Theorem mgpex 13937

Description: Existence of the multiplication group. If R is known to be a semiring, see srgmgp 13980. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jan-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
mgpbas.1	|- M = (mulGrp ` R )

Assertion

Ref	Expression
mgpex	|- ( R e. V -> M e. _V )

Proof of Theorem mgpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpbas.1	. . 3 |- M = (mulGrp ` R )
2		eqid 2231	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
3	1, 2	mgpvalg 13935	. 2 |- ( R e. V -> M = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) )
4		plusgslid 13194	. . . . 5 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
5	4	simpri 113	. . . 4 |- ( +g ` ndx ) e. NN
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( R e. V -> ( +g ` ndx ) e. NN )
7		mulrslid 13214	. . . 4 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
8	7	slotex 13108	. . 3 |- ( R e. V -> ( .r ` R ) e. _V )
9		setsex 13113	. . 3 |- ( ( R e. V /\ ( +g ` ndx ) e. NN /\ ( .r ` R ) e. _V ) -> ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) e. _V )
10	6, 8, 9	mpd3an23 1375	. 2 |- ( R e. V -> ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) e. _V )
11	3, 10	eqeltrd 2308	1 |- ( R e. V -> M e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   <.cop 3672   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   NNcn 9142   ndxcnx 13078   sSet csts 13079  Slot cslot 13080   +g cplusg 13159   .rcmulr 13160  mulGrpcmgp 13932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-sets 13088  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-mgp 13933

This theorem is referenced by:  mgpress  13943  isrngd  13965  rngpropd  13967  ringidss  14041  oppr1g  14094  unitgrpbasd  14128  unitgrp  14129  unitlinv  14139  unitrinv  14140  rngidpropdg  14159  rhmunitinv  14191  rnglidlmmgm  14509  expghmap  14620