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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > smores | Unicode version |
Description: A strictly monotone function restricted to an ordinal remains strictly monotone. (Contributed by Andrew Salmon, 16-Nov-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.) |
Ref | Expression |
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smores |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | funres 5122 |
. . . . . . . 8
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2 | funfn 5111 |
. . . . . . . 8
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3 | funfn 5111 |
. . . . . . . 8
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4 | 1, 2, 3 | 3imtr3i 199 |
. . . . . . 7
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5 | resss 4801 |
. . . . . . . . 9
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6 | rnss 4729 |
. . . . . . . . 9
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7 | 5, 6 | ax-mp 7 |
. . . . . . . 8
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8 | sstr 3071 |
. . . . . . . 8
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9 | 7, 8 | mpan 418 |
. . . . . . 7
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10 | 4, 9 | anim12i 334 |
. . . . . 6
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11 | df-f 5085 |
. . . . . 6
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12 | df-f 5085 |
. . . . . 6
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13 | 10, 11, 12 | 3imtr4i 200 |
. . . . 5
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14 | 13 | a1i 9 |
. . . 4
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15 | ordelord 4263 |
. . . . . . 7
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16 | 15 | expcom 115 |
. . . . . 6
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17 | ordin 4267 |
. . . . . . 7
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18 | 17 | ex 114 |
. . . . . 6
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19 | 16, 18 | syli 37 |
. . . . 5
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20 | dmres 4798 |
. . . . . 6
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21 | ordeq 4254 |
. . . . . 6
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22 | 20, 21 | ax-mp 7 |
. . . . 5
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23 | 19, 22 | syl6ibr 161 |
. . . 4
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24 | dmss 4698 |
. . . . . . . . 9
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25 | 5, 24 | ax-mp 7 |
. . . . . . . 8
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26 | ssralv 3127 |
. . . . . . . 8
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27 | 25, 26 | ax-mp 7 |
. . . . . . 7
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28 | ssralv 3127 |
. . . . . . . . 9
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29 | 25, 28 | ax-mp 7 |
. . . . . . . 8
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30 | 29 | ralimi 2469 |
. . . . . . 7
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31 | 27, 30 | syl 14 |
. . . . . 6
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32 | inss1 3262 |
. . . . . . . . . . . . 13
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33 | 20, 32 | eqsstri 3095 |
. . . . . . . . . . . 12
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34 | simpl 108 |
. . . . . . . . . . . 12
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35 | 33, 34 | sseldi 3061 |
. . . . . . . . . . 11
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36 | fvres 5399 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | 35, 36 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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38 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . 12
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39 | 33, 38 | sseldi 3061 |
. . . . . . . . . . 11
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40 | fvres 5399 |
. . . . . . . . . . 11
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41 | 39, 40 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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42 | 37, 41 | eleq12d 2185 |
. . . . . . . . 9
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43 | 42 | imbi2d 229 |
. . . . . . . 8
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44 | 43 | ralbidva 2407 |
. . . . . . 7
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45 | 44 | ralbiia 2423 |
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46 | 31, 45 | sylibr 133 |
. . . . 5
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47 | 46 | a1i 9 |
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48 | 14, 23, 47 | 3anim123d 1280 |
. . 3
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49 | df-smo 6137 |
. . 3
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50 | df-smo 6137 |
. . 3
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51 | 48, 49, 50 | 3imtr4g 204 |
. 2
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52 | 51 | impcom 124 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-io 681 ax-5 1406 ax-7 1407 ax-gen 1408 ax-ie1 1452 ax-ie2 1453 ax-8 1465 ax-10 1466 ax-11 1467 ax-i12 1468 ax-bndl 1469 ax-4 1470 ax-14 1475 ax-17 1489 ax-i9 1493 ax-ial 1497 ax-i5r 1498 ax-ext 2097 ax-sep 4006 ax-pow 4058 ax-pr 4091 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 947 df-tru 1317 df-nf 1420 df-sb 1719 df-clab 2102 df-cleq 2108 df-clel 2111 df-nfc 2244 df-ral 2395 df-rex 2396 df-v 2659 df-un 3041 df-in 3043 df-ss 3050 df-pw 3478 df-sn 3499 df-pr 3500 df-op 3502 df-uni 3703 df-br 3896 df-opab 3950 df-tr 3987 df-iord 4248 df-xp 4505 df-rel 4506 df-cnv 4507 df-co 4508 df-dm 4509 df-rn 4510 df-res 4511 df-iota 5046 df-fun 5083 df-fn 5084 df-f 5085 df-fv 5089 df-smo 6137 |
This theorem is referenced by: smores3 6144 |
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