Theorem srnginvld 12623

Description: The involution function of a constructed star ring. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
srngstr.r	⊢ 𝑅 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩})
srngstrd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
srngstrd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
srngstrd.m	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑋)
srngstrd.s	⊢ (𝜑 → ∗ ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
srnginvld	⊢ (𝜑 → ∗ = (*𝑟‘𝑅))

Proof of Theorem srnginvld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		starvslid 12614	. 2 ⊢ (*𝑟 = Slot (*𝑟‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ∈ ℕ)
2		srngstr.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩})
3		srngstrd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		srngstrd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
5		srngstrd.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑋)
6		srngstrd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∗ ∈ 𝑌)
7	2, 3, 4, 5, 6	srngstrd 12619	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Struct ⟨1, 4⟩)
8	1	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) ∈ ℕ
9		opexg 4240	. . . . 5 ⊢ (((*𝑟‘ndx) ∈ ℕ ∧ ∗ ∈ 𝑌) → ⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩ ∈ V)
10	8, 6, 9	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩ ∈ V)
11		snidg 3633	. . . 4 ⊢ (⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩ ∈ V → ⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩})
12		elun2 3315	. . . 4 ⊢ (⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩} → ⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩}))
13	10, 11, 12	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩}))
14	13, 2	eleqtrrdi 2281	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩ ∈ 𝑅)
15	1, 7, 6, 14	opelstrsl 12588	1 ⊢ (𝜑 → ∗ = (*𝑟‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  Vcvv 2749   ∪ cun 3139  {csn 3604  {ctp 3606  ⟨cop 3607  ‘cfv 5228  1c1 7826  ℕcn 8933  4c4 8986  ndxcnx 12473  Slot cslot 12475  Basecbs 12476  +_gcplusg 12551  ._rcmulr 12552  *_𝑟cstv 12553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-tp 3612  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-fz 10023  df-struct 12478  df-ndx 12479  df-slot 12480  df-base 12482  df-plusg 12564  df-mulr 12565  df-starv 12566

This theorem is referenced by: (None)