Theorem mgpex 14019

Description: Existence of the multiplication group. If R is known to be a semiring, see srgmgp 14062. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jan-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
mgpbas.1	|- M = (mulGrp ` R )

Assertion

Ref	Expression
mgpex	|- ( R e. V -> M e. _V )

Proof of Theorem mgpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpbas.1	. . 3 |- M = (mulGrp ` R )
2		eqid 2231	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
3	1, 2	mgpvalg 14017	. 2 |- ( R e. V -> M = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) )
4		plusgslid 13275	. . . . 5 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
5	4	simpri 113	. . . 4 |- ( +g ` ndx ) e. NN
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( R e. V -> ( +g ` ndx ) e. NN )
7		mulrslid 13295	. . . 4 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
8	7	slotex 13189	. . 3 |- ( R e. V -> ( .r ` R ) e. _V )
9		setsex 13194	. . 3 |- ( ( R e. V /\ ( +g ` ndx ) e. NN /\ ( .r ` R ) e. _V ) -> ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) e. _V )
10	6, 8, 9	mpd3an23 1376	. 2 |- ( R e. V -> ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) e. _V )
11	3, 10	eqeltrd 2308	1 |- ( R e. V -> M e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   <.cop 3676   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   NNcn 9202   ndxcnx 13159   sSet csts 13160  Slot cslot 13161   +g cplusg 13240   .rcmulr 13241  mulGrpcmgp 14014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1re 8186  ax-addrcl 8189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-sets 13169  df-plusg 13253  df-mulr 13254  df-mgp 14015

This theorem is referenced by:  mgpress  14025  isrngd  14047  rngpropd  14049  ringidss  14123  oppr1g  14176  unitgrpbasd  14210  unitgrp  14211  unitlinv  14221  unitrinv  14222  rngidpropdg  14241  rhmunitinv  14273  rnglidlmmgm  14592  expghmap  14703