Theorem subaddrii 8467

Description: Relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidi.1	|- A e. CC
pncan3i.2	|- B e. CC
subadd.3	|- C e. CC
subaddri.4	|- ( B + C ) = A

Assertion

Ref	Expression
subaddrii	|- ( A - B ) = C

Proof of Theorem subaddrii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subaddri.4	. 2 |- ( B + C ) = A
2		negidi.1	. . 3 |- A e. CC
3		pncan3i.2	. . 3 |- B e. CC
4		subadd.3	. . 3 |- C e. CC
5	2, 3, 4	subaddi 8465	. 2 |- ( ( A - B ) = C <-> ( B + C ) = A )
6	1, 5	mpbir 146	1 |- ( A - B ) = C

Syntax hints:   = wceq 1397   e. wcel 2202  (class class class)co 6017   CCcc 8029   + caddc 8034   - cmin 8349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-sub 8351

This theorem is referenced by:  2m1e1  9260  3m1e2  9262  halfthird  9752  5recm6rec  9753  fzo0to42pr  10464  4bc3eq4  11034  4bc2eq6  11035  cos1bnd  12319  cos2bnd  12320  pythagtriplem1  12837  cosq14gt0  15555  sincos6thpi  15565  lgsdir2lem1  15756