Theorem slotsdifipndx 13281

Description: The slot for the scalar is not the index of other slots. (Contributed by AV, 12-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifipndx	⊢ (( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdifipndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6re 9229	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
2		6lt8 9340	. . . 4 ⊢ 6 < 8
3	1, 2	ltneii 8281	. . 3 ⊢ 6 ≠ 8
4		vscandx 13263	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
5		ipndx 13275	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
6	4, 5	neeq12i 2418	. . 3 ⊢ (( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 6 ≠ 8)
7	3, 6	mpbir 146	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
8		5re 9227	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
9		5lt8 9341	. . . 4 ⊢ 5 < 8
10	8, 9	ltneii 8281	. . 3 ⊢ 5 ≠ 8
11		scandx 13257	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
12	11, 5	neeq12i 2418	. . 3 ⊢ ((Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 5 ≠ 8)
13	10, 12	mpbir 146	. 2 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
14	7, 13	pm3.2i 272	1 ⊢ (( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ≠ wne 2401  ‘cfv 5328  5c5 9202  6c6 9203  8c8 9205  ndxcnx 13102  Scalarcsca 13186   ·_𝑠 cvsca 13187  ·_𝑖cip 13188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fv 5336  df-ov 6026  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-ltxr 8224  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-sca 13199  df-vsca 13200  df-ip 13201

This theorem is referenced by:  srascag  14480  sravscag  14481