Theorem ssomct 13394

Description: A decidable subset of om is countable. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ssomct	|- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Distinct variable group:   A, f, x

Proof of Theorem ssomct

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4742	. . . . 5 |- om e. _V
2	1	ssex 4272	. . . 4 |- ( A C_ om -> A e. _V )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> A e. _V )
4		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> A C_ om )
5		resiexg 5111	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> ( _I |` A ) e. _V )
6	2, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( A C_ om -> ( _I |` A ) e. _V )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> ( _I |` A ) e. _V )
8		f1oi 5682	. . . . . 6 |- ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A
9		f1ofo 5649	. . . . . 6 |- ( ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A -> ( _I |` A ) : A -onto-> A )
10	8, 9	mp1i 10	. . . . 5 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> ( _I |` A ) : A -onto-> A )
11		foeq1 5614	. . . . 5 |- ( f = ( _I |` A ) -> ( f : A -onto-> A <-> ( _I |` A ) : A -onto-> A ) )
12	7, 10, 11	elabd 2971	. . . 4 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> E. f f : A -onto-> A )
13		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> A. x e. om DECID x e. A )
14	4, 12, 13	3jca 1208	. . 3 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> ( A C_ om /\ E. f f : A -onto-> A /\ A. x e. om DECID x e. A ) )
15		sseq1 3271	. . . 4 |- ( y = A -> ( y C_ om <-> A C_ om ) )
16		foeq2 5615	. . . . 5 |- ( y = A -> ( f : y -onto-> A <-> f : A -onto-> A ) )
17	16	exbidv 1878	. . . 4 |- ( y = A -> ( E. f f : y -onto-> A <-> E. f f : A -onto-> A ) )
18		eleq2 2302	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( x e. y <-> x e. A ) )
19	18	dcbid 850	. . . . 5 |- ( y = A -> (DECID x e. y <-> DECID x e. A ) )
20	19	ralbidv 2550	. . . 4 |- ( y = A -> ( A. x e. om DECID x e. y <-> A. x e. om DECID x e. A ) )
21	15, 17, 20	3anbi123d 1353	. . 3 |- ( y = A -> ( ( y C_ om /\ E. f f : y -onto-> A /\ A. x e. om DECID x e. y ) <-> ( A C_ om /\ E. f f : A -onto-> A /\ A. x e. om DECID x e. A ) ) )
22	3, 14, 21	elabd 2971	. 2 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> E. y ( y C_ om /\ E. f f : y -onto-> A /\ A. x e. om DECID x e. y ) )
23		ctssdc 7459	. 2 |- ( E. y ( y C_ om /\ E. f f : y -onto-> A /\ A. x e. om DECID x e. y ) <-> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
24	22, 23	sylib 122	1 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   _I cid 4435   omcom 4739   |` cres 4778   -onto->wfo 5378   -1-1-onto->wf1o 5379   1oc1o 6684   ⊔ cdju 7383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-1o 6691  df-dju 7384  df-inl 7393  df-inr 7394  df-case 7430

This theorem is used by:  ssnnctlemct  13395