Theorem rngpropd 14099

Description: If two structures have the same base set, and the values of their group (addition) and ring (multiplication) operations are equal for all pairs of elements of the base set, one is a non-unital ring iff the other one is. (Contributed by AV, 15-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngpropd.1	|- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
rngpropd.2	|- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
rngpropd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
rngpropd.4	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) )

Assertion

Ref	Expression
rngpropd	|- ( ph -> ( K e. Rng <-> L e. Rng ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, K, y   ph, x, y   x, L, y

Proof of Theorem rngpropd

Dummy variables v u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ph )
2		simprll 539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> u e. B )
3		simplrl 537	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> K e. Abel )
4		simprlr 540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> v e. B )
5		rngpropd.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
6	5	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> B = ( Base ` K ) )
7	4, 6	eleqtrd 2311	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> v e. ( Base ` K ) )
8		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> w e. B )
9	8, 6	eleqtrd 2311	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> w e. ( Base ` K ) )
10		ablgrp 14006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. Abel -> K e. Grp )
11		eqid 2232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
12		eqid 2232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( +g ` K ) = ( +g ` K )
13	11, 12	grpcl 13721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. Grp /\ v e. ( Base ` K ) /\ w e. ( Base ` K ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) e. ( Base ` K ) )
14	10, 13	syl3an1 1307	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. Abel /\ v e. ( Base ` K ) /\ w e. ( Base ` K ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) e. ( Base ` K ) )
15	3, 7, 9, 14	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) e. ( Base ` K ) )
16	15, 6	eleqtrrd 2312	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) e. B )
17		rngpropd.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) )
18	17	oveqrspc2v 6077	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ ( v ( +g ` K ) w ) e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` K ) w ) ) )
19	1, 2, 16, 18	syl12anc 1272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` K ) w ) ) )
20		rngpropd.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
21	20	oveqrspc2v 6077	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. B /\ w e. B ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) = ( v ( +g ` L ) w ) )
22	1, 4, 8, 21	syl12anc 1272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) = ( v ( +g ` L ) w ) )
23	22	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) )
24	19, 23	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) )
25		simplrr 538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> (mulGrp ` K ) e. Smgrp )
26	2, 6	eleqtrd 2311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> u e. ( Base ` K ) )
27	3	elexd 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> K e. _V )
28		eqid 2232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (mulGrp ` K ) = (mulGrp ` K )
29	28, 11	mgpbasg 14070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. _V -> ( Base ` K ) = ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
30	27, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( Base ` K ) = ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
31	26, 30	eleqtrd 2311	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> u e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
32	7, 30	eleqtrd 2311	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> v e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
33		eqid 2232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Base ` (mulGrp ` K ) ) = ( Base ` (mulGrp ` K ) )
34		eqid 2232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( +g ` (mulGrp ` K ) ) = ( +g ` (mulGrp ` K ) )
35	33, 34	sgrpcl 13622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ u e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) /\ v e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) ) -> ( u ( +g ` (mulGrp ` K ) ) v ) e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
36	25, 31, 32, 35	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( +g ` (mulGrp ` K ) ) v ) e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
37		eqid 2232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( .r ` K ) = ( .r ` K )
38	28, 37	mgpplusgg 14068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. _V -> ( .r ` K ) = ( +g ` (mulGrp ` K ) ) )
39	27, 38	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( .r ` K ) = ( +g ` (mulGrp ` K ) ) )
40	39	oveqd 6067	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) v ) = ( u ( +g ` (mulGrp ` K ) ) v ) )
41	36, 40, 30	3eltr4d 2316	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) v ) e. ( Base ` K ) )
42	41, 6	eleqtrrd 2312	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) v ) e. B )
43	9, 30	eleqtrd 2311	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> w e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
44	33, 34	sgrpcl 13622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ u e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) /\ w e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) ) -> ( u ( +g ` (mulGrp ` K ) ) w ) e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
45	25, 31, 43, 44	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( +g ` (mulGrp ` K ) ) w ) e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
46	39	oveqd 6067	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) w ) = ( u ( +g ` (mulGrp ` K ) ) w ) )
47	45, 46, 30	3eltr4d 2316	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) w ) e. ( Base ` K ) )
48	47, 6	eleqtrrd 2312	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) w ) e. B )
