Theorem shftidt2 11343

Description: Identity law for the shift operation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
shftidt2	|- ( F shift 0 ) = ( F |` CC )

Proof of Theorem shftidt2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subid1 8366	. . . . 5 |- ( x e. CC -> ( x - 0 ) = x )
2	1	breq1d 4093	. . . 4 |- ( x e. CC -> ( ( x - 0 ) F y <-> x F y ) )
3	2	pm5.32i 454	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ ( x - 0 ) F y ) <-> ( x e. CC /\ x F y ) )
4	3	opabbii 4151	. 2 |- { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - 0 ) F y ) } = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ x F y ) }
5		0cn 8138	. . 3 |- 0 e. CC
6		shftfval.1	. . . 4 |- F e. _V
7	6	shftfval 11332	. . 3 |- ( 0 e. CC -> ( F shift 0 ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - 0 ) F y ) } )
8	5, 7	ax-mp 5	. 2 |- ( F shift 0 ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - 0 ) F y ) }
9		dfres2 5057	. 2 |- ( F |` CC ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ x F y ) }
10	4, 8, 9	3eqtr4i 2260	1 |- ( F shift 0 ) = ( F |` CC )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   class class class wbr 4083   {copab 4144   |` cres 4721  (class class class)co 6001   CCcc 7997   0cc0 7999   - cmin 8317   shift cshi 11325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-sub 8319  df-shft 11326

This theorem is referenced by:  shftidt  11344