Theorem subid1 8382

Description: Identity law for subtraction. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
subid1	|- ( A e. CC -> ( A - 0 ) = A )

Proof of Theorem subid1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addrid 8300	. . 3 |- ( A e. CC -> ( A + 0 ) = A )
2	1	oveq1d 6025	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( A + 0 ) - 0 ) = ( A - 0 ) )
3		0cn 8154	. . 3 |- 0 e. CC
4		pncan 8368	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( ( A + 0 ) - 0 ) = A )
5	3, 4	mpan2 425	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( A + 0 ) - 0 ) = A )
6	2, 5	eqtr3d 2264	1 |- ( A e. CC -> ( A - 0 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6010   CCcc 8013   0cc0 8015   + caddc 8018   - cmin 8333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-setind 4630  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-sub 8335

This theorem is referenced by:  subneg  8411  subid1i  8434  subid1d  8462  shftidt2  11364  abs2dif  11638  clim0  11817  climi0  11821  geo2lim  12048  cnbl0  15229  cnblcld  15230