Theorem ssomct 12464

Description: A decidable subset of om is countable. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ssomct	|- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Distinct variable group:   A, f, x

Proof of Theorem ssomct

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4607	. . . . 5 |- om e. _V
2	1	ssex 4155	. . . 4 |- ( A C_ om -> A e. _V )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> A e. _V )
4		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> A C_ om )
5		resiexg 4967	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> ( _I |` A ) e. _V )
6	2, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( A C_ om -> ( _I |` A ) e. _V )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> ( _I |` A ) e. _V )
8		f1oi 5514	. . . . . 6 |- ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A
9		f1ofo 5483	. . . . . 6 |- ( ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A -> ( _I |` A ) : A -onto-> A )
10	8, 9	mp1i 10	. . . . 5 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> ( _I |` A ) : A -onto-> A )
11		foeq1 5449	. . . . 5 |- ( f = ( _I |` A ) -> ( f : A -onto-> A <-> ( _I |` A ) : A -onto-> A ) )
12	7, 10, 11	elabd 2897	. . . 4 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> E. f f : A -onto-> A )
13		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> A. x e. om DECID x e. A )
14	4, 12, 13	3jca 1179	. . 3 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> ( A C_ om /\ E. f f : A -onto-> A /\ A. x e. om DECID x e. A ) )
15		sseq1 3193	. . . 4 |- ( y = A -> ( y C_ om <-> A C_ om ) )
16		foeq2 5450	. . . . 5 |- ( y = A -> ( f : y -onto-> A <-> f : A -onto-> A ) )
17	16	exbidv 1836	. . . 4 |- ( y = A -> ( E. f f : y -onto-> A <-> E. f f : A -onto-> A ) )
18		eleq2 2253	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( x e. y <-> x e. A ) )
19	18	dcbid 839	. . . . 5 |- ( y = A -> (DECID x e. y <-> DECID x e. A ) )
20	19	ralbidv 2490	. . . 4 |- ( y = A -> ( A. x e. om DECID x e. y <-> A. x e. om DECID x e. A ) )
21	15, 17, 20	3anbi123d 1323	. . 3 |- ( y = A -> ( ( y C_ om /\ E. f f : y -onto-> A /\ A. x e. om DECID x e. y ) <-> ( A C_ om /\ E. f f : A -onto-> A /\ A. x e. om DECID x e. A ) ) )
22	3, 14, 21	elabd 2897	. 2 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> E. y ( y C_ om /\ E. f f : y -onto-> A /\ A. x e. om DECID x e. y ) )
23		ctssdc 7130	. 2 |- ( E. y ( y C_ om /\ E. f f : y -onto-> A /\ A. x e. om DECID x e. y ) <-> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
24	22, 23	sylib 122	1 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om DECID x e. A ) -> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2160   A.wral 2468   _Vcvv 2752   C_ wss 3144   _I cid 4303   omcom 4604   |` cres 4643   -onto->wfo 5229   -1-1-onto->wf1o 5230   1oc1o 6428   ⊔ cdju 7054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-iinf 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-1o 6435  df-dju 7055  df-inl 7064  df-inr 7065  df-case 7101

This theorem is referenced by:  ssnnctlemct  12465