Theorem subaddrii 8562

Description: Relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidi.1	|- A e. CC
pncan3i.2	|- B e. CC
subadd.3	|- C e. CC
subaddri.4	|- ( B + C ) = A

Assertion

Ref	Expression
subaddrii	|- ( A - B ) = C

Proof of Theorem subaddrii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subaddri.4	. 2 |- ( B + C ) = A
2		negidi.1	. . 3 |- A e. CC
3		pncan3i.2	. . 3 |- B e. CC
4		subadd.3	. . 3 |- C e. CC
5	2, 3, 4	subaddi 8560	. 2 |- ( ( A - B ) = C <-> ( B + C ) = A )
6	1, 5	mpbir 146	1 |- ( A - B ) = C

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2203  (class class class)co 6050   CCcc 8125   + caddc 8130   - cmin 8444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-setind 4659  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-sub 8446

This theorem is referenced by:  2m1e1  9355  3m1e2  9357  halfthird  9851  5recm6rec  9852  fzo0to42pr  10565  4bc3eq4  11136  4bc2eq6  11137  cos1bnd  12445  cos2bnd  12446  pythagtriplem1  12963  cosq14gt0  15697  sincos6thpi  15707  lgsdir2lem1  15901