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Theorem rngpropd 13688
Description: If two structures have the same base set, and the values of their group (addition) and ring (multiplication) operations are equal for all pairs of elements of the base set, one is a non-unital ring iff the other one is. (Contributed by AV, 15-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rngpropd.1 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
rngpropd.2 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
rngpropd.3 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
rngpropd.4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) )
Assertion
Ref Expression
rngpropd |- ( ph -> ( K e. Rng <-> L e. Rng ) )
Distinct variable groups:   x, y, B   x, K, y   ph, x, y   x, L, y
Proof of Theorem rngpropd
Dummy variables v u w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ph )
2 simprll 537 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> u e. B )
3 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> K e. Abel )
4 simprlr 538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> v e. B )
5 rngpropd.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
65ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> B = ( Base ` K ) )
74, 6eleqtrd 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> v e. ( Base ` K ) )
8 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> w e. B )
98, 6eleqtrd 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> w e. ( Base ` K ) )
10 ablgrp 13596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. Abel -> K e. Grp )
11 eqid 2204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
12 eqid 2204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( +g ` K ) = ( +g ` K )
1311, 12grpcl 13311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. Grp /\ v e. ( Base ` K ) /\ w e. ( Base ` K ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) e. ( Base ` K ) )
1410, 13syl3an1 1282 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. Abel /\ v e. ( Base ` K ) /\ w e. ( Base ` K ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) e. ( Base ` K ) )
153, 7, 9, 14syl3anc 1249 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) e. ( Base ` K ) )
1615, 6eleqtrrd 2284 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) e. B )
17 rngpropd.4 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) )
1817oveqrspc2v 5970 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ ( v ( +g ` K ) w ) e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` K ) w ) ) )
191, 2, 16, 18syl12anc 1247 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` K ) w ) ) )
20 rngpropd.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
2120oveqrspc2v 5970 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. B /\ w e. B ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) = ( v ( +g ` L ) w ) )
221, 4, 8, 21syl12anc 1247 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) = ( v ( +g ` L ) w ) )
2322oveq2d 5959 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) )
2419, 23eqtrd 2237 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) )
25 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> (mulGrp ` K ) e. Smgrp )
262, 6eleqtrd 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> u e. ( Base ` K ) )
273elexd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> K e. _V )
28 eqid 2204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (mulGrp ` K ) = (mulGrp ` K )
2928, 11mgpbasg 13659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. _V -> ( Base ` K ) = ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
3027, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( Base ` K ) = ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
3126, 30eleqtrd 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> u e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
327, 30eleqtrd 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> v e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
33 eqid 2204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Base ` (mulGrp ` K ) ) = ( Base ` (mulGrp ` K ) )
34 eqid 2204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( +g ` (mulGrp ` K ) ) = ( +g ` (mulGrp ` K ) )
3533, 34sgrpcl 13212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ u e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) /\ v e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) ) -> ( u ( +g ` (mulGrp ` K ) ) v ) e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
3625, 31, 32, 35syl3anc 1249 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( +g ` (mulGrp ` K ) ) v ) e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
37 eqid 2204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( .r ` K ) = ( .r ` K )
3828, 37mgpplusgg 13657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. _V -> ( .r ` K ) = ( +g ` (mulGrp ` K ) ) )
3927, 38syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( .r ` K ) = ( +g ` (mulGrp ` K ) ) )
4039oveqd 5960 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) v ) = ( u ( +g ` (mulGrp ` K ) ) v ) )
4136, 40, 303eltr4d 2288 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) v ) e. ( Base ` K ) )
4241, 6eleqtrrd 2284 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) v ) e. B )
439, 30eleqtrd 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> w e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
4433, 34sgrpcl 13212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ u e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) /\ w e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) ) -> ( u ( +g ` (mulGrp ` K ) ) w ) e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
4525, 31, 43, 44syl3anc 1249 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( +g ` (mulGrp ` K ) ) w ) e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
4639oveqd 5960 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) w ) = ( u ( +g ` (mulGrp ` K ) ) w ) )
4745, 46, 303eltr4d 2288 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) w ) e. ( Base ` K ) )
4847, 6eleqtrrd 2284 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) w ) e. B )
4920oveqrspc2v 5970 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( u ( .r ` K ) v ) e. B /\ ( u ( .r ` K ) w ) e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` K ) w ) ) )
501, 42, 48, 49syl12anc 1247 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` K ) w ) ) )
5117oveqrspc2v 5970 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) v ) = ( u ( .r ` L ) v ) )
