Theorem fmpttd 5810

Description: Version of fmptd 5809 with inlined definition. Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.) (Proof shortened by BJ, 16-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpttd.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )

Assertion

Ref	Expression
fmpttd	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   ph, x

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem fmpttd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpttd.1	. 2 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )
2		eqid 2231	. 2 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
3	1, 2	fmptd 5809	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   |-> cmpt 4155   -->wf 5329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341

This theorem is referenced by:  fmpt3d  5811  pw2f1odclem  7063  ctmlemr  7350  ctssdclemn0  7352  ctssdc  7355  infnninf  7366  nnnninf  7368  ismkvnex  7397  seqf1og  10829  ccatcl  11219  swrdclg  11280  swrdwrdsymbg  11294  fsumf1o  12014  isumss  12015  fisumss  12016  fsumcl2lem  12022  fsumadd  12030  isumclim3  12047  isummulc2  12050  fsummulc2  12072  isumshft  12114  prodfdivap  12171  fprodf1o  12212  prodssdc  12213  fprodssdc  12214  fprodmul  12215  gsumfzz  13641  gsumfzmptfidmadd  13989  gsumfzconst  13991  gsumfzmhm2  13994  srglmhm  14070  srgrmhm  14071  ringlghm  14138  ringrghm  14139  gsumfzfsumlemm  14666  expghmap  14686  fczpsrbag  14750  mplsubgfilemm  14782  tgrest  14963  resttopon  14965  rest0  14973  cnpfval  14989  txcnp  15065  uptx  15068  cnmpt11  15077  bdxmet  15295  cncfmptc  15390  cncfmptid  15391  cdivcncfap  15398  mulcncf  15402  maxcncf  15409  mincncf  15410  ivthreinc  15439  hovercncf  15440  limcmpted  15457  dvfgg  15482  dvcnp2cntop  15493  dvmulxxbr  15496  dvcjbr  15502  dvexp  15505  dvrecap  15507  dvmptclx  15512  dvmptaddx  15513  dvmptmulx  15514  dvmptcjx  15518  dvef  15521  elply2  15529  plyf  15531  elplyd  15535  dvply2g  15560  lgseisenlem3  15874  lgseisenlem4  15875  incistruhgr  16014  2omap  16698  pw1map  16700  subctctexmid  16705  nninffeq  16729  iswomni0  16767  dceqnconst  16776  dcapnconst  16777  gfsumsn  16797