ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ipsstrd Unicode version

Theorem ipsstrd 12114
Description: A constructed inner product space is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ipspart.a  |-  A  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  I >. } )
ipsstrd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
ipsstrd.p  |-  ( ph  ->  .+  e.  W )
ipsstrd.r  |-  ( ph  ->  .X.  e.  X )
ipsstrd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Y )
ipsstrd.x  |-  ( ph  ->  .x.  e.  Q )
ipsstrd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Z )
Assertion
Ref Expression
ipsstrd  |-  ( ph  ->  A Struct  <. 1 ,  8
>. )

Proof of Theorem ipsstrd
StepHypRef Expression
1 ipspart.a . 2  |-  A  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  I >. } )
2 ipsstrd.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
3 ipsstrd.p . . . 4  |-  ( ph  ->  .+  e.  W )
4 ipsstrd.r . . . 4  |-  ( ph  ->  .X.  e.  X )
5 eqid 2139 . . . . 5  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }
65rngstrg 12088 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W  /\  .X.  e.  X )  ->  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. } Struct  <. 1 ,  3 >. )
72, 3, 4, 6syl3anc 1216 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. } Struct  <. 1 ,  3 >. )
8 ipsstrd.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  Y )
9 ipsstrd.x . . . 4  |-  ( ph  ->  .x.  e.  Q )
10 ipsstrd.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  Z )
11 5nn 8896 . . . . 5  |-  5  e.  NN
12 scandx 12100 . . . . 5  |-  (Scalar `  ndx )  =  5
13 5lt6 8911 . . . . 5  |-  5  <  6
14 6nn 8897 . . . . 5  |-  6  e.  NN
15 vscandx 12103 . . . . 5  |-  ( .s
`  ndx )  =  6
16 6lt8 8923 . . . . 5  |-  6  <  8
17 8nn 8899 . . . . 5  |-  8  e.  NN
18 ipndx 12111 . . . . 5  |-  ( .i
`  ndx )  =  8
1911, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18strle3g 12065 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Y  /\  .x. 
e.  Q  /\  I  e.  Z )  ->  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  I >. } Struct  <. 5 ,  8 >. )
208, 9, 10, 19syl3anc 1216 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. , 
<. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  I >. } Struct  <. 5 ,  8 >. )
21 3lt5 8908 . . . 4  |-  3  <  5
2221a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  3  <  5 )
237, 20, 22strleund 12061 . 2  |-  ( ph  ->  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  I >. } ) Struct  <. 1 ,  8 >. )
241, 23eqbrtrid 3963 1  |-  ( ph  ->  A Struct  <. 1 ,  8
>. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1331    e. wcel 1480    u. cun 3069   {ctp 3529   <.cop 3530   class class class wbr 3929   ` cfv 5123   1c1 7633    < clt 7812   3c3 8784   5c5 8786   6c6 8787   8c8 8789   Struct cstr 11969   ndxcnx 11970   Basecbs 11973   +g cplusg 12035   .rcmulr 12036  Scalarcsca 12038   .scvsca 12039   .icip 12040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-tp 3535  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-5 8794  df-6 8795  df-7 8796  df-8 8797  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-fz 9803  df-struct 11975  df-ndx 11976  df-slot 11977  df-base 11979  df-plusg 12048  df-mulr 12049  df-sca 12051  df-vsca 12052  df-ip 12053
This theorem is referenced by:  ipsbased  12115  ipsaddgd  12116  ipsmulrd  12117  ipsscad  12118  ipsvscad  12119  ipsipd  12120
  Copyright terms: Public domain W3C validator