Theorem subaddrii 8615

Description: Relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidi.1	|- A e. CC
pncan3i.2	|- B e. CC
subadd.3	|- C e. CC
subaddri.4	|- ( B + C ) = A

Assertion

Ref	Expression
subaddrii	|- ( A - B ) = C

Proof of Theorem subaddrii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subaddri.4	. 2 |- ( B + C ) = A
2		negidi.1	. . 3 |- A e. CC
3		pncan3i.2	. . 3 |- B e. CC
4		subadd.3	. . 3 |- C e. CC
5	2, 3, 4	subaddi 8613	. 2 |- ( ( A - B ) = C <-> ( B + C ) = A )
6	1, 5	mpbir 146	1 |- ( A - B ) = C

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   CCcc 8177   + caddc 8182   - cmin 8497

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8499

This theorem is used by:  2m1e1  9422  3m1e2  9424  halfthird  9919  5recm6rec  9920  fzo0to42pr  10638  4bc3eq4  11212  4bc2eq6  11213  cos1bnd  12526  cos2bnd  12527  pythagtriplem1  13044  cosq14gt0  15933  sincos6thpi  15943  lgsdir2lem1  16147