Theorem shftidt2 10976

Description: Identity law for the shift operation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
shftidt2	|- ( F shift 0 ) = ( F |` CC )

Proof of Theorem shftidt2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subid1 8239	. . . . 5 |- ( x e. CC -> ( x - 0 ) = x )
2	1	breq1d 4039	. . . 4 |- ( x e. CC -> ( ( x - 0 ) F y <-> x F y ) )
3	2	pm5.32i 454	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ ( x - 0 ) F y ) <-> ( x e. CC /\ x F y ) )
4	3	opabbii 4096	. 2 |- { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - 0 ) F y ) } = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ x F y ) }
5		0cn 8011	. . 3 |- 0 e. CC
6		shftfval.1	. . . 4 |- F e. _V
7	6	shftfval 10965	. . 3 |- ( 0 e. CC -> ( F shift 0 ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - 0 ) F y ) } )
8	5, 7	ax-mp 5	. 2 |- ( F shift 0 ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - 0 ) F y ) }
9		dfres2 4994	. 2 |- ( F |` CC ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ x F y ) }
10	4, 8, 9	3eqtr4i 2224	1 |- ( F shift 0 ) = ( F |` CC )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   class class class wbr 4029   {copab 4089   |` cres 4661  (class class class)co 5918   CCcc 7870   0cc0 7872   - cmin 8190   shift cshi 10958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-sub 8192  df-shft 10959

This theorem is referenced by:  shftidt  10977