Theorem slotsdifipndx 13512

Description: The slot for the scalar is not the index of other slots. (Contributed by AV, 12-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifipndx	⊢ (( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdifipndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6re 9368	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
2		6lt8 9479	. . . 4 ⊢ 6 < 8
3	1, 2	ltneii 8416	. . 3 ⊢ 6 ≠ 8
4		vscandx 13494	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
5		ipndx 13506	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
6	4, 5	neeq12i 2437	. . 3 ⊢ (( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 6 ≠ 8)
7	3, 6	mpbir 146	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
8		5re 9366	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
9		5lt8 9480	. . . 4 ⊢ 5 < 8
10	8, 9	ltneii 8416	. . 3 ⊢ 5 ≠ 8
11		scandx 13488	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
12	11, 5	neeq12i 2437	. . 3 ⊢ ((Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 5 ≠ 8)
13	10, 12	mpbir 146	. 2 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
14	7, 13	pm3.2i 272	1 ⊢ (( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ≠ wne 2420  ‘cfv 5375  5c5 9341  6c6 9342  8c8 9344  ndxcnx 13332  Scalarcsca 13417   ·_𝑠 cvsca 13418  ·_𝑖cip 13419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-ov 6082  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-ip 13432

This theorem is referenced by:  srascag  14762  sravscag  14763