ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mgpex Unicode version

Theorem mgpex 13066
Description: Existence of the multiplication group. If  R is known to be a semiring, see srgmgp 13082. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jan-2025.)
Hypothesis
Ref Expression
mgpbas.1  |-  M  =  (mulGrp `  R )
Assertion
Ref Expression
mgpex  |-  ( R  e.  V  ->  M  e.  _V )

Proof of Theorem mgpex
StepHypRef Expression
1 mgpbas.1 . . 3  |-  M  =  (mulGrp `  R )
2 eqid 2177 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
31, 2mgpvalg 13064 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  M  =  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( .r `  R ) >. )
)
4 plusgslid 12563 . . . . 5  |-  ( +g  = Slot  ( +g  `  ndx )  /\  ( +g  `  ndx )  e.  NN )
54simpri 113 . . . 4  |-  ( +g  ` 
ndx )  e.  NN
65a1i 9 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  ( +g  `  ndx )  e.  NN )
7 mulrslid 12582 . . . 4  |-  ( .r  = Slot  ( .r `  ndx )  /\  ( .r `  ndx )  e.  NN )
87slotex 12481 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  ( .r `  R )  e. 
_V )
9 setsex 12486 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( +g  `  ndx )  e.  NN  /\  ( .r
`  R )  e. 
_V )  ->  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( .r `  R ) >. )  e.  _V )
106, 8, 9mpd3an23 1339 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( .r `  R ) >. )  e.  _V )
113, 10eqeltrd 2254 1  |-  ( R  e.  V  ->  M  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2737   <.cop 3595   ` cfv 5215  (class class class)co 5872   NNcn 8915   ndxcnx 12451   sSet csts 12452  Slot cslot 12453   +g cplusg 12528   .rcmulr 12529  mulGrpcmgp 13061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1re 7902  ax-addrcl 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-fv 5223  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-sets 12461  df-plusg 12541  df-mulr 12542  df-mgp 13062
This theorem is referenced by:  mgpress  13072  ringidss  13143  oppr1g  13183  unitgrpbasd  13215  unitgrp  13216  unitlinv  13226  unitrinv  13227  rngidpropdg  13246
  Copyright terms: Public domain W3C validator