Theorem rngpropd 13958

Description: If two structures have the same base set, and the values of their group (addition) and ring (multiplication) operations are equal for all pairs of elements of the base set, one is a non-unital ring iff the other one is. (Contributed by AV, 15-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngpropd.1	|- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
rngpropd.2	|- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
rngpropd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
rngpropd.4	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) )

Assertion

Ref	Expression
rngpropd	|- ( ph -> ( K e. Rng <-> L e. Rng ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, K, y   ph, x, y   x, L, y

Proof of Theorem rngpropd

Dummy variables v u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ph )
2		simprll 537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> u e. B )
3		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> K e. Abel )
4		simprlr 538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> v e. B )
5		rngpropd.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
6	5	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> B = ( Base ` K ) )
7	4, 6	eleqtrd 2308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> v e. ( Base ` K ) )
8		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> w e. B )
9	8, 6	eleqtrd 2308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> w e. ( Base ` K ) )
10		ablgrp 13866	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. Abel -> K e. Grp )
11		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
12		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( +g ` K ) = ( +g ` K )
13	11, 12	grpcl 13581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. Grp /\ v e. ( Base ` K ) /\ w e. ( Base ` K ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) e. ( Base ` K ) )
14	10, 13	syl3an1 1304	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. Abel /\ v e. ( Base ` K ) /\ w e. ( Base ` K ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) e. ( Base ` K ) )
15	3, 7, 9, 14	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) e. ( Base ` K ) )
16	15, 6	eleqtrrd 2309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) e. B )
17		rngpropd.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) )
18	17	oveqrspc2v 6040	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ ( v ( +g ` K ) w ) e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` K ) w ) ) )
19	1, 2, 16, 18	syl12anc 1269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` K ) w ) ) )
20		rngpropd.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
21	20	oveqrspc2v 6040	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. B /\ w e. B ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) = ( v ( +g ` L ) w ) )
22	1, 4, 8, 21	syl12anc 1269	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) = ( v ( +g ` L ) w ) )
23	22	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) )
24	19, 23	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) )
25		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> (mulGrp ` K ) e. Smgrp )
26	2, 6	eleqtrd 2308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> u e. ( Base ` K ) )
27	3	elexd 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> K e. _V )
28		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (mulGrp ` K ) = (mulGrp ` K )
29	28, 11	mgpbasg 13929	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. _V -> ( Base ` K ) = ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
30	27, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( Base ` K ) = ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
31	26, 30	eleqtrd 2308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> u e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
32	7, 30	eleqtrd 2308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> v e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
33		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Base ` (mulGrp ` K ) ) = ( Base ` (mulGrp ` K ) )
34		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( +g ` (mulGrp ` K ) ) = ( +g ` (mulGrp ` K ) )
35	33, 34	sgrpcl 13482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ u e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) /\ v e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) ) -> ( u ( +g ` (mulGrp ` K ) ) v ) e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
36	25, 31, 32, 35	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( +g ` (mulGrp ` K ) ) v ) e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
37		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( .r ` K ) = ( .r ` K )
38	28, 37	mgpplusgg 13927	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. _V -> ( .r ` K ) = ( +g ` (mulGrp ` K ) ) )
39	27, 38	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( .r ` K ) = ( +g ` (mulGrp ` K ) ) )
40	39	oveqd 6030	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) v ) = ( u ( +g ` (mulGrp ` K ) ) v ) )
41	36, 40, 30	3eltr4d 2313	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) v ) e. ( Base ` K ) )
42	41, 6	eleqtrrd 2309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) v ) e. B )
43	9, 30	eleqtrd 2308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> w e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
44	33, 34	sgrpcl 13482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ u e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) /\ w e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) ) -> ( u ( +g ` (mulGrp ` K ) ) w ) e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
45	25, 31, 43, 44	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( +g ` (mulGrp ` K ) ) w ) e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
46	39	oveqd 6030	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) w ) = ( u ( +g ` (mulGrp ` K ) ) w ) )
47	45, 46, 30	3eltr4d 2313	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) w ) e. ( Base ` K ) )
48	47, 6	eleqtrrd 2309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) w ) e. B )
