ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  structfn GIF version

Theorem structfn 12611
Description: Convert between two kinds of structure closure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
structfn.1 𝐹 Struct ⟨𝑀, 𝑁
Assertion
Ref Expression
structfn (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ (1...𝑁))

Proof of Theorem structfn
StepHypRef Expression
1 structfn.1 . . 3 𝐹 Struct ⟨𝑀, 𝑁
21structfun 12610 . 2 Fun 𝐹
3 isstructim 12606 . . . . 5 (𝐹 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝑀...𝑁)))
41, 3ax-mp 5 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝑀...𝑁))
54simp3i 1010 . . 3 dom 𝐹 ⊆ (𝑀...𝑁)
64simp1i 1008 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁)
76simp1i 1008 . . . . 5 𝑀 ∈ ℕ
8 elnnuz 9615 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
97, 8mpbi 145 . . . 4 𝑀 ∈ (ℤ‘1)
10 fzss1 10115 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ‘1) → (𝑀...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
119, 10ax-mp 5 . . 3 (𝑀...𝑁) ⊆ (1...𝑁)
125, 11sstri 3184 . 2 dom 𝐹 ⊆ (1...𝑁)
132, 12pm3.2i 272 1 (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ (1...𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  w3a 980  wcel 2160  cdif 3146  wss 3149  c0 3442  {csn 3614  cop 3617   class class class wbr 4025  ccnv 4650  dom cdm 4651  Fun wfun 5236  cfv 5242  (class class class)co 5906  1c1 7859  cle 8041  cn 8968  cuz 9578  ...cfz 10060   Struct cstr 12588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4143  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-cnex 7949  ax-resscn 7950  ax-1cn 7951  ax-1re 7952  ax-icn 7953  ax-addcl 7954  ax-addrcl 7955  ax-mulcl 7956  ax-addcom 7958  ax-addass 7960  ax-distr 7962  ax-i2m1 7963  ax-0lt1 7964  ax-0id 7966  ax-rnegex 7967  ax-cnre 7969  ax-pre-ltirr 7970  ax-pre-ltwlin 7971  ax-pre-lttrn 7972  ax-pre-ltadd 7974
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-dif 3151  df-un 3153  df-in 3155  df-ss 3162  df-nul 3443  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-id 4318  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-fv 5250  df-riota 5861  df-ov 5909  df-oprab 5910  df-mpo 5911  df-pnf 8042  df-mnf 8043  df-xr 8044  df-ltxr 8045  df-le 8046  df-sub 8178  df-neg 8179  df-inn 8969  df-z 9304  df-uz 9579  df-fz 10061  df-struct 12594
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator