Theorem smores 6457

Description: A strictly monotone function restricted to an ordinal remains strictly monotone. (Contributed by Andrew Salmon, 16-Nov-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
smores	|- ( ( Smo A /\ B e. dom A ) -> Smo ( A |` B ) )

Proof of Theorem smores

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 5367	. . . . . . . 8 |- ( Fun A -> Fun ( A |` B ) )
2		funfn 5356	. . . . . . . 8 |- ( Fun A <-> A Fn dom A )
3		funfn 5356	. . . . . . . 8 |- ( Fun ( A |` B ) <-> ( A |` B ) Fn dom ( A |` B ) )
4	1, 2, 3	3imtr3i 200	. . . . . . 7 |- ( A Fn dom A -> ( A |` B ) Fn dom ( A |` B ) )
5		resss 5037	. . . . . . . . 9 |- ( A |` B ) C_ A
6		rnss 4962	. . . . . . . . 9 |- ( ( A |` B ) C_ A -> ran ( A |` B ) C_ ran A )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ran ( A |` B ) C_ ran A
8		sstr 3235	. . . . . . . 8 |- ( ( ran ( A |` B ) C_ ran A /\ ran A C_ On ) -> ran ( A |` B ) C_ On )
9	7, 8	mpan 424	. . . . . . 7 |- ( ran A C_ On -> ran ( A |` B ) C_ On )
10	4, 9	anim12i 338	. . . . . 6 |- ( ( A Fn dom A /\ ran A C_ On ) -> ( ( A |` B ) Fn dom ( A |` B ) /\ ran ( A |` B ) C_ On ) )
11		df-f 5330	. . . . . 6 |- ( A : dom A --> On <-> ( A Fn dom A /\ ran A C_ On ) )
12		df-f 5330	. . . . . 6 |- ( ( A |` B ) : dom ( A |` B ) --> On <-> ( ( A |` B ) Fn dom ( A |` B ) /\ ran ( A |` B ) C_ On ) )
13	10, 11, 12	3imtr4i 201	. . . . 5 |- ( A : dom A --> On -> ( A |` B ) : dom ( A |` B ) --> On )
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( B e. dom A -> ( A : dom A --> On -> ( A |` B ) : dom ( A |` B ) --> On ) )
15		ordelord 4478	. . . . . . 7 |- ( ( Ord dom A /\ B e. dom A ) -> Ord B )
16	15	expcom 116	. . . . . 6 |- ( B e. dom A -> ( Ord dom A -> Ord B ) )
17		ordin 4482	. . . . . . 7 |- ( ( Ord B /\ Ord dom A ) -> Ord ( B i^i dom A ) )
18	17	ex 115	. . . . . 6 |- ( Ord B -> ( Ord dom A -> Ord ( B i^i dom A ) ) )
19	16, 18	syli 37	. . . . 5 |- ( B e. dom A -> ( Ord dom A -> Ord ( B i^i dom A ) ) )
20		dmres 5034	. . . . . 6 |- dom ( A |` B ) = ( B i^i dom A )
21		ordeq 4469	. . . . . 6 |- ( dom ( A |` B ) = ( B i^i dom A ) -> ( Ord dom ( A |` B ) <-> Ord ( B i^i dom A ) ) )
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( Ord dom ( A |` B ) <-> Ord ( B i^i dom A ) )
23	19, 22	imbitrrdi 162	. . . 4 |- ( B e. dom A -> ( Ord dom A -> Ord dom ( A |` B ) ) )
24		dmss 4930	. . . . . . . . 9 |- ( ( A |` B ) C_ A -> dom ( A |` B ) C_ dom A )
25	5, 24	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- dom ( A |` B ) C_ dom A
26		ssralv 3291	. . . . . . . 8 |- ( dom ( A |` B ) C_ dom A -> ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) )
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) )
28		ssralv 3291	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( A |` B ) C_ dom A -> ( A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) )
29	25, 28	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) )
30	29	ralimi 2595	. . . . . . 7 |- ( A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) )
31	27, 30	syl 14	. . . . . 6 |- ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) )
32		inss1 3427	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B i^i dom A ) C_ B
33	20, 32	eqsstri 3259	. . . . . . . . . . . 12 |- dom ( A |` B ) C_ B
34		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> x e. dom ( A |` B ) )
35	33, 34	sselid 3225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> x e. B )
36		fvres 5663	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. B -> ( ( A |` B ) ` x ) = ( A ` x ) )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> ( ( A |` B ) ` x ) = ( A ` x ) )
38		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> y e. dom ( A |` B ) )
39	33, 38	sselid 3225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> y e. B )
40		fvres 5663	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. B -> ( ( A |` B ) ` y ) = ( A ` y ) )
41	39, 40	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> ( ( A |` B ) ` y ) = ( A ` y ) )
42	37, 41	eleq12d 2302	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> ( ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) <-> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) )
43	42	imbi2d 230	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> ( ( x e. y -> ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) ) <-> ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) )
44	43	ralbidva 2528	. . . . . . 7 |- ( x e. dom ( A |` B ) -> ( A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) ) <-> A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) )
45	44	ralbiia 2546	. . . . . 6 |- ( A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) ) <-> A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) )
46	31, 45	sylibr 134	. . . . 5 |- ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) ) )
47	46	a1i 9	. . . 4 |- ( B e. dom A -> ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) ) ) )
48	14, 23, 47	3anim123d 1355	. . 3 |- ( B e. dom A -> ( ( A : dom A --> On /\ Ord dom A /\ A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) -> ( ( A |` B ) : dom ( A |` B ) --> On /\ Ord dom ( A |` B ) /\ A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) ) ) ) )
49		df-smo 6451	. . 3 |- ( Smo A <-> ( A : dom A --> On /\ Ord dom A /\ A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) )
50		df-smo 6451	. . 3 |- ( Smo ( A |` B ) <-> ( ( A |` B ) : dom ( A |` B ) --> On /\ Ord dom ( A |` B ) /\ A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) ) ) )
51	48, 49, 50	3imtr4g 205	. 2 |- ( B e. dom A -> ( Smo A -> Smo ( A |` B ) ) )
52	51	impcom 125	1 |- ( ( Smo A /\ B e. dom A ) -> Smo ( A |` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   i^i cin 3199   C_ wss 3200   Ord word 4459   Oncon0 4460   dom cdm 4725   ran crn 4726   |` cres 4727   Fun wfun 5320   Fn wfn 5321   -->wf 5322   ` cfv 5326   Smo wsmo 6450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-tr 4188  df-iord 4463  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-smo 6451

This theorem is referenced by:  smores3  6458