Theorem ssomct 12374

Description: A decidable subset of ω is countable. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ssomct	⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))

Distinct variable group:   𝐴,𝑓,𝑥

Proof of Theorem ssomct

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4569	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
2	1	ssex 4118	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ω → 𝐴 ∈ V)
3	2	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
4		simpl 108	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ω)
5		resiexg 4928	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
6	2, 5	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ω → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
7	6	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
8		f1oi 5469	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
9		f1ofo 5438	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴)
10	8, 9	mp1i 10	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴)
11		foeq1 5405	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = ( I ↾ 𝐴) → (𝑓:𝐴–onto→𝐴 ↔ ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴))
12	7, 10, 11	elabd 2870	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐴)
13		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
14	4, 12, 13	3jca 1167	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴))
15		sseq1 3164	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ⊆ ω ↔ 𝐴 ⊆ ω))
16		foeq2 5406	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑓:𝑦–onto→𝐴 ↔ 𝑓:𝐴–onto→𝐴))
17	16	exbidv 1813	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑓 𝑓:𝑦–onto→𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐴))
18		eleq2 2229	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
19	18	dcbid 828	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (DECID 𝑥 ∈ 𝑦 ↔ DECID 𝑥 ∈ 𝐴))
20	19	ralbidv 2465	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴))
21	15, 17, 20	3anbi123d 1302	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦–onto→𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ (𝐴 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴)))
22	3, 14, 21	elabd 2870	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦(𝑦 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦–onto→𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝑦))
23		ctssdc 7074	. 2 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦–onto→𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
24	22, 23	sylib 121	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  DECID wdc 824   ∧ w3a 968   = wceq 1343  ∃wex 1480   ∈ wcel 2136  ∀wral 2443  Vcvv 2725   ⊆ wss 3115   I cid 4265  ωcom 4566   ↾ cres 4605  –onto→wfo 5185  –1-1-onto→wf1o 5186  1_oc1o 6373   ⊔ cdju 6998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-iinf 4564

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-iord 4343  df-on 4345  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-1o 6380  df-dju 6999  df-inl 7008  df-inr 7009  df-case 7045

This theorem is referenced by:  ssnnctlemct  12375