Theorem structfn 12279

Description: Convert between two kinds of structure closure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
structfn.1	⊢ 𝐹 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩

Assertion

Ref	Expression
structfn	⊢ (Fun ◡◡𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ (1...𝑁))

Proof of Theorem structfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structfn.1	. . 3 ⊢ 𝐹 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩
2	1	structfun 12278	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝐹
3		isstructim 12274	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝑀...𝑁)))
4	1, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝑀...𝑁))
5	4	simp3i 993	. . 3 ⊢ dom 𝐹 ⊆ (𝑀...𝑁)
6	4	simp1i 991	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)
7	6	simp1i 991	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
8		elnnuz 9480	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
9	7, 8	mpbi 144	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1)
10		fzss1 9971	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑀...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
11	9, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (1...𝑁)
12	5, 11	sstri 3137	. 2 ⊢ dom 𝐹 ⊆ (1...𝑁)
13	2, 12	pm3.2i 270	1 ⊢ (Fun ◡◡𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ (1...𝑁))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ∧ w3a 963   ∈ wcel 2128   ∖ cdif 3099   ⊆ wss 3102  ∅c0 3395  {csn 3561  ⟨cop 3564   class class class wbr 3967  ^◡ccnv 4587  dom cdm 4588  Fun wfun 5166  ‘cfv 5172  (class class class)co 5826  1c1 7735   ≤ cle 7915  ℕcn 8838  ℤ_≥cuz 9444  ...cfz 9918   Struct cstr 12256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-addcom 7834  ax-addass 7836  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-ltadd 7850

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-id 4255  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-inn 8839  df-z 9173  df-uz 9445  df-fz 9919  df-struct 12262

This theorem is referenced by: (None)