49	20	oveqrspc2v 6040	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( u ( .r ` K ) v ) e. B /\ ( u ( .r ` K ) w ) e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` K ) w ) ) )
50	1, 42, 48, 49	syl12anc 1269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` K ) w ) ) )
51	17	oveqrspc2v 6040	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) v ) = ( u ( .r ` L ) v ) )
52	51	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) v ) = ( u ( .r ` L ) v ) )
53	17	oveqrspc2v 6040	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) w ) = ( u ( .r ` L ) w ) )
54	1, 2, 8, 53	syl12anc 1269	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) w ) = ( u ( .r ` L ) w ) )
55	52, 54	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) )
56	50, 55	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) )
57	24, 56	eqeq12d 2244	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) <-> ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) ) )
58	11, 12	grpcl 13581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. Grp /\ u e. ( Base ` K ) /\ v e. ( Base ` K ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) )
59	10, 58	syl3an1 1304	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. Abel /\ u e. ( Base ` K ) /\ v e. ( Base ` K ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) )
60	3, 26, 7, 59	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) )
61	60, 6	eleqtrrd 2309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) e. B )
62	17	oveqrspc2v 6040	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` L ) w ) )
63	1, 61, 8, 62	syl12anc 1269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` L ) w ) )
64	20	oveqrspc2v 6040	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) = ( u ( +g ` L ) v ) )
65	64	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) = ( u ( +g ` L ) v ) )
66	65	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) )
67	63, 66	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) )
68	33, 34	sgrpcl 13482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ v e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) /\ w e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) ) -> ( v ( +g ` (mulGrp ` K ) ) w ) e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
69	25, 32, 43, 68	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( +g ` (mulGrp ` K ) ) w ) e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
70	39	oveqd 6030	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( .r ` K ) w ) = ( v ( +g ` (mulGrp ` K ) ) w ) )
71	69, 70, 30	3eltr4d 2313	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( .r ` K ) w ) e. ( Base ` K ) )
72	71, 6	eleqtrrd 2309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( .r ` K ) w ) e. B )
73	20	oveqrspc2v 6040	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( u ( .r ` K ) w ) e. B /\ ( v ( .r ` K ) w ) e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` K ) w ) ) )
74	1, 48, 72, 73	syl12anc 1269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` K ) w ) ) )
75	17	oveqrspc2v 6040	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. B /\ w e. B ) ) -> ( v ( .r ` K ) w ) = ( v ( .r ` L ) w ) )
76	1, 4, 8, 75	syl12anc 1269	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( .r ` K ) w ) = ( v ( .r ` L ) w ) )
77	54, 76	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) )
78	74, 77	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) )
79	67, 78	eqeq12d 2244	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) <-> ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) )
80	57, 79	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
81	80	anassrs 400	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
82	81	ralbidva 2526	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( A. w e. B ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. w e. B ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
83	82	2ralbidva 2552	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) -> ( A. u e. B A. v e. B A. w e. B ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. u e. B A. v e. B A. w e. B ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
84	5	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) -> B = ( Base ` K ) )
85	84	raleqdv 2734	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) -> ( A. w e. B ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
86	84, 85	raleqbidv 2744	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) -> ( A. v e. B A. w e. B ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
87	84, 86	raleqbidv 2744	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) -> ( A. u e. B A. v e. B A. w e. B ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
88		rngpropd.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
89	88	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) -> B = ( Base ` L ) )
90	89	raleqdv 2734	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) -> ( A. w e. B ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) <-> A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
91	89, 90	raleqbidv 2744	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) -> ( A. v e. B A. w e. B ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) <-> A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
92	89, 91	raleqbidv 2744	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) -> ( A. u e. B A. v e. B A. w e. B ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) <-> A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
93	83, 87, 92	3bitr3d 218	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) -> ( A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
94	93	pm5.32da 452	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) /\ A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) <-> ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) ) )
95		df-3an 1004	. . . 4 |- ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) <-> ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) /\ A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
96		df-3an 1004	. . . 4 |- ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) <-> ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
