Theorem ipsstrd 12100

Description: A constructed inner product space is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipspart.a	|- A = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } )
ipsstrd.b	|- ( ph -> B e. V )
ipsstrd.p	|- ( ph -> .+ e. W )
ipsstrd.r	|- ( ph -> .X. e. X )
ipsstrd.s	|- ( ph -> S e. Y )
ipsstrd.x	|- ( ph -> .x. e. Q )
ipsstrd.i	|- ( ph -> I e. Z )

Assertion

Ref	Expression
ipsstrd	|- ( ph -> A Struct <. 1 , 8 >. )

Proof of Theorem ipsstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipspart.a	. 2 |- A = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } )
2		ipsstrd.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. V )
3		ipsstrd.p	. . . 4 |- ( ph -> .+ e. W )
4		ipsstrd.r	. . . 4 |- ( ph -> .X. e. X )
5		eqid 2139	. . . . 5 |- { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. }
6	5	rngstrg 12074	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .X. e. X ) -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } Struct <. 1 , 3 >. )
7	2, 3, 4, 6	syl3anc 1216	. . 3 |- ( ph -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } Struct <. 1 , 3 >. )
8		ipsstrd.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. Y )
9		ipsstrd.x	. . . 4 |- ( ph -> .x. e. Q )
10		ipsstrd.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. Z )
11		5nn 8884	. . . . 5 |- 5 e. NN
12		scandx 12086	. . . . 5 |- (Scalar ` ndx ) = 5
13		5lt6 8899	. . . . 5 |- 5 < 6
14		6nn 8885	. . . . 5 |- 6 e. NN
15		vscandx 12089	. . . . 5 |- ( .s ` ndx ) = 6
16		6lt8 8911	. . . . 5 |- 6 < 8
17		8nn 8887	. . . . 5 |- 8 e. NN
18		ipndx 12097	. . . . 5 |- ( .i ` ndx ) = 8
19	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	strle3g 12051	. . . 4 |- ( ( S e. Y /\ .x. e. Q /\ I e. Z ) -> { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } Struct <. 5 , 8 >. )
20	8, 9, 10, 19	syl3anc 1216	. . 3 |- ( ph -> { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } Struct <. 5 , 8 >. )
21		3lt5 8896	. . . 4 |- 3 < 5
22	21	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> 3 < 5 )
23	7, 20, 22	strleund 12047	. 2 |- ( ph -> ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } ) Struct <. 1 , 8 >. )
24	1, 23	eqbrtrid 3963	1 |- ( ph -> A Struct <. 1 , 8 >. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   u. cun 3069   {ctp 3529   <.cop 3530   class class class wbr 3929   ` cfv 5123   1c1 7621   < clt 7800   3c3 8772   5c5 8774   6c6 8775   8c8 8777   Struct cstr 11955   ndxcnx 11956   Basecbs 11959   +g cplusg 12021   .rcmulr 12022  Scalarcsca 12024   .scvsca 12025   .icip 12026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-tp 3535  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-5 8782  df-6 8783  df-7 8784  df-8 8785  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791  df-struct 11961  df-ndx 11962  df-slot 11963  df-base 11965  df-plusg 12034  df-mulr 12035  df-sca 12037  df-vsca 12038  df-ip 12039

This theorem is referenced by:  ipsbased  12101  ipsaddgd  12102  ipsmulrd  12103  ipsscad  12104  ipsvscad  12105  ipsipd  12106