Theorem ssomct 13280

Description: A decidable subset of ω is countable. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ssomct	⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))

Distinct variable group:   𝐴,𝑓,𝑥

Proof of Theorem ssomct

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4720	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
2	1	ssex 4252	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ω → 𝐴 ∈ V)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
4		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ω)
5		resiexg 5088	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
6	2, 5	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ω → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
8		f1oi 5659	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
9		f1ofo 5626	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴)
10	8, 9	mp1i 10	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴)
11		foeq1 5591	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = ( I ↾ 𝐴) → (𝑓:𝐴–onto→𝐴 ↔ ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴))
12	7, 10, 11	elabd 2965	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐴)
13		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
14	4, 12, 13	3jca 1204	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴))
15		sseq1 3265	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ⊆ ω ↔ 𝐴 ⊆ ω))
16		foeq2 5592	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑓:𝑦–onto→𝐴 ↔ 𝑓:𝐴–onto→𝐴))
17	16	exbidv 1874	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑓 𝑓:𝑦–onto→𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐴))
18		eleq2 2298	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
19	18	dcbid 846	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (DECID 𝑥 ∈ 𝑦 ↔ DECID 𝑥 ∈ 𝐴))
20	19	ralbidv 2544	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴))
21	15, 17, 20	3anbi123d 1349	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦–onto→𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ (𝐴 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴)))
22	3, 14, 21	elabd 2965	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦(𝑦 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦–onto→𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝑦))
23		ctssdc 7417	. 2 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦–onto→𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
24	22, 23	sylib 122	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 842   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  Vcvv 2815   ⊆ wss 3214   I cid 4414  ωcom 4717   ↾ cres 4756  –onto→wfo 5355  –1-1-onto→wf1o 5356  1_oc1o 6653   ⊔ cdju 7341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-dju 7342  df-inl 7351  df-inr 7352  df-case 7388

This theorem is referenced by:  ssnnctlemct  13281