97	94, 95, 96	3bitr4g 223	. . 3 |- ( ph -> ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) <-> ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) ) )
98		simp1 1021	. . . . 5 |- ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) -> K e. Abel )
99	98	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) -> K e. Abel ) )
100		simp1 1021	. . . . 5 |- ( ( L e. Abel /\ (mulGrp ` L ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) -> L e. Abel )
101	5, 88, 20	ablpropd 13873	. . . . 5 |- ( ph -> ( K e. Abel <-> L e. Abel ) )
102	100, 101	imbitrrid 156	. . . 4 |- ( ph -> ( ( L e. Abel /\ (mulGrp ` L ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) -> K e. Abel ) )
103	101	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( K e. Abel <-> L e. Abel ) )
104	28	mgpex 13928	. . . . . . . 8 |- ( K e. Abel -> (mulGrp ` K ) e. _V )
105	104	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> (mulGrp ` K ) e. _V )
106	101	biimpa 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> L e. Abel )
107		eqid 2229	. . . . . . . . 9 |- (mulGrp ` L ) = (mulGrp ` L )
108	107	mgpex 13928	. . . . . . . 8 |- ( L e. Abel -> (mulGrp ` L ) e. _V )
109	106, 108	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> (mulGrp ` L ) e. _V )
110		elex 2812	. . . . . . . . 9 |- ( K e. Abel -> K e. _V )
111	110	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> K e. _V )
112	111, 29	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( Base ` K ) = ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
113	5	eqcomd 2235	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Base ` K ) = B )
114	113	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( Base ` K ) = B )
115	88	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> B = ( Base ` L ) )
116		eqid 2229	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
117	107, 116	mgpbasg 13929	. . . . . . . . . 10 |- ( L e. Abel -> ( Base ` L ) = ( Base ` (mulGrp ` L ) ) )
118	106, 117	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( Base ` L ) = ( Base ` (mulGrp ` L ) ) )
119	115, 118	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> B = ( Base ` (mulGrp ` L ) ) )
120	114, 119	eqtrd 2262	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( Base ` K ) = ( Base ` (mulGrp ` L ) ) )
121	17	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) ) )
122	121	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) ) )
123	5	eleq2d 2299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. B <-> x e. ( Base ` K ) ) )
124	5	eleq2d 2299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( y e. B <-> y e. ( Base ` K ) ) )
125	123, 124	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ y e. B ) <-> ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) )
126	125	bicomd 141	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) <-> ( x e. B /\ y e. B ) ) )
127	126	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) <-> ( x e. B /\ y e. B ) ) )
128	111, 38	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( .r ` K ) = ( +g ` (mulGrp ` K ) ) )
129	128	eqcomd 2235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( +g ` (mulGrp ` K ) ) = ( .r ` K ) )
130	129	oveqd 6030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( x ( +g ` (mulGrp ` K ) ) y ) = ( x ( .r ` K ) y ) )
131		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( .r ` L ) = ( .r ` L )
132	107, 131	mgpplusgg 13927	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( L e. Abel -> ( .r ` L ) = ( +g ` (mulGrp ` L ) ) )
133	106, 132	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( .r ` L ) = ( +g ` (mulGrp ` L ) ) )
134	133	eqcomd 2235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( +g ` (mulGrp ` L ) ) = ( .r ` L ) )
135	134	oveqd 6030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( x ( +g ` (mulGrp ` L ) ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) )
136	130, 135	eqeq12d 2244	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( ( x ( +g ` (mulGrp ` K ) ) y ) = ( x ( +g ` (mulGrp ` L ) ) y ) <-> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) ) )
137	122, 127, 136	3imtr4d 203	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> ( x ( +g ` (mulGrp ` K ) ) y ) = ( x ( +g ` (mulGrp ` L ) ) y ) ) )
138	137	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( x ( +g ` (mulGrp ` K ) ) y ) = ( x ( +g ` (mulGrp ` L ) ) y ) )
139	105, 109, 112, 120, 138	sgrppropd 13486	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( (mulGrp ` K ) e. Smgrp <-> (mulGrp ` L ) e. Smgrp ) )
140	103, 139	3anbi12d 1347	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) <-> ( L e. Abel /\ (mulGrp ` L ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) ) )
141	140	ex 115	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. Abel -> ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) <-> ( L e. Abel /\ (mulGrp ` L ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) ) ) )
142	99, 102, 141	pm5.21ndd 710	. . 3 |- ( ph -> ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) <-> ( L e. Abel /\ (mulGrp ` L ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) ) )
143	97, 142	bitrd 188	. 2 |- ( ph -> ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) <-> ( L e. Abel /\ (mulGrp ` L ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) ) )
144	11, 28, 12, 37	isrng 13937	. 2 |- ( K e. Rng <-> ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
145		eqid 2229	. . 3 |- ( +g ` L ) = ( +g ` L )
146	116, 107, 145, 131	isrng 13937	. 2 |- ( L e. Rng <-> ( L e. Abel /\ (mulGrp ` L ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
147	143, 144, 146	3bitr4g 223	1 |- ( ph -> ( K e. Rng <-> L e. Rng ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2800   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Basecbs 13072   +g cplusg 13150   .rcmulr 13151  Smgrpcsgrp 13474   Grpcgrp 13573   Abelcabl 13862  mulGrpcmgp 13923  Rngcrng 13935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-sets 13079  df-plusg 13163  df-mulr 13164  df-0g 13331  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-grp 13576  df-cmn 13863  df-abl 13864  df-mgp 13924  df-rng 13936

This theorem is referenced by:  opprrngbg  14081  subrngpropd  14220