ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resttop GIF version

Theorem resttop 12885
Description: A subspace topology is a topology. Definition of subspace topology in [Munkres] p. 89. 𝐴 is normally a subset of the base set of 𝐽. (Contributed by FL, 15-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
resttop ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) ∈ Top)

Proof of Theorem resttop
StepHypRef Expression
1 tgrest 12884 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (topGen‘(𝐽t 𝐴)) = ((topGen‘𝐽) ↾t 𝐴))
2 tgtop 12783 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
32adantr 274 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
43oveq1d 5865 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → ((topGen‘𝐽) ↾t 𝐴) = (𝐽t 𝐴))
51, 4eqtrd 2203 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (topGen‘(𝐽t 𝐴)) = (𝐽t 𝐴))
6 topbas 12782 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ TopBases)
7 restbasg 12883 . . . 4 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) ∈ TopBases)
86, 7sylan 281 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) ∈ TopBases)
9 tgcl 12779 . . 3 ((𝐽t 𝐴) ∈ TopBases → (topGen‘(𝐽t 𝐴)) ∈ Top)
108, 9syl 14 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (topGen‘(𝐽t 𝐴)) ∈ Top)
115, 10eqeltrrd 2248 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) ∈ Top)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1348  wcel 2141  cfv 5196  (class class class)co 5850  t crest 12565  topGenctg 12580  Topctop 12710  TopBasesctb 12755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-rest 12567  df-topgen 12586  df-top 12711  df-bases 12756
This theorem is referenced by:  resttopon  12886  resttopon2  12893  rest0  12894  cnptoprest2  12955  limccnp2lem  13360  limccnp2cntop  13361  reldvg  13363  dvbss  13369  dvcnp2cntop  13378
  Copyright terms: Public domain W3C validator