ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resttop GIF version

Theorem resttop 12121
Description: A subspace topology is a topology. Definition of subspace topology in [Munkres] p. 89. 𝐴 is normally a subset of the base set of 𝐽. (Contributed by FL, 15-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
resttop ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) ∈ Top)

Proof of Theorem resttop
StepHypRef Expression
1 tgrest 12120 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (topGen‘(𝐽t 𝐴)) = ((topGen‘𝐽) ↾t 𝐴))
2 tgtop 12019 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
32adantr 272 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
43oveq1d 5721 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → ((topGen‘𝐽) ↾t 𝐴) = (𝐽t 𝐴))
51, 4eqtrd 2132 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (topGen‘(𝐽t 𝐴)) = (𝐽t 𝐴))
6 topbas 12018 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ TopBases)
7 restbasg 12119 . . . 4 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) ∈ TopBases)
86, 7sylan 279 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) ∈ TopBases)
9 tgcl 12015 . . 3 ((𝐽t 𝐴) ∈ TopBases → (topGen‘(𝐽t 𝐴)) ∈ Top)
108, 9syl 14 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (topGen‘(𝐽t 𝐴)) ∈ Top)
115, 10eqeltrrd 2177 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) ∈ Top)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1299  wcel 1448  cfv 5059  (class class class)co 5706  t crest 11902  topGenctg 11917  Topctop 11946  TopBasesctb 11991
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-rest 11904  df-topgen 11923  df-top 11947  df-bases 11992
This theorem is referenced by:  resttopon  12122  resttopon2  12129  rest0  12130  cnptoprest2  12190  reldvg  12521  dvbss  12527
  Copyright terms: Public domain W3C validator