Theorem ssomct 12446

Description: A decidable subset of om is countable. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ssomct	|- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Distinct variable group:   A, f, x

Proof of Theorem ssomct

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4593	. . . . 5 |- om e. _V
2	1	ssex 4141	. . . 4 |- ( A C_ om -> A e. _V )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> A e. _V )
4		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> A C_ om )
5		resiexg 4953	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> ( _I |` A ) e. _V )
6	2, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( A C_ om -> ( _I |` A ) e. _V )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> ( _I |` A ) e. _V )
8		f1oi 5500	. . . . . 6 |- ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A
9		f1ofo 5469	. . . . . 6 |- ( ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A -> ( _I |` A ) : A -onto-> A )
10	8, 9	mp1i 10	. . . . 5 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> ( _I |` A ) : A -onto-> A )
11		foeq1 5435	. . . . 5 |- ( f = ( _I |` A ) -> ( f : A -onto-> A <-> ( _I |` A ) : A -onto-> A ) )
12	7, 10, 11	elabd 2883	. . . 4 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> E. f f : A -onto-> A )
13		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> A. x e. om DECID x e. A )
14	4, 12, 13	3jca 1177	. . 3 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> ( A C_ om /\ E. f f : A -onto-> A /\ A. x e. om DECID x e. A ) )
15		sseq1 3179	. . . 4 |- ( y = A -> ( y C_ om <-> A C_ om ) )
16		foeq2 5436	. . . . 5 |- ( y = A -> ( f : y -onto-> A <-> f : A -onto-> A ) )
17	16	exbidv 1825	. . . 4 |- ( y = A -> ( E. f f : y -onto-> A <-> E. f f : A -onto-> A ) )
18		eleq2 2241	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( x e. y <-> x e. A ) )
19	18	dcbid 838	. . . . 5 |- ( y = A -> (DECID x e. y <-> DECID x e. A ) )
20	19	ralbidv 2477	. . . 4 |- ( y = A -> ( A. x e. om DECID x e. y <-> A. x e. om DECID x e. A ) )
21	15, 17, 20	3anbi123d 1312	. . 3 |- ( y = A -> ( ( y C_ om /\ E. f f : y -onto-> A /\ A. x e. om DECID x e. y ) <-> ( A C_ om /\ E. f f : A -onto-> A /\ A. x e. om DECID x e. A ) ) )
22	3, 14, 21	elabd 2883	. 2 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> E. y ( y C_ om /\ E. f f : y -onto-> A /\ A. x e. om DECID x e. y ) )
23		ctssdc 7112	. 2 |- ( E. y ( y C_ om /\ E. f f : y -onto-> A /\ A. x e. om DECID x e. y ) <-> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
24	22, 23	sylib 122	1 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 834   /\ w3a 978   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2738   C_ wss 3130   _I cid 4289   omcom 4590   |` cres 4629   -onto->wfo 5215   -1-1-onto->wf1o 5216   1oc1o 6410   ⊔ cdju 7036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-1o 6417  df-dju 7037  df-inl 7046  df-inr 7047  df-case 7083

This theorem is referenced by:  ssnnctlemct  12447