Theorem ssomct 12602

Description: A decidable subset of ω is countable. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ssomct	⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))

Distinct variable group:   𝐴,𝑓,𝑥

Proof of Theorem ssomct

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4625	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
2	1	ssex 4166	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ω → 𝐴 ∈ V)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
4		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ω)
5		resiexg 4987	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
6	2, 5	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ω → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
8		f1oi 5538	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
9		f1ofo 5507	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴)
10	8, 9	mp1i 10	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴)
11		foeq1 5472	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = ( I ↾ 𝐴) → (𝑓:𝐴–onto→𝐴 ↔ ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴))
12	7, 10, 11	elabd 2905	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐴)
13		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
14	4, 12, 13	3jca 1179	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴))
15		sseq1 3202	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ⊆ ω ↔ 𝐴 ⊆ ω))
16		foeq2 5473	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑓:𝑦–onto→𝐴 ↔ 𝑓:𝐴–onto→𝐴))
17	16	exbidv 1836	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑓 𝑓:𝑦–onto→𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐴))
18		eleq2 2257	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
19	18	dcbid 839	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (DECID 𝑥 ∈ 𝑦 ↔ DECID 𝑥 ∈ 𝐴))
20	19	ralbidv 2494	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴))
21	15, 17, 20	3anbi123d 1323	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦–onto→𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ (𝐴 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴)))
22	3, 14, 21	elabd 2905	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦(𝑦 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦–onto→𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝑦))
23		ctssdc 7172	. 2 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦–onto→𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
24	22, 23	sylib 122	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 835   ∧ w3a 980   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  Vcvv 2760   ⊆ wss 3153   I cid 4319  ωcom 4622   ↾ cres 4661  –onto→wfo 5252  –1-1-onto→wf1o 5253  1_oc1o 6462   ⊔ cdju 7096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-1o 6469  df-dju 7097  df-inl 7106  df-inr 7107  df-case 7143

This theorem is referenced by:  ssnnctlemct  12603