49	20	oveqrspc2v 6077	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( u ( .r ` K ) v ) e. B /\ ( u ( .r ` K ) w ) e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` K ) w ) ) )
50	1, 42, 48, 49	syl12anc 1272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` K ) w ) ) )
51	17	oveqrspc2v 6077	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) v ) = ( u ( .r ` L ) v ) )
52	51	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) v ) = ( u ( .r ` L ) v ) )
53	17	oveqrspc2v 6077	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) w ) = ( u ( .r ` L ) w ) )
54	1, 2, 8, 53	syl12anc 1272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) w ) = ( u ( .r ` L ) w ) )
55	52, 54	oveq12d 6068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) )
56	50, 55	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) )
57	24, 56	eqeq12d 2247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) <-> ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) ) )
58	11, 12	grpcl 13721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. Grp /\ u e. ( Base ` K ) /\ v e. ( Base ` K ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) )
59	10, 58	syl3an1 1307	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. Abel /\ u e. ( Base ` K ) /\ v e. ( Base ` K ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) )
60	3, 26, 7, 59	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) )
61	60, 6	eleqtrrd 2312	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) e. B )
62	17	oveqrspc2v 6077	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` L ) w ) )
63	1, 61, 8, 62	syl12anc 1272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` L ) w ) )
64	20	oveqrspc2v 6077	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) = ( u ( +g ` L ) v ) )
65	64	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) = ( u ( +g ` L ) v ) )
66	65	oveq1d 6065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) )
67	63, 66	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) )
68	33, 34	sgrpcl 13622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ v e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) /\ w e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) ) -> ( v ( +g ` (mulGrp ` K ) ) w ) e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
69	25, 32, 43, 68	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( +g ` (mulGrp ` K ) ) w ) e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
70	39	oveqd 6067	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( .r ` K ) w ) = ( v ( +g ` (mulGrp ` K ) ) w ) )
71	69, 70, 30	3eltr4d 2316	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( .r ` K ) w ) e. ( Base ` K ) )
72	71, 6	eleqtrrd 2312	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( .r ` K ) w ) e. B )
73	20	oveqrspc2v 6077	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( u ( .r ` K ) w ) e. B /\ ( v ( .r ` K ) w ) e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` K ) w ) ) )
74	1, 48, 72, 73	syl12anc 1272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` K ) w ) ) )
75	17	oveqrspc2v 6077	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. B /\ w e. B ) ) -> ( v ( .r ` K ) w ) = ( v ( .r ` L ) w ) )
76	1, 4, 8, 75	syl12anc 1272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( .r ` K ) w ) = ( v ( .r ` L ) w ) )
77	54, 76	oveq12d 6068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) )
78	74, 77	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) )
79	67, 78	eqeq12d 2247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) <-> ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) )
80	57, 79	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
81	80	anassrs 400	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
82	81	ralbidva 2538	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( A. w e. B ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. w e. B ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
83	82	2ralbidva 2564	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) -> ( A. u e. B A. v e. B A. w e. B ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. u e. B A. v e. B A. w e. B ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
84	5	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) -> B = ( Base ` K ) )
85	84	raleqdv 2747	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) -> ( A. w e. B ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
86	84, 85	raleqbidv 2757	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) -> ( A. v e. B A. w e. B ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
87	84, 86	raleqbidv 2757	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) -> ( A. u e. B A. v e. B A. w e. B ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
88		rngpropd.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
89	88	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) -> B = ( Base ` L ) )
90	89	raleqdv 2747	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) -> ( A. w e. B ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) <-> A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
91	89, 90	raleqbidv 2757	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) -> ( A. v e. B A. w e. B ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) <-> A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
92	89, 91	raleqbidv 2757	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) -> ( A. u e. B A. v e. B A. w e. B ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) <-> A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
93	83, 87, 92	3bitr3d 218	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) -> ( A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
94	93	pm5.32da 452	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) /\ A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) <-> ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) ) )
95		df-3an 1007	. . . 4 |- ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) <-> ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) /\ A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
96		df-3an 1007	. . . 4 |- ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) <-> ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
