Theorem shftidt2 11517

Description: Identity law for the shift operation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
shftidt2	⊢ (𝐹 shift 0) = (𝐹 ↾ ℂ)

Proof of Theorem shftidt2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subid1 8493	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 − 0) = 𝑥)
2	1	breq1d 4119	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 − 0)𝐹𝑦 ↔ 𝑥𝐹𝑦))
3	2	pm5.32i 454	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 0)𝐹𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐹𝑦))
4	3	opabbii 4177	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 0)𝐹𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐹𝑦)}
5		0cn 8266	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		shftfval.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ V
7	6	shftfval 11506	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → (𝐹 shift 0) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 0)𝐹𝑦)})
8	5, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐹 shift 0) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 0)𝐹𝑦)}
9		dfres2 5090	. 2 ⊢ (𝐹 ↾ ℂ) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐹𝑦)}
10	4, 8, 9	3eqtr4i 2263	1 ⊢ (𝐹 shift 0) = (𝐹 ↾ ℂ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813   class class class wbr 4109  {copab 4170   ↾ cres 4751  (class class class)co 6050  ℂcc 8125  0cc0 8127   − cmin 8444   shift cshi 11499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-sub 8446  df-shft 11500

This theorem is referenced by:  shftidt  11518