5251ad2ant2r 509 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) v ) = ( u ( .r ` L ) v ) )
5317oveqrspc2v 5970 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) w ) = ( u ( .r ` L ) w ) )
541, 2, 8, 53syl12anc 1247 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` K ) w ) = ( u ( .r ` L ) w ) )
5552, 54oveq12d 5961 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) )
5650, 55eqtrd 2237 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) )
5724, 56eqeq12d 2219 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) <-> ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) ) )
5811, 12grpcl 13311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. Grp /\ u e. ( Base ` K ) /\ v e. ( Base ` K ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) )
5910, 58syl3an1 1282 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. Abel /\ u e. ( Base ` K ) /\ v e. ( Base ` K ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) )
603, 26, 7, 59syl3anc 1249 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) )
6160, 6eleqtrrd 2284 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) e. B )
6217oveqrspc2v 5970 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` L ) w ) )
631, 61, 8, 62syl12anc 1247 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` L ) w ) )
6420oveqrspc2v 5970 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) = ( u ( +g ` L ) v ) )
6564ad2ant2r 509 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) = ( u ( +g ` L ) v ) )
6665oveq1d 5958 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) )
6763, 66eqtrd 2237 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) )
6833, 34sgrpcl 13212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ v e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) /\ w e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) ) -> ( v ( +g ` (mulGrp ` K ) ) w ) e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
6925, 32, 43, 68syl3anc 1249 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( +g ` (mulGrp ` K ) ) w ) e. ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
7039oveqd 5960 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( .r ` K ) w ) = ( v ( +g ` (mulGrp ` K ) ) w ) )
7169, 70, 303eltr4d 2288 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( .r ` K ) w ) e. ( Base ` K ) )
7271, 6eleqtrrd 2284 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( .r ` K ) w ) e. B )
7320oveqrspc2v 5970 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( u ( .r ` K ) w ) e. B /\ ( v ( .r ` K ) w ) e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` K ) w ) ) )
741, 48, 72, 73syl12anc 1247 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` K ) w ) ) )
7517oveqrspc2v 5970 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. B /\ w e. B ) ) -> ( v ( .r ` K ) w ) = ( v ( .r ` L ) w ) )
761, 4, 8, 75syl12anc 1247 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( v ( .r ` K ) w ) = ( v ( .r ` L ) w ) )
7754, 76oveq12d 5961 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) )
7874, 77eqtrd 2237 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) )
7967, 78eqeq12d 2219 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) <-> ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) )
8057, 79anbi12d 473 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ w e. B ) ) -> ( ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
8180anassrs 400 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
8281ralbidva 2501 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( A. w e. B ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. w e. B ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
83822ralbidva 2527 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) -> ( A. u e. B A. v e. B A. w e. B ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. u e. B A. v e. B A. w e. B ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
845adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) -> B = ( Base ` K ) )
8584raleqdv 2707 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) -> ( A. w e. B ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
8684, 85raleqbidv 2717 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) -> ( A. v e. B A. w e. B ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
8784, 86raleqbidv 2717 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) -> ( A. u e. B A. v e. B A. w e. B ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
88 rngpropd.2 . . . . . . . 8 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
8988adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) -> B = ( Base ` L ) )
9089raleqdv 2707 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) -> ( A. w e. B ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) <-> A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
9189, 90raleqbidv 2717 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) -> ( A. v e. B A. w e. B ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) <-> A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
9289, 91raleqbidv 2717 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) -> ( A. u e. B A. v e. B A. w e. B ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) <-> A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
9383, 87, 923bitr3d 218 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) ) -> ( A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
9493pm5.32da 452 . . . 4 |- ( ph -> ( ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) /\ A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) <-> ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) ) )
95 df-3an 982 . . . 4 |- ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) <-> ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) /\ A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
96 df-3an 982 . . . 4 |- ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) <-> ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp ) /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
9794, 95, 963bitr4g 223 . . 3 |- ( ph -> ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) <-> ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) ) )
98 simp1 999 . . . . 5 |- ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) -> K e. Abel )
9998a1i 9 . . . 4 |- ( ph -> ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) -> K e. Abel ) )
100 simp1 999 . . . . 5 |- ( ( L e. Abel /\ (mulGrp ` L ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) -> L e. Abel )
