ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resttop GIF version

Theorem resttop 12266
Description: A subspace topology is a topology. Definition of subspace topology in [Munkres] p. 89. 𝐴 is normally a subset of the base set of 𝐽. (Contributed by FL, 15-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
resttop ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) ∈ Top)

Proof of Theorem resttop
StepHypRef Expression
1 tgrest 12265 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (topGen‘(𝐽t 𝐴)) = ((topGen‘𝐽) ↾t 𝐴))
2 tgtop 12164 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
32adantr 274 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
43oveq1d 5757 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → ((topGen‘𝐽) ↾t 𝐴) = (𝐽t 𝐴))
51, 4eqtrd 2150 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (topGen‘(𝐽t 𝐴)) = (𝐽t 𝐴))
6 topbas 12163 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ TopBases)
7 restbasg 12264 . . . 4 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) ∈ TopBases)
86, 7sylan 281 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) ∈ TopBases)
9 tgcl 12160 . . 3 ((𝐽t 𝐴) ∈ TopBases → (topGen‘(𝐽t 𝐴)) ∈ Top)
108, 9syl 14 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (topGen‘(𝐽t 𝐴)) ∈ Top)
115, 10eqeltrrd 2195 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) ∈ Top)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1316  wcel 1465  cfv 5093  (class class class)co 5742  t crest 12047  topGenctg 12062  Topctop 12091  TopBasesctb 12136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-rest 12049  df-topgen 12068  df-top 12092  df-bases 12137
This theorem is referenced by:  resttopon  12267  resttopon2  12274  rest0  12275  cnptoprest2  12336  limccnp2lem  12741  limccnp2cntop  12742  reldvg  12744  dvbss  12750  dvcnp2cntop  12759
  Copyright terms: Public domain W3C validator