Theorem mgpex 13421

Description: Existence of the multiplication group. If R is known to be a semiring, see srgmgp 13464. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jan-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
mgpbas.1	|- M = (mulGrp ` R )

Assertion

Ref	Expression
mgpex	|- ( R e. V -> M e. _V )

Proof of Theorem mgpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpbas.1	. . 3 |- M = (mulGrp ` R )
2		eqid 2193	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
3	1, 2	mgpvalg 13419	. 2 |- ( R e. V -> M = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) )
4		plusgslid 12730	. . . . 5 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
5	4	simpri 113	. . . 4 |- ( +g ` ndx ) e. NN
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( R e. V -> ( +g ` ndx ) e. NN )
7		mulrslid 12749	. . . 4 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
8	7	slotex 12645	. . 3 |- ( R e. V -> ( .r ` R ) e. _V )
9		setsex 12650	. . 3 |- ( ( R e. V /\ ( +g ` ndx ) e. NN /\ ( .r ` R ) e. _V ) -> ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) e. _V )
10	6, 8, 9	mpd3an23 1350	. 2 |- ( R e. V -> ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) e. _V )
11	3, 10	eqeltrd 2270	1 |- ( R e. V -> M e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   <.cop 3621   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   NNcn 8982   ndxcnx 12615   sSet csts 12616  Slot cslot 12617   +g cplusg 12695   .rcmulr 12696  mulGrpcmgp 13416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-mgp 13417

This theorem is referenced by:  mgpress  13427  isrngd  13449  rngpropd  13451  ringidss  13525  oppr1g  13578  unitgrpbasd  13611  unitgrp  13612  unitlinv  13622  unitrinv  13623  rngidpropdg  13642  rhmunitinv  13674  rnglidlmmgm  13992  expghmap  14095