1015, 88, 20ablpropd 13603 . . . . 5 |- ( ph -> ( K e. Abel <-> L e. Abel ) )
102100, 101imbitrrid 156 . . . 4 |- ( ph -> ( ( L e. Abel /\ (mulGrp ` L ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) -> K e. Abel ) )
103101adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( K e. Abel <-> L e. Abel ) )
10428mgpex 13658 . . . . . . . 8 |- ( K e. Abel -> (mulGrp ` K ) e. _V )
105104adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> (mulGrp ` K ) e. _V )
106101biimpa 296 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> L e. Abel )
107 eqid 2204 . . . . . . . . 9 |- (mulGrp ` L ) = (mulGrp ` L )
108107mgpex 13658 . . . . . . . 8 |- ( L e. Abel -> (mulGrp ` L ) e. _V )
109106, 108syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> (mulGrp ` L ) e. _V )
110 elex 2782 . . . . . . . . 9 |- ( K e. Abel -> K e. _V )
111110adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> K e. _V )
112111, 29syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( Base ` K ) = ( Base ` (mulGrp ` K ) ) )
1135eqcomd 2210 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Base ` K ) = B )
114113adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( Base ` K ) = B )
11588adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> B = ( Base ` L ) )
116 eqid 2204 . . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
117107, 116mgpbasg 13659 . . . . . . . . . 10 |- ( L e. Abel -> ( Base ` L ) = ( Base ` (mulGrp ` L ) ) )
118106, 117syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( Base ` L ) = ( Base ` (mulGrp ` L ) ) )
119115, 118eqtrd 2237 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> B = ( Base ` (mulGrp ` L ) ) )
120114, 119eqtrd 2237 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( Base ` K ) = ( Base ` (mulGrp ` L ) ) )
12117ex 115 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) ) )
122121adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) ) )
1235eleq2d 2274 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. B <-> x e. ( Base ` K ) ) )
1245eleq2d 2274 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( y e. B <-> y e. ( Base ` K ) ) )
125123, 124anbi12d 473 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ y e. B ) <-> ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) )
126125bicomd 141 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) <-> ( x e. B /\ y e. B ) ) )
127126adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) <-> ( x e. B /\ y e. B ) ) )
128111, 38syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( .r ` K ) = ( +g ` (mulGrp ` K ) ) )
129128eqcomd 2210 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( +g ` (mulGrp ` K ) ) = ( .r ` K ) )
130129oveqd 5960 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( x ( +g ` (mulGrp ` K ) ) y ) = ( x ( .r ` K ) y ) )
131 eqid 2204 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( .r ` L ) = ( .r ` L )
132107, 131mgpplusgg 13657 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( L e. Abel -> ( .r ` L ) = ( +g ` (mulGrp ` L ) ) )
133106, 132syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( .r ` L ) = ( +g ` (mulGrp ` L ) ) )
134133eqcomd 2210 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( +g ` (mulGrp ` L ) ) = ( .r ` L ) )
135134oveqd 5960 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( x ( +g ` (mulGrp ` L ) ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) )
136130, 135eqeq12d 2219 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( ( x ( +g ` (mulGrp ` K ) ) y ) = ( x ( +g ` (mulGrp ` L ) ) y ) <-> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) ) )
137122, 127, 1363imtr4d 203 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> ( x ( +g ` (mulGrp ` K ) ) y ) = ( x ( +g ` (mulGrp ` L ) ) y ) ) )
138137imp 124 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( x ( +g ` (mulGrp ` K ) ) y ) = ( x ( +g ` (mulGrp ` L ) ) y ) )
139105, 109, 112, 120, 138sgrppropd 13216 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( (mulGrp ` K ) e. Smgrp <-> (mulGrp ` L ) e. Smgrp ) )
140103, 1393anbi12d 1325 . . . . 5 |- ( ( ph /\ K e. Abel ) -> ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) <-> ( L e. Abel /\ (mulGrp ` L ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) ) )
141140ex 115 . . . 4 |- ( ph -> ( K e. Abel -> ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) <-> ( L e. Abel /\ (mulGrp ` L ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) ) ) )
14299, 102, 141pm5.21ndd 706 . . 3 |- ( ph -> ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) <-> ( L e. Abel /\ (mulGrp ` L ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) ) )
14397, 142bitrd 188 . 2 |- ( ph -> ( ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) <-> ( L e. Abel /\ (mulGrp ` L ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) ) )
14411, 28, 12, 37isrng 13667 . 2 |- ( K e. Rng <-> ( K e. Abel /\ (mulGrp ` K ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( .r ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( ( u ( .r ` K ) v ) ( +g ` K ) ( u ( .r ` K ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) ( .r ` K ) w ) = ( ( u ( .r ` K ) w ) ( +g ` K ) ( v ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
145 eqid 2204 . . 3 |- ( +g ` L ) = ( +g ` L )
146116, 107, 145, 131isrng 13667 . 2 |- ( L e. Rng <-> ( L e. Abel /\ (mulGrp ` L ) e. Smgrp /\ A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( .r ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) = ( ( u ( .r ` L ) v ) ( +g ` L ) ( u ( .r ` L ) w ) ) /\ ( ( u ( +g ` L ) v ) ( .r ` L ) w ) = ( ( u ( .r ` L ) w ) ( +g ` L ) ( v ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
147143, 144, 1463bitr4g 223 1 |- ( ph -> ( K e. Rng <-> L e. Rng ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175   A.wral 2483   _Vcvv 2771   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   Basecbs 12803   +g cplusg 12880   .rcmulr 12881  Smgrpcsgrp 13204   Grpcgrp 13303   Abelcabl 13592  mulGrpcmgp 13653  Rngcrng 13665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltadd 8040
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-ltxr 8111  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-ndx 12806  df-slot 12807  df-base 12809  df-sets 12810  df-plusg 12893  df-mulr 12894  df-0g 13061  df-mgm 13159  df-sgrp 13205  df-mnd 13220  df-grp 13306  df-cmn 13593  df-abl 13594  df-mgp 13654  df-rng 13666
This theorem is referenced by:  opprrngbg  13811  subrngpropd  13949
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