Theorem ipsstrd 13258

Description: A constructed inner product space is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipspart.a	|- A = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } )
ipsstrd.b	|- ( ph -> B e. V )
ipsstrd.p	|- ( ph -> .+ e. W )
ipsstrd.r	|- ( ph -> .X. e. X )
ipsstrd.s	|- ( ph -> S e. Y )
ipsstrd.x	|- ( ph -> .x. e. Q )
ipsstrd.i	|- ( ph -> I e. Z )

Assertion

Ref	Expression
ipsstrd	|- ( ph -> A Struct <. 1 , 8 >. )

Proof of Theorem ipsstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipspart.a	. 2 |- A = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } )
2		ipsstrd.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. V )
3		ipsstrd.p	. . . 4 |- ( ph -> .+ e. W )
4		ipsstrd.r	. . . 4 |- ( ph -> .X. e. X )
5		eqid 2231	. . . . 5 |- { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. }
6	5	rngstrg 13217	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .X. e. X ) -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } Struct <. 1 , 3 >. )
7	2, 3, 4, 6	syl3anc 1273	. . 3 |- ( ph -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } Struct <. 1 , 3 >. )
8		ipsstrd.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. Y )
9		ipsstrd.x	. . . 4 |- ( ph -> .x. e. Q )
10		ipsstrd.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. Z )
11		5nn 9307	. . . . 5 |- 5 e. NN
12		scandx 13233	. . . . 5 |- (Scalar ` ndx ) = 5
13		5lt6 9322	. . . . 5 |- 5 < 6
14		6nn 9308	. . . . 5 |- 6 e. NN
15		vscandx 13239	. . . . 5 |- ( .s ` ndx ) = 6
16		6lt8 9334	. . . . 5 |- 6 < 8
17		8nn 9310	. . . . 5 |- 8 e. NN
18		ipndx 13251	. . . . 5 |- ( .i ` ndx ) = 8
19	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	strle3g 13190	. . . 4 |- ( ( S e. Y /\ .x. e. Q /\ I e. Z ) -> { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } Struct <. 5 , 8 >. )
20	8, 9, 10, 19	syl3anc 1273	. . 3 |- ( ph -> { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } Struct <. 5 , 8 >. )
21		3lt5 9319	. . . 4 |- 3 < 5
22	21	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> 3 < 5 )
23	7, 20, 22	strleund 13185	. 2 |- ( ph -> ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } ) Struct <. 1 , 8 >. )
24	1, 23	eqbrtrid 4123	1 |- ( ph -> A Struct <. 1 , 8 >. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   u. cun 3198   {ctp 3671   <.cop 3672   class class class wbr 4088   ` cfv 5326   1c1 8032   < clt 8213   3c3 9194   5c5 9196   6c6 9197   8c8 9199   Struct cstr 13077   ndxcnx 13078   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   .rcmulr 13160  Scalarcsca 13162   .scvsca 13163   .icip 13164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-struct 13083  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-sca 13175  df-vsca 13176  df-ip 13177

This theorem is referenced by:  ipsbased  13259  ipsaddgd  13260  ipsmulrd  13261  ipsscad  13262  ipsvscad  13263  ipsipd  13264  imasvalstrd  13352