Theorem slotsdifipndx 13377

Description: The slot for the scalar is not the index of other slots. (Contributed by AV, 12-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifipndx	⊢ (( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdifipndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6re 9314	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
2		6lt8 9425	. . . 4 ⊢ 6 < 8
3	1, 2	ltneii 8366	. . 3 ⊢ 6 ≠ 8
4		vscandx 13359	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
5		ipndx 13371	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
6	4, 5	neeq12i 2429	. . 3 ⊢ (( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 6 ≠ 8)
7	3, 6	mpbir 146	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
8		5re 9312	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
9		5lt8 9426	. . . 4 ⊢ 5 < 8
10	8, 9	ltneii 8366	. . 3 ⊢ 5 ≠ 8
11		scandx 13353	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
12	11, 5	neeq12i 2429	. . 3 ⊢ ((Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 5 ≠ 8)
13	10, 12	mpbir 146	. 2 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
14	7, 13	pm3.2i 272	1 ⊢ (( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ≠ wne 2412  ‘cfv 5351  5c5 9287  6c6 9288  8c8 9290  ndxcnx 13198  Scalarcsca 13282   ·_𝑠 cvsca 13283  ·_𝑖cip 13284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-addass 8225  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-ov 6052  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-ltxr 8309  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-sca 13295  df-vsca 13296  df-ip 13297

This theorem is referenced by:  srascag  14577  sravscag  14578