Theorem mgpex 13802

Description: Existence of the multiplication group. If R is known to be a semiring, see srgmgp 13845. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jan-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
mgpbas.1	|- M = (mulGrp ` R )

Assertion

Ref	Expression
mgpex	|- ( R e. V -> M e. _V )

Proof of Theorem mgpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpbas.1	. . 3 |- M = (mulGrp ` R )
2		eqid 2207	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
3	1, 2	mgpvalg 13800	. 2 |- ( R e. V -> M = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) )
4		plusgslid 13059	. . . . 5 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
5	4	simpri 113	. . . 4 |- ( +g ` ndx ) e. NN
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( R e. V -> ( +g ` ndx ) e. NN )
7		mulrslid 13079	. . . 4 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
8	7	slotex 12974	. . 3 |- ( R e. V -> ( .r ` R ) e. _V )
9		setsex 12979	. . 3 |- ( ( R e. V /\ ( +g ` ndx ) e. NN /\ ( .r ` R ) e. _V ) -> ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) e. _V )
10	6, 8, 9	mpd3an23 1352	. 2 |- ( R e. V -> ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) e. _V )
11	3, 10	eqeltrd 2284	1 |- ( R e. V -> M e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   <.cop 3646   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   NNcn 9071   ndxcnx 12944   sSet csts 12945  Slot cslot 12946   +g cplusg 13024   .rcmulr 13025  mulGrpcmgp 13797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-sets 12954  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-mgp 13798

This theorem is referenced by:  mgpress  13808  isrngd  13830  rngpropd  13832  ringidss  13906  oppr1g  13959  unitgrpbasd  13992  unitgrp  13993  unitlinv  14003  unitrinv  14004  rngidpropdg  14023  rhmunitinv  14055  rnglidlmmgm  14373  expghmap  14484