Theorem shftvalg 10449

Description: Value of a sequence shifted by 𝐴. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
shftvalg	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem shftvalg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5713	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 shift 𝐴) = (𝐹 shift 𝐴))
2	1	fveq1d 5355	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 shift 𝐴)‘𝐵) = ((𝐹 shift 𝐴)‘𝐵))
3		fveq1 5352	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘(𝐵 − 𝐴)) = (𝐹‘(𝐵 − 𝐴)))
4	2, 3	eqeq12d 2114	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 shift 𝐴)‘𝐵) = (𝑓‘(𝐵 − 𝐴)) ↔ ((𝐹 shift 𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐵 − 𝐴))))
5	4	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑓 shift 𝐴)‘𝐵) = (𝑓‘(𝐵 − 𝐴))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐵 − 𝐴)))))
6		vex 2644	. . . 4 ⊢ 𝑓 ∈ V
7	6	shftval 10438	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑓 shift 𝐴)‘𝐵) = (𝑓‘(𝐵 − 𝐴)))
8	5, 7	vtoclg 2701	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐵 − 𝐴))))
9	8	3impib 1147	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 930   = wceq 1299   ∈ wcel 1448  ‘cfv 5059  (class class class)co 5706  ℂcc 7498   − cmin 7804   shift cshi 10427

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-sub 7806  df-shft 10428

This theorem is referenced by:  seq3shft  10451  climshftlemg  10910