Theorem slotsdifipndx 13229

Description: The slot for the scalar is not the index of other slots. (Contributed by AV, 12-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifipndx	⊢ (( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdifipndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6re 9207	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
2		6lt8 9318	. . . 4 ⊢ 6 < 8
3	1, 2	ltneii 8259	. . 3 ⊢ 6 ≠ 8
4		vscandx 13211	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
5		ipndx 13223	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
6	4, 5	neeq12i 2417	. . 3 ⊢ (( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 6 ≠ 8)
7	3, 6	mpbir 146	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
8		5re 9205	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
9		5lt8 9319	. . . 4 ⊢ 5 < 8
10	8, 9	ltneii 8259	. . 3 ⊢ 5 ≠ 8
11		scandx 13205	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
12	11, 5	neeq12i 2417	. . 3 ⊢ ((Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 5 ≠ 8)
13	10, 12	mpbir 146	. 2 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
14	7, 13	pm3.2i 272	1 ⊢ (( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ≠ wne 2400  ‘cfv 5321  5c5 9180  6c6 9181  8c8 9183  ndxcnx 13050  Scalarcsca 13134   ·_𝑠 cvsca 13135  ·_𝑖cip 13136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fv 5329  df-ov 6013  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-ltxr 8202  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-sca 13147  df-vsca 13148  df-ip 13149

This theorem is referenced by:  srascag  14427  sravscag  14428