Theorem shftvalg 11342

Description: Value of a sequence shifted by 𝐴. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
shftvalg	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem shftvalg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6007	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 shift 𝐴) = (𝐹 shift 𝐴))
2	1	fveq1d 5628	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 shift 𝐴)‘𝐵) = ((𝐹 shift 𝐴)‘𝐵))
3		fveq1 5625	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘(𝐵 − 𝐴)) = (𝐹‘(𝐵 − 𝐴)))
4	2, 3	eqeq12d 2244	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 shift 𝐴)‘𝐵) = (𝑓‘(𝐵 − 𝐴)) ↔ ((𝐹 shift 𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐵 − 𝐴))))
5	4	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑓 shift 𝐴)‘𝐵) = (𝑓‘(𝐵 − 𝐴))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐵 − 𝐴)))))
6		vex 2802	. . . 4 ⊢ 𝑓 ∈ V
7	6	shftval 11331	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑓 shift 𝐴)‘𝐵) = (𝑓‘(𝐵 − 𝐴)))
8	5, 7	vtoclg 2861	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐵 − 𝐴))))
9	8	3impib 1225	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  ℂcc 7993   − cmin 8313   shift cshi 11320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-sub 8315  df-shft 11321

This theorem is referenced by:  seq3shft  11344  climshftlemg  11808