Theorem fmpttd 5863

Description: Version of fmptd 5862 with inlined definition. Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.) (Proof shortened by BJ, 16-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpttd.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )

Assertion

Ref	Expression
fmpttd	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   ph, x

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem fmpttd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpttd.1	. 2 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )
2		eqid 2238	. 2 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
3	1, 2	fmptd 5862	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   |-> cmpt 4192   -->wf 5373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385

This theorem is used by:  fmpt3d  5864  pw2f1odclem  7134  mapxpen  7148  2omap  7318  ctmlemr  7448  ctssdclemn0  7450  ctssdc  7453  infnninf  7464  nnnninf  7466  ismkvnex  7495  seqf1og  10971  ccatcl  11375  swrdclg  11436  swrdwrdsymbg  11450  fsumf1o  12173  isumss  12174  fisumss  12175  fsumcl2lem  12181  fsumadd  12189  isumclim3  12206  isummulc2  12209  fsummulc2  12231  isumshft  12273  prodfdivap  12330  fprodf1o  12371  prodssdc  12372  fprodssdc  12373  fprodmul  12374  gzsumconst  14192  gzsummhm2  14195  gsumsncmn  14205  gsumzfi  14207  gsummptfidmadd  14210  gsummhm2fi  14214  gsumconstcmn  14215  srglmhm  14346  srgrmhm  14347  ringlghm  14415  ringrghm  14416  gsumfsum  14972  expghmap  14991  fczpsrbag  15105  mplsubgfilemm  15138  tgrest  15319  resttopon  15321  rest0  15329  cnpfval  15345  txcnp  15421  uptx  15424  cnmpt11  15433  bdxmet  15651  cncfmptc  15746  cncfmptid  15747  cdivcncfap  15754  mulcncf  15758  maxcncf  15765  mincncf  15766  ivthreinc  15795  hovercncf  15796  limcmpted  15813  dvfgg  15838  dvcnp2cntop  15849  dvmulxxbr  15852  dvcjbr  15858  dvexp  15861  dvrecap  15863  dvmptclx  15868  dvmptaddx  15869  dvmptmulx  15870  dvmptcjx  15874  dvef  15877  elply2  15885  plyf  15887  elplyd  15891  dvply2g  15916  lgseisenlem3  16289  lgseisenlem4  16290  incistruhgr  16429  pw1map  17123  subctctexmid  17128  nninffeq  17161  iswomni0  17199  dceqnconst  17208  dcapnconst  17209