Theorem slotsdifipndx 13174

Description: The slot for the scalar is not the index of other slots. (Contributed by AV, 12-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifipndx	|- ( ( .s ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) )

Proof of Theorem slotsdifipndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6re 9159	. . . 4 |- 6 e. RR
2		6lt8 9270	. . . 4 |- 6 < 8
3	1, 2	ltneii 8211	. . 3 |- 6 =/= 8
4		vscandx 13156	. . . 4 |- ( .s ` ndx ) = 6
5		ipndx 13168	. . . 4 |- ( .i ` ndx ) = 8
6	4, 5	neeq12i 2397	. . 3 |- ( ( .s ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) <-> 6 =/= 8 )
7	3, 6	mpbir 146	. 2 |- ( .s ` ndx ) =/= ( .i ` ndx )
8		5re 9157	. . . 4 |- 5 e. RR
9		5lt8 9271	. . . 4 |- 5 < 8
10	8, 9	ltneii 8211	. . 3 |- 5 =/= 8
11		scandx 13150	. . . 4 |- (Scalar ` ndx ) = 5
12	11, 5	neeq12i 2397	. . 3 |- ( (Scalar ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) <-> 5 =/= 8 )
13	10, 12	mpbir 146	. 2 |- (Scalar ` ndx ) =/= ( .i ` ndx )
14	7, 13	pm3.2i 272	1 |- ( ( .s ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   =/= wne 2380   ` cfv 5294   5c5 9132   6c6 9133   8c8 9135   ndxcnx 12995  Scalarcsca 13079   .scvsca 13080   .icip 13081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fv 5302  df-ov 5977  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-ltxr 8154  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-ip 13094

This theorem is referenced by:  srascag  14371  sravscag  14372