Theorem ipsstrd 12636

Description: A constructed inner product space is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipspart.a	|- A = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } )
ipsstrd.b	|- ( ph -> B e. V )
ipsstrd.p	|- ( ph -> .+ e. W )
ipsstrd.r	|- ( ph -> .X. e. X )
ipsstrd.s	|- ( ph -> S e. Y )
ipsstrd.x	|- ( ph -> .x. e. Q )
ipsstrd.i	|- ( ph -> I e. Z )

Assertion

Ref	Expression
ipsstrd	|- ( ph -> A Struct <. 1 , 8 >. )

Proof of Theorem ipsstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipspart.a	. 2 |- A = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } )
2		ipsstrd.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. V )
3		ipsstrd.p	. . . 4 |- ( ph -> .+ e. W )
4		ipsstrd.r	. . . 4 |- ( ph -> .X. e. X )
5		eqid 2177	. . . . 5 |- { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. }
6	5	rngstrg 12595	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .X. e. X ) -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } Struct <. 1 , 3 >. )
7	2, 3, 4, 6	syl3anc 1238	. . 3 |- ( ph -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } Struct <. 1 , 3 >. )
8		ipsstrd.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. Y )
9		ipsstrd.x	. . . 4 |- ( ph -> .x. e. Q )
10		ipsstrd.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. Z )
11		5nn 9085	. . . . 5 |- 5 e. NN
12		scandx 12611	. . . . 5 |- (Scalar ` ndx ) = 5
13		5lt6 9100	. . . . 5 |- 5 < 6
14		6nn 9086	. . . . 5 |- 6 e. NN
15		vscandx 12617	. . . . 5 |- ( .s ` ndx ) = 6
16		6lt8 9112	. . . . 5 |- 6 < 8
17		8nn 9088	. . . . 5 |- 8 e. NN
18		ipndx 12629	. . . . 5 |- ( .i ` ndx ) = 8
19	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	strle3g 12569	. . . 4 |- ( ( S e. Y /\ .x. e. Q /\ I e. Z ) -> { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } Struct <. 5 , 8 >. )
20	8, 9, 10, 19	syl3anc 1238	. . 3 |- ( ph -> { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } Struct <. 5 , 8 >. )
21		3lt5 9097	. . . 4 |- 3 < 5
22	21	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> 3 < 5 )
23	7, 20, 22	strleund 12564	. 2 |- ( ph -> ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } ) Struct <. 1 , 8 >. )
24	1, 23	eqbrtrid 4040	1 |- ( ph -> A Struct <. 1 , 8 >. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   u. cun 3129   {ctp 3596   <.cop 3597   class class class wbr 4005   ` cfv 5218   1c1 7814   < clt 7994   3c3 8973   5c5 8975   6c6 8976   8c8 8978   Struct cstr 12460   ndxcnx 12461   Basecbs 12464   +g cplusg 12538   .rcmulr 12539  Scalarcsca 12541   .scvsca 12542   .icip 12543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-tp 3602  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-struct 12466  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-sca 12554  df-vsca 12555  df-ip 12556

This theorem is referenced by:  ipsbased  12637  ipsaddgd  12638  ipsmulrd  12639  ipsscad  12640  ipsvscad  12641  ipsipd  12642