Theorem shftidt2 10760

Description: Identity law for the shift operation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
shftidt2	|- ( F shift 0 ) = ( F |` CC )

Proof of Theorem shftidt2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subid1 8109	. . . . 5 |- ( x e. CC -> ( x - 0 ) = x )
2	1	breq1d 3986	. . . 4 |- ( x e. CC -> ( ( x - 0 ) F y <-> x F y ) )
3	2	pm5.32i 450	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ ( x - 0 ) F y ) <-> ( x e. CC /\ x F y ) )
4	3	opabbii 4043	. 2 |- { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - 0 ) F y ) } = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ x F y ) }
5		0cn 7882	. . 3 |- 0 e. CC
6		shftfval.1	. . . 4 |- F e. _V
7	6	shftfval 10749	. . 3 |- ( 0 e. CC -> ( F shift 0 ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - 0 ) F y ) } )
8	5, 7	ax-mp 5	. 2 |- ( F shift 0 ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - 0 ) F y ) }
9		dfres2 4930	. 2 |- ( F |` CC ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ x F y ) }
10	4, 8, 9	3eqtr4i 2195	1 |- ( F shift 0 ) = ( F |` CC )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1342   e. wcel 2135   _Vcvv 2721   class class class wbr 3976   {copab 4036   |` cres 4600  (class class class)co 5836   CCcc 7742   0cc0 7744   - cmin 8060   shift cshi 10742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-addass 7846  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-cnre 7855

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-sub 8062  df-shft 10743

This theorem is referenced by:  shftidt  10761