97	94, 95, 96	3bitr4g 223	. . 3 |- ( ph -> ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) <-> ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) ) )
98		simp1 1024	. . . . 5 |- ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) -> K e. Abel )
99	98	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) -> K e. Abel ) )
100		simp1 1024	. . . . 5 |- ( ( L e. Abel /\ (mulGrp ` L ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) -> L e. Abel )
101	5, 88, 20	ablpropd 14013	. . . . 5 |- ( ph -> ( K e. Abel <-> L e. Abel ) )
102	100, 101	imbitrrid 156	. . . 4 |- ( ph -> ( ( L e. Abel /\ (mulGrp ` L ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) -> K e. Abel ) )
103	101	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( K e. Abel <-> L e. Abel ) )
104	28	mgpex 14069	. . . . . . . 8 |- ( K e. Abel -> (mulGrp ` K ) e. _V )
105	104	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> (mulGrp ` K ) e. _V )
106	101	biimpa 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> L e. Abel )
107		eqid 2232	. . . . . . . . 9 |- (mulGrp ` L ) = (mulGrp ` L )
108	107	mgpex 14069	. . . . . . . 8 |- ( L e. Abel -> (mulGrp ` L ) e. _V )
109	106, 108	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> (mulGrp ` L ) e. _V )
110		elex 2825	. . . . . . . . 9 |- ( K e. Abel -> K e. _V )
111	110	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> K e. _V )
112	111, 29	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( Base ` K ) = ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
113	5	eqcomd 2238	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Base ` K ) = B )
114	113	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( Base ` K ) = B )
115	88	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> B = ( Base ` L ) )
116		eqid 2232	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
117	107, 116	mgpbasg 14070	. . . . . . . . . 10 |- ( L e. Abel -> ( Base ` L ) = ( Base ` (mulGrp ` L ) ) )
118	106, 117	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( Base ` L ) = ( Base ` (mulGrp ` L ) ) )
119	115, 118	eqtrd 2265	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> B = ( Base ` (mulGrp ` L ) ) )
120	114, 119	eqtrd 2265	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( Base ` K ) = ( Base ` (mulGrp ` L ) ) )
121	17	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) ) )
122	121	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) ) )
123	5	eleq2d 2302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. B <-> x e. ( Base ` K ) ) )
124	5	eleq2d 2302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( y e. B <-> y e. ( Base ` K ) ) )
125	123, 124	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ y e. B ) <-> ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) )
126	125	bicomd 141	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) <-> ( x e. B /\ y e. B ) ) )
127	126	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) <-> ( x e. B /\ y e. B ) ) )
128	111, 38	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( .r ` K ) = ( +g ` (mulGrp ` K ) ) )
129	128	eqcomd 2238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( +g ` (mulGrp ` K ) ) = ( .r ` K ) )
130	129	oveqd 6067	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( x ( +g ` (mulGrp ` K ) ) y ) = ( x ( .r ` K ) y ) )
131		eqid 2232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( .r ` L ) = ( .r ` L )
132	107, 131	mgpplusgg 14068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( L e. Abel -> ( .r ` L ) = ( +g ` (mulGrp ` L ) ) )
133	106, 132	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( .r ` L ) = ( +g ` (mulGrp ` L ) ) )
134	133	eqcomd 2238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( +g ` (mulGrp ` L ) ) = ( .r ` L ) )
135	134	oveqd 6067	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( x ( +g ` (mulGrp ` L ) ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) )
136	130, 135	eqeq12d 2247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( ( x ( +g ` (mulGrp ` K ) ) y ) = ( x ( +g ` (mulGrp ` L ) ) y ) <-> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) ) )
137	122, 127, 136	3imtr4d 203	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> ( x ( +g ` (mulGrp ` K ) ) y ) = ( x ( +g ` (mulGrp ` L ) ) y ) ) )
138	137	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( x ( +g ` (mulGrp ` K ) ) y ) = ( x ( +g ` (mulGrp ` L ) ) y ) )
139	105, 109, 112, 120, 138	sgrppropd 13626	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( (mulGrp ` K ) e. Smgrp <-> (mulGrp ` L ) e. Smgrp ) )
140	103, 139	3anbi12d 1350	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) <-> ( L e. Abel /\ (mulGrp ` L ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) ) )
141	140	ex 115	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. Abel -> ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) <-> ( L e. Abel /\ (mulGrp ` L ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) ) ) )
142	99, 102, 141	pm5.21ndd 713	. . 3 |- ( ph -> ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) <-> ( L e. Abel /\ (mulGrp ` L ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) ) )
143	97, 142	bitrd 188	. 2 |- ( ph -> ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) <-> ( L e. Abel /\ (mulGrp ` L ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) ) )
144	11, 28, 12, 37	isrng 14078	. 2 |- ( K e. Rng <-> ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
145		eqid 2232	. . 3 |- ( +g ` L ) = ( +g ` L )
146	116, 107, 145, 131	isrng 14078	. 2 |- ( L e. Rng <-> ( L e. Abel /\ (mulGrp ` L ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
147	143, 144, 146	3bitr4g 223	1 |- ( ph -> ( K e. Rng <-> L e. Rng ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   _Vcvv 2813   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   +g cplusg 13290   .rcmulr 13291  Smgrpcsgrp 13614   Grpcgrp 13713   Abelcabl 14002  mulGrpcmgp 14064  Rngcrng 14076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-grp 13716  df-cmn 14003  df-abl 14004  df-mgp 14065  df-rng 14077

This theorem is referenced by:  opprrngbg  14222  subrngpropd  14361