ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ipsstrd Unicode version

Theorem ipsstrd 12588
Description: A constructed inner product space is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ipspart.a  |-  A  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  I >. } )
ipsstrd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
ipsstrd.p  |-  ( ph  ->  .+  e.  W )
ipsstrd.r  |-  ( ph  ->  .X.  e.  X )
ipsstrd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Y )
ipsstrd.x  |-  ( ph  ->  .x.  e.  Q )
ipsstrd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Z )
Assertion
Ref Expression
ipsstrd  |-  ( ph  ->  A Struct  <. 1 ,  8
>. )

Proof of Theorem ipsstrd
StepHypRef Expression
1 ipspart.a . 2  |-  A  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  I >. } )
2 ipsstrd.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
3 ipsstrd.p . . . 4  |-  ( ph  ->  .+  e.  W )
4 ipsstrd.r . . . 4  |-  ( ph  ->  .X.  e.  X )
5 eqid 2177 . . . . 5  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }
65rngstrg 12559 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W  /\  .X.  e.  X )  ->  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. } Struct  <. 1 ,  3 >. )
72, 3, 4, 6syl3anc 1238 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. } Struct  <. 1 ,  3 >. )
8 ipsstrd.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  Y )
9 ipsstrd.x . . . 4  |-  ( ph  ->  .x.  e.  Q )
10 ipsstrd.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  Z )
11 5nn 9059 . . . . 5  |-  5  e.  NN
12 scandx 12571 . . . . 5  |-  (Scalar `  ndx )  =  5
13 5lt6 9074 . . . . 5  |-  5  <  6
14 6nn 9060 . . . . 5  |-  6  e.  NN
15 vscandx 12577 . . . . 5  |-  ( .s
`  ndx )  =  6
16 6lt8 9086 . . . . 5  |-  6  <  8
17 8nn 9062 . . . . 5  |-  8  e.  NN
18 ipndx 12585 . . . . 5  |-  ( .i
`  ndx )  =  8
1911, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18strle3g 12535 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Y  /\  .x. 
e.  Q  /\  I  e.  Z )  ->  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  I >. } Struct  <. 5 ,  8 >. )
208, 9, 10, 19syl3anc 1238 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. , 
<. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  I >. } Struct  <. 5 ,  8 >. )
21 3lt5 9071 . . . 4  |-  3  <  5
2221a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  3  <  5 )
237, 20, 22strleund 12531 . 2  |-  ( ph  ->  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  I >. } ) Struct  <. 1 ,  8 >. )
241, 23eqbrtrid 4035 1  |-  ( ph  ->  A Struct  <. 1 ,  8
>. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353    e. wcel 2148    u. cun 3127   {ctp 3593   <.cop 3594   class class class wbr 4000   ` cfv 5211   1c1 7790    < clt 7969   3c3 8947   5c5 8949   6c6 8950   8c8 8952   Struct cstr 12428   ndxcnx 12429   Basecbs 12432   +g cplusg 12505   .rcmulr 12506  Scalarcsca 12508   .scvsca 12509   .icip 12510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-tp 3599  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-5 8957  df-6 8958  df-7 8959  df-8 8960  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-fz 9983  df-struct 12434  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-plusg 12518  df-mulr 12519  df-sca 12521  df-vsca 12522  df-ip 12523
This theorem is referenced by:  ipsbased  12589  ipsaddgd  12590  ipsmulrd  12591  ipsscad  12592  ipsvscad  12593  ipsipd  12594
  Copyright terms: Public domain W3C validator