Theorem ssomct 13196

Description: A decidable subset of ω is countable. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ssomct	⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))

Distinct variable group:   𝐴,𝑓,𝑥

Proof of Theorem ssomct

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4715	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
2	1	ssex 4247	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ω → 𝐴 ∈ V)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
4		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ω)
5		resiexg 5083	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
6	2, 5	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ω → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
8		f1oi 5654	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
9		f1ofo 5621	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴)
10	8, 9	mp1i 10	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴)
11		foeq1 5586	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = ( I ↾ 𝐴) → (𝑓:𝐴–onto→𝐴 ↔ ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴))
12	7, 10, 11	elabd 2962	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐴)
13		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
14	4, 12, 13	3jca 1204	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴))
15		sseq1 3261	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ⊆ ω ↔ 𝐴 ⊆ ω))
16		foeq2 5587	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑓:𝑦–onto→𝐴 ↔ 𝑓:𝐴–onto→𝐴))
17	16	exbidv 1874	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑓 𝑓:𝑦–onto→𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐴))
18		eleq2 2296	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
19	18	dcbid 846	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (DECID 𝑥 ∈ 𝑦 ↔ DECID 𝑥 ∈ 𝐴))
20	19	ralbidv 2542	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴))
21	15, 17, 20	3anbi123d 1349	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦–onto→𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ (𝐴 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴)))
22	3, 14, 21	elabd 2962	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦(𝑦 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦–onto→𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝑦))
23		ctssdc 7404	. 2 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦–onto→𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
24	22, 23	sylib 122	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 842   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  Vcvv 2813   ⊆ wss 3211   I cid 4409  ωcom 4712   ↾ cres 4751  –onto→wfo 5350  –1-1-onto→wf1o 5351  1_oc1o 6640   ⊔ cdju 7328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-1o 6647  df-dju 7329  df-inl 7338  df-inr 7339  df-case 7375

This theorem is referenced by:  ssnnctlemct  13197