  resttopon  14894  rest0  14902  cnpfval  14918  txcnp  14994  uptx  14997  cnmpt11  15006  bdxmet  15224  cncfmptc  15319  cncfmptid  15320  cdivcncfap  15327  mulcncf  15331  maxcncf  15338  mincncf  15339  ivthreinc  15368  hovercncf  15369  limcmpted  15386  dvfgg  15411  dvcnp2cntop  15422  dvmulxxbr  15425  dvcjbr  15431  dvexp  15434  dvrecap  15436  dvmptclx  15441  dvmptaddx  15442  dvmptmulx  15443  dvmptcjx  15447  dvef  15450  elply2  15458  plyf  15460  elplyd  15464  dvply2g  15489  lgseisenlem3  15800  lgseisenlem4  15801  incistruhgr  15940  2omap  16594  pw1map  16596  subctctexmid  16601  nninffeq  16622  iswomni0  16655  dceqnconst  16664  dcapnconst  16665