Theorem fmpttd 5802

Description: Version of fmptd 5801 with inlined definition. Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.) (Proof shortened by BJ, 16-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpttd.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )

Assertion

Ref	Expression
fmpttd	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   ph, x

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem fmpttd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpttd.1	. 2 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )
2		eqid 2231	. 2 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
3	1, 2	fmptd 5801	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   |-> cmpt 4150   -->wf 5322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334

This theorem is referenced by:  fmpt3d  5803  pw2f1odclem  7020  ctmlemr  7307  ctssdclemn0  7309  ctssdc  7312  infnninf  7323  nnnninf  7325  ismkvnex  7354  seqf1og  10784  ccatcl  11174  swrdclg  11235  swrdwrdsymbg  11249  fsumf1o  11969  isumss  11970  fisumss  11971  fsumcl2lem  11977  fsumadd  11985  isumclim3  12002  isummulc2  12005  fsummulc2  12027  isumshft  12069  prodfdivap  12126  fprodf1o  12167  prodssdc  12168  fprodssdc  12169  fprodmul  12170  gsumfzz  13596  gsumfzmptfidmadd  13944  gsumfzconst  13946  gsumfzmhm2  13949  srglmhm  14025  srgrmhm  14026  ringlghm  14093  ringrghm  14094  gsumfzfsumlemm  14620  expghmap  14640  fczpsrbag  14704  mplsubgfilemm  14731  tgrest  14912  resttopon  14914  rest0  14922  cnpfval  14938  txcnp  15014  uptx  15017  cnmpt11  15026  bdxmet  15244  cncfmptc  15339  cncfmptid  15340  cdivcncfap  15347  mulcncf  15351  maxcncf  15358  mincncf  15359  ivthreinc  15388  hovercncf  15389  limcmpted  15406  dvfgg  15431  dvcnp2cntop  15442  dvmulxxbr  15445  dvcjbr  15451  dvexp  15454  dvrecap  15456  dvmptclx  15461  dvmptaddx  15462  dvmptmulx  15463  dvmptcjx  15467  dvef  15470  elply2  15478  plyf  15480  elplyd  15484  dvply2g  15509  lgseisenlem3  15820  lgseisenlem4  15821  incistruhgr  15960  2omap  16645  pw1map  16647  subctctexmid  16652  nninffeq  16673  iswomni0  16707  dceqnconst  16716  dcapnconst  16717  gfsumsn  16737