ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  structfn GIF version

Theorem structfn 12494
Description: Convert between two kinds of structure closure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
structfn.1 𝐹 Struct ⟨𝑀, 𝑁
Assertion
Ref Expression
structfn (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ (1...𝑁))

Proof of Theorem structfn
StepHypRef Expression
1 structfn.1 . . 3 𝐹 Struct ⟨𝑀, 𝑁
21structfun 12493 . 2 Fun 𝐹
3 isstructim 12489 . . . . 5 (𝐹 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝑀...𝑁)))
41, 3ax-mp 5 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝑀...𝑁))
54simp3i 1009 . . 3 dom 𝐹 ⊆ (𝑀...𝑁)
64simp1i 1007 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁)
76simp1i 1007 . . . . 5 𝑀 ∈ ℕ
8 elnnuz 9577 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
97, 8mpbi 145 . . . 4 𝑀 ∈ (ℤ‘1)
10 fzss1 10076 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ‘1) → (𝑀...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
119, 10ax-mp 5 . . 3 (𝑀...𝑁) ⊆ (1...𝑁)
125, 11sstri 3176 . 2 dom 𝐹 ⊆ (1...𝑁)
132, 12pm3.2i 272 1 (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ (1...𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  w3a 979  wcel 2158  cdif 3138  wss 3141  c0 3434  {csn 3604  cop 3607   class class class wbr 4015  ccnv 4637  dom cdm 4638  Fun wfun 5222  cfv 5228  (class class class)co 5888  1c1 7825  cle 8006  cn 8932  cuz 9541  ...cfz 10021   Struct cstr 12471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-z 9267  df-uz 9542  df-fz 10022  df-struct 12477
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator