Theorem mgpex 13140

Description: Existence of the multiplication group. If R is known to be a semiring, see srgmgp 13156. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jan-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
mgpbas.1	|- M = (mulGrp ` R )

Assertion

Ref	Expression
mgpex	|- ( R e. V -> M e. _V )

Proof of Theorem mgpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpbas.1	. . 3 |- M = (mulGrp ` R )
2		eqid 2177	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
3	1, 2	mgpvalg 13138	. 2 |- ( R e. V -> M = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) )
4		plusgslid 12573	. . . . 5 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
5	4	simpri 113	. . . 4 |- ( +g ` ndx ) e. NN
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( R e. V -> ( +g ` ndx ) e. NN )
7		mulrslid 12592	. . . 4 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
8	7	slotex 12491	. . 3 |- ( R e. V -> ( .r ` R ) e. _V )
9		setsex 12496	. . 3 |- ( ( R e. V /\ ( +g ` ndx ) e. NN /\ ( .r ` R ) e. _V ) -> ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) e. _V )
10	6, 8, 9	mpd3an23 1339	. 2 |- ( R e. V -> ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) e. _V )
11	3, 10	eqeltrd 2254	1 |- ( R e. V -> M e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   <.cop 3597   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   NNcn 8921   ndxcnx 12461   sSet csts 12462  Slot cslot 12463   +g cplusg 12538   .rcmulr 12539  mulGrpcmgp 13135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-mgp 13136

This theorem is referenced by:  mgpress  13146  ringidss  13217  oppr1g  13257  unitgrpbasd  13289  unitgrp  13290  unitlinv  13300  unitrinv  13301  rngidpropdg  13320