Theorem subaddrii 8315

Description: Relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidi.1	|- A e. CC
pncan3i.2	|- B e. CC
subadd.3	|- C e. CC
subaddri.4	|- ( B + C ) = A

Assertion

Ref	Expression
subaddrii	|- ( A - B ) = C

Proof of Theorem subaddrii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subaddri.4	. 2 |- ( B + C ) = A
2		negidi.1	. . 3 |- A e. CC
3		pncan3i.2	. . 3 |- B e. CC
4		subadd.3	. . 3 |- C e. CC
5	2, 3, 4	subaddi 8313	. 2 |- ( ( A - B ) = C <-> ( B + C ) = A )
6	1, 5	mpbir 146	1 |- ( A - B ) = C

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2167  (class class class)co 5922   CCcc 7877   + caddc 7882   - cmin 8197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-setind 4573  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-sub 8199

This theorem is referenced by:  2m1e1  9108  3m1e2  9110  halfthird  9599  5recm6rec  9600  fzo0to42pr  10296  4bc3eq4  10865  4bc2eq6  10866  cos1bnd  11924  cos2bnd  11925  pythagtriplem1  12434  cosq14gt0  15068  sincos6thpi  15078  lgsdir2lem1  15269