ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  srnginvld GIF version

Theorem srnginvld 12012
Description: The involution function of a constructed star ring. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
srngstr.r 𝑅 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ⟩})
srngstrd.b (𝜑𝐵𝑉)
srngstrd.p (𝜑+𝑊)
srngstrd.m (𝜑·𝑋)
srngstrd.s (𝜑𝑌)
Assertion
Ref Expression
srnginvld (𝜑 = (*𝑟𝑅))

Proof of Theorem srnginvld
StepHypRef Expression
1 starvslid 12007 . 2 (*𝑟 = Slot (*𝑟‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ∈ ℕ)
2 srngstr.r . . 3 𝑅 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ⟩})
3 srngstrd.b . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
4 srngstrd.p . . 3 (𝜑+𝑊)
5 srngstrd.m . . 3 (𝜑·𝑋)
6 srngstrd.s . . 3 (𝜑𝑌)
72, 3, 4, 5, 6srngstrd 12008 . 2 (𝜑𝑅 Struct ⟨1, 4⟩)
81simpri 112 . . . . 5 (*𝑟‘ndx) ∈ ℕ
9 opexg 4120 . . . . 5 (((*𝑟‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝑌) → ⟨(*𝑟‘ndx), ⟩ ∈ V)
108, 6, 9sylancr 410 . . . 4 (𝜑 → ⟨(*𝑟‘ndx), ⟩ ∈ V)
11 snidg 3524 . . . 4 (⟨(*𝑟‘ndx), ⟩ ∈ V → ⟨(*𝑟‘ndx), ⟩ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ⟩})
12 elun2 3214 . . . 4 (⟨(*𝑟‘ndx), ⟩ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ⟩} → ⟨(*𝑟‘ndx), ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ⟩}))
1310, 11, 123syl 17 . . 3 (𝜑 → ⟨(*𝑟‘ndx), ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ⟩}))
1413, 2eleqtrrdi 2211 . 2 (𝜑 → ⟨(*𝑟‘ndx), ⟩ ∈ 𝑅)
151, 7, 6, 14opelstrsl 11982 1 (𝜑 = (*𝑟𝑅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1316  wcel 1465  Vcvv 2660  cun 3039  {csn 3497  {ctp 3499  cop 3500  cfv 5093  1c1 7589  cn 8688  4c4 8741  ndxcnx 11883  Slot cslot 11885  Basecbs 11886  +gcplusg 11948  .rcmulr 11949  *𝑟cstv 11950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-tp 3505  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-fz 9759  df-struct 11888  df-ndx 11889  df-slot 11890  df-base 11892  df-plusg 11961  df-mulr 11962  df-starv 11963
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator