Theorem resttop 14859

Description: A subspace topology is a topology. Definition of subspace topology in [Munkres] p. 89. 𝐴 is normally a subset of the base set of 𝐽. (Contributed by FL, 15-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
resttop	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top)

Proof of Theorem resttop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgrest 14858	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (topGen‘(𝐽 ↾t 𝐴)) = ((topGen‘𝐽) ↾t 𝐴))
2		tgtop 14757	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
3	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
4	3	oveq1d 6022	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((topGen‘𝐽) ↾t 𝐴) = (𝐽 ↾t 𝐴))
5	1, 4	eqtrd 2262	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (topGen‘(𝐽 ↾t 𝐴)) = (𝐽 ↾t 𝐴))
6		topbas 14756	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ TopBases)
7		restbasg 14857	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ TopBases)
8	6, 7	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ TopBases)
9		tgcl 14753	. . 3 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ TopBases → (topGen‘(𝐽 ↾t 𝐴)) ∈ Top)
10	8, 9	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (topGen‘(𝐽 ↾t 𝐴)) ∈ Top)
11	5, 10	eqeltrrd 2307	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007   ↾_t crest 13287  topGenctg 13302  Topctop 14686  TopBasesctb 14731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-rest 13289  df-topgen 13308  df-top 14687  df-bases 14732

This theorem is referenced by:  resttopon  14860  resttopon2  14867  rest0  14868  cnptoprest2  14929  limccnp2lem  15365  limccnp2cntop  15366  reldvg  15368  dvbss  15374  dvidsslem  15382  dvcnp2cntop  15388