Theorem ssomct 12270

Description: A decidable subset of om is countable. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ssomct	|- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Distinct variable group:   A, f, x

Proof of Theorem ssomct

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4555	. . . . 5 |- om e. _V
2	1	ssex 4104	. . . 4 |- ( A C_ om -> A e. _V )
3	2	adantr 274	. . 3 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> A e. _V )
4		simpl 108	. . . 4 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> A C_ om )
5		resiexg 4914	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> ( _I |` A ) e. _V )
6	2, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( A C_ om -> ( _I |` A ) e. _V )
7	6	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> ( _I |` A ) e. _V )
8		f1oi 5455	. . . . . 6 |- ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A
9		f1ofo 5424	. . . . . 6 |- ( ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A -> ( _I |` A ) : A -onto-> A )
10	8, 9	mp1i 10	. . . . 5 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> ( _I |` A ) : A -onto-> A )
11		foeq1 5391	. . . . 5 |- ( f = ( _I |` A ) -> ( f : A -onto-> A <-> ( _I |` A ) : A -onto-> A ) )
12	7, 10, 11	elabd 2857	. . . 4 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> E. f f : A -onto-> A )
13		simpr 109	. . . 4 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> A. x e. om DECID x e. A )
14	4, 12, 13	3jca 1162	. . 3 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> ( A C_ om /\ E. f f : A -onto-> A /\ A. x e. om DECID x e. A ) )
15		sseq1 3151	. . . 4 |- ( y = A -> ( y C_ om <-> A C_ om ) )
16		foeq2 5392	. . . . 5 |- ( y = A -> ( f : y -onto-> A <-> f : A -onto-> A ) )
17	16	exbidv 1805	. . . 4 |- ( y = A -> ( E. f f : y -onto-> A <-> E. f f : A -onto-> A ) )
18		eleq2 2221	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( x e. y <-> x e. A ) )
19	18	dcbid 824	. . . . 5 |- ( y = A -> (DECID x e. y <-> DECID x e. A ) )
20	19	ralbidv 2457	. . . 4 |- ( y = A -> ( A. x e. om DECID x e. y <-> A. x e. om DECID x e. A ) )
21	15, 17, 20	3anbi123d 1294	. . 3 |- ( y = A -> ( ( y C_ om /\ E. f f : y -onto-> A /\ A. x e. om DECID x e. y ) <-> ( A C_ om /\ E. f f : A -onto-> A /\ A. x e. om DECID x e. A ) ) )
22	3, 14, 21	elabd 2857	. 2 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> E. y ( y C_ om /\ E. f f : y -onto-> A /\ A. x e. om DECID x e. y ) )
23		ctssdc 7060	. 2 |- ( E. y ( y C_ om /\ E. f f : y -onto-> A /\ A. x e. om DECID x e. y ) <-> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
24	22, 23	sylib 121	1 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 820   /\ w3a 963   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   A.wral 2435   _Vcvv 2712   C_ wss 3102   _I cid 4251   omcom 4552   |` cres 4591   -onto->wfo 5171   -1-1-onto->wf1o 5172   1oc1o 6359   ⊔ cdju 6984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4082  ax-sep 4085  ax-nul 4093  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-iinf 4550

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-tr 4066  df-id 4256  df-iord 4329  df-on 4331  df-suc 4334  df-iom 4553  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-f1 5178  df-fo 5179  df-f1o 5180  df-fv 5181  df-1st 6091  df-2nd 6092  df-1o 6366  df-dju 6985  df-inl 6994  df-inr 6995  df-case 7031

This theorem is referenced by:  ssnnctlemct  12271