ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  shftidt2 Unicode version

Theorem shftidt2 10635
Description: Identity law for the shift operation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1  |-  F  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
shftidt2  |-  ( F 
shift  0 )  =  ( F  |`  CC )

Proof of Theorem shftidt2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subid1 8005 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  -  0 )  =  x )
21breq1d 3946 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( x  -  0 ) F y  <->  x F
y ) )
32pm5.32i 450 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( x  -  0
) F y )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x F y ) )
43opabbii 4002 . 2  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  CC  /\  ( x  -  0
) F y ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  CC  /\  x F y ) }
5 0cn 7781 . . 3  |-  0  e.  CC
6 shftfval.1 . . . 4  |-  F  e. 
_V
76shftfval 10624 . . 3  |-  ( 0  e.  CC  ->  ( F  shift  0 )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  CC  /\  ( x  -  0 ) F y ) } )
85, 7ax-mp 5 . 2  |-  ( F 
shift  0 )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  CC  /\  ( x  -  0 ) F y ) }
9 dfres2 4878 . 2  |-  ( F  |`  CC )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  CC  /\  x F y ) }
104, 8, 93eqtr4i 2171 1  |-  ( F 
shift  0 )  =  ( F  |`  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1332    e. wcel 1481   _Vcvv 2689   class class class wbr 3936   {copab 3995    |` cres 4548  (class class class)co 5781   CCcc 7641   0cc0 7643    - cmin 7956    shift cshi 10617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-sub 7958  df-shft 10618
This theorem is referenced by:  shftidt  10636
  Copyright terms: Public domain W3C validator