Theorem ssomct 13065

Description: A decidable subset of ω is countable. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ssomct	⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))

Distinct variable group:   𝐴,𝑓,𝑥

Proof of Theorem ssomct

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4691	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
2	1	ssex 4226	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ω → 𝐴 ∈ V)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
4		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ω)
5		resiexg 5058	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
6	2, 5	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ω → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
8		f1oi 5623	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
9		f1ofo 5590	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴)
10	8, 9	mp1i 10	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴)
11		foeq1 5555	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = ( I ↾ 𝐴) → (𝑓:𝐴–onto→𝐴 ↔ ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴))
12	7, 10, 11	elabd 2951	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐴)
13		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
14	4, 12, 13	3jca 1203	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴))
15		sseq1 3250	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ⊆ ω ↔ 𝐴 ⊆ ω))
16		foeq2 5556	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑓:𝑦–onto→𝐴 ↔ 𝑓:𝐴–onto→𝐴))
17	16	exbidv 1873	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑓 𝑓:𝑦–onto→𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐴))
18		eleq2 2295	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
19	18	dcbid 845	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (DECID 𝑥 ∈ 𝑦 ↔ DECID 𝑥 ∈ 𝐴))
20	19	ralbidv 2532	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴))
21	15, 17, 20	3anbi123d 1348	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦–onto→𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ (𝐴 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴)))
22	3, 14, 21	elabd 2951	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦(𝑦 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦–onto→𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝑦))
23		ctssdc 7311	. 2 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦–onto→𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
24	22, 23	sylib 122	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 841   ∧ w3a 1004   = wceq 1397  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  Vcvv 2802   ⊆ wss 3200   I cid 4385  ωcom 4688   ↾ cres 4727  –onto→wfo 5324  –1-1-onto→wf1o 5325  1_oc1o 6574   ⊔ cdju 7235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-1o 6581  df-dju 7236  df-inl 7245  df-inr 7246  df-case 7282

This theorem is referenced by:  ssnnctlemct  13066