Theorem slotsdifipndx 13588

Description: The slot for the scalar is not the index of other slots. (Contributed by AV, 12-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifipndx	|- ( ( .s ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) )

Proof of Theorem slotsdifipndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6re 9394	. . . 4 |- 6 e. RR
2		6lt8 9507	. . . 4 |- 6 < 8
3	1, 2	ltneii 8429	. . 3 |- 6 =/= 8
4		vscandx 13570	. . . 4 |- ( .s ` ndx ) = 6
5		ipndx 13582	. . . 4 |- ( .i ` ndx ) = 8
6	4, 5	neeq12i 2437	. . 3 |- ( ( .s ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) <-> 6 =/= 8 )
7	3, 6	mpbir 146	. 2 |- ( .s ` ndx ) =/= ( .i ` ndx )
8		5re 9392	. . . 4 |- 5 e. RR
9		5lt8 9508	. . . 4 |- 5 < 8
10	8, 9	ltneii 8429	. . 3 |- 5 =/= 8
11		scandx 13564	. . . 4 |- (Scalar ` ndx ) = 5
12	11, 5	neeq12i 2437	. . 3 |- ( (Scalar ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) <-> 5 =/= 8 )
13	10, 12	mpbir 146	. 2 |- (Scalar ` ndx ) =/= ( .i ` ndx )
14	7, 13	pm3.2i 272	1 |- ( ( .s ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   =/= wne 2420   ` cfv 5380   5c5 9367   6c6 9368   8c8 9370   ndxcnx 13407  Scalarcsca 13493   .scvsca 13494   .icip 13495

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-ov 6091  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-ip 13508

This theorem is used by:  srascag  14888  sravscag  14889