Theorem ipsstrd 12536

Description: A constructed inner product space is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipspart.a	|- A = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } )
ipsstrd.b	|- ( ph -> B e. V )
ipsstrd.p	|- ( ph -> .+ e. W )
ipsstrd.r	|- ( ph -> .X. e. X )
ipsstrd.s	|- ( ph -> S e. Y )
ipsstrd.x	|- ( ph -> .x. e. Q )
ipsstrd.i	|- ( ph -> I e. Z )

Assertion

Ref	Expression
ipsstrd	|- ( ph -> A Struct <. 1 , 8 >. )

Proof of Theorem ipsstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipspart.a	. 2 |- A = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } )
2		ipsstrd.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. V )
3		ipsstrd.p	. . . 4 |- ( ph -> .+ e. W )
4		ipsstrd.r	. . . 4 |- ( ph -> .X. e. X )
5		eqid 2165	. . . . 5 |- { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. }
6	5	rngstrg 12510	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .X. e. X ) -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } Struct <. 1 , 3 >. )
7	2, 3, 4, 6	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ph -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } Struct <. 1 , 3 >. )
8		ipsstrd.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. Y )
9		ipsstrd.x	. . . 4 |- ( ph -> .x. e. Q )
10		ipsstrd.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. Z )
11		5nn 9021	. . . . 5 |- 5 e. NN
12		scandx 12522	. . . . 5 |- (Scalar ` ndx ) = 5
13		5lt6 9036	. . . . 5 |- 5 < 6
14		6nn 9022	. . . . 5 |- 6 e. NN
15		vscandx 12525	. . . . 5 |- ( .s ` ndx ) = 6
16		6lt8 9048	. . . . 5 |- 6 < 8
17		8nn 9024	. . . . 5 |- 8 e. NN
18		ipndx 12533	. . . . 5 |- ( .i ` ndx ) = 8
19	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	strle3g 12487	. . . 4 |- ( ( S e. Y /\ .x. e. Q /\ I e. Z ) -> { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } Struct <. 5 , 8 >. )
20	8, 9, 10, 19	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ph -> { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } Struct <. 5 , 8 >. )
21		3lt5 9033	. . . 4 |- 3 < 5
22	21	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> 3 < 5 )
23	7, 20, 22	strleund 12483	. 2 |- ( ph -> ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } ) Struct <. 1 , 8 >. )
24	1, 23	eqbrtrid 4017	1 |- ( ph -> A Struct <. 1 , 8 >. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1343   e. wcel 2136   u. cun 3114   {ctp 3578   <.cop 3579   class class class wbr 3982   ` cfv 5188   1c1 7754   < clt 7933   3c3 8909   5c5 8911   6c6 8912   8c8 8914   Struct cstr 12390   ndxcnx 12391   Basecbs 12394   +g cplusg 12457   .rcmulr 12458  Scalarcsca 12460   .scvsca 12461   .icip 12462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-tp 3584  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-5 8919  df-6 8920  df-7 8921  df-8 8922  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945  df-struct 12396  df-ndx 12397  df-slot 12398  df-base 12400  df-plusg 12470  df-mulr 12471  df-sca 12473  df-vsca 12474  df-ip 12475

This theorem is referenced by:  ipsbased  12537  ipsaddgd  12538  ipsmulrd  12539  ipsscad  12540  ipsvscad  12541  ipsipd  12542