ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cosq14gt0 Unicode version
Theorem cosq14gt0 15115
Description: The cosine of a number strictly between -u pi / 2 and pi / 2 is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
cosq14gt0 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( cos ` A ) )
Proof of Theorem cosq14gt0
StepHypRef Expression
1 halfpire 15075 . . . . 5 |- ( pi / 2 ) e. RR
2 elioore 9992 . . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> A e. RR )
3 resubcl 8295 . . . . 5 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR )
41, 2, 3sylancr 414 . . . 4 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR )
5 neghalfpirx 15077 . . . . . . 7 |- -u ( pi / 2 ) e. RR*
61rexri 8089 . . . . . . 7 |- ( pi / 2 ) e. RR*
7 elioo2 10001 . . . . . . 7 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR* /\ ( pi / 2 ) e. RR* ) -> ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( A e. RR /\ -u ( pi / 2 ) < A /\ A < ( pi / 2 ) ) ) )
85, 6, 7mp2an 426 . . . . . 6 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( A e. RR /\ -u ( pi / 2 ) < A /\ A < ( pi / 2 ) ) )
98simp3bi 1016 . . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> A < ( pi / 2 ) )
10 posdif 8487 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( A < ( pi / 2 ) <-> 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
112, 1, 10sylancl 413 . . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A < ( pi / 2 ) <-> 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
129, 11mpbid 147 . . . 4 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) )
13 picn 15070 . . . . . . . 8 |- pi e. CC
14 halfcl 9222 . . . . . . . 8 |- ( pi e. CC -> ( pi / 2 ) e. CC )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7 |- ( pi / 2 ) e. CC
1615negcli 8299 . . . . . . 7 |- -u ( pi / 2 ) e. CC
1713, 15negsubi 8309 . . . . . . . 8 |- ( pi + -u ( pi / 2 ) ) = ( pi - ( pi / 2 ) )
18 pidiv2halves 15078 . . . . . . . . 9 |- ( ( pi / 2 ) + ( pi / 2 ) ) = pi
1913, 15, 15, 18subaddrii 8320 . . . . . . . 8 |- ( pi - ( pi / 2 ) ) = ( pi / 2 )
2017, 19eqtri 2217 . . . . . . 7 |- ( pi + -u ( pi / 2 ) ) = ( pi / 2 )
2115, 13, 16, 20subaddrii 8320 . . . . . 6 |- ( ( pi / 2 ) - pi ) = -u ( pi / 2 )
228simp2bi 1015 . . . . . 6 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> -u ( pi / 2 ) < A )
2321, 22eqbrtrid 4069 . . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - pi ) < A )
24 pire 15069 . . . . . . 7 |- pi e. RR
25 ltsub23 8474 . . . . . . 7 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ A e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) < pi <-> ( ( pi / 2 ) - pi ) < A ) )
261, 24, 25mp3an13 1339 . . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) < pi <-> ( ( pi / 2 ) - pi ) < A ) )
272, 26syl 14 . . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) < pi <-> ( ( pi / 2 ) - pi ) < A ) )
2823, 27mpbird 167 . . . 4 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) < pi )
29 0xr 8078 . . . . 5 |- 0 e. RR*
3024rexri 8089 . . . . 5 |- pi e. RR*
31 elioo2 10001 . . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* ) -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 (,) pi ) <-> ( ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR /\ 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) < pi ) ) )
3229, 30, 31mp2an 426 . . . 4 |- ( ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 (,) pi ) <-> ( ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR /\ 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) < pi ) )
334, 12, 28, 32syl3anbrc 1183 . . 3 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 (,) pi ) )
34 sinq12gt0 15113 . . 3 |- ( ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 (,) pi ) -> 0 < ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
3533, 34syl 14 . 2 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
362recnd 8060 . . 3 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> A e. CC )
37 sinhalfpim 15104 . . 3 |- ( A e. CC -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) = ( cos ` A ) )
3836, 37syl 14 . 2 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) = ( cos ` A ) )
3935, 38breqtrd 4060 1 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( cos ` A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7882   RRcr 7883   0cc0 7884   + caddc 7887   RR*cxr 8065   < clt 8066   - cmin 8202   -ucneg 8203   / cdiv 8704   2c2 9046   (,)cioo 9968   sincsin 11814   cosccos 11815   picpi 11817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7975  ax-resscn 7976  ax-1cn 7977  ax-1re 7978  ax-icn 7979  ax-addcl 7980  ax-addrcl 7981  ax-mulcl 7982  ax-mulrcl 7983  ax-addcom 7984  ax-mulcom 7985  ax-addass 7986  ax-mulass 7987  ax-distr 7988  ax-i2m1 7989  ax-0lt1 7990  ax-1rid 7991  ax-0id 7992  ax-rnegex 7993  ax-precex 7994  ax-cnre 7995  ax-pre-ltirr 7996  ax-pre-ltwlin 7997  ax-pre-lttrn 7998  ax-pre-apti 7999  ax-pre-ltadd 8000  ax-pre-mulgt0 8001  ax-pre-mulext 8002  ax-arch 8003  ax-caucvg 8004  ax-pre-suploc 8005  ax-addf 8006  ax-mulf 8007
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-disj 4012  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-of 6139  df-1st 6202  df-2nd 6203  df-recs 6367  df-irdg 6432  df-frec 6453  df-1o 6478  df-oadd 6482  df-er 6596  df-map 6713  df-pm 6714  df-en 6804  df-dom 6805  df-fin 6806  df-sup 7054  df-inf 7055  df-pnf 8068  df-mnf 8069  df-xr 8070  df-ltxr 8071  df-le 8072  df-sub 8204  df-neg 8205  df-reap 8607  df-ap 8614  df-div 8705  df-inn 8996  df-2 9054  df-3 9055  df-4 9056  df-5 9057  df-6 9058  df-7 9059  df-8 9060  df-9 9061  df-n0 9255  df-z 9332  df-uz 9607  df-q 9699  df-rp 9734  df-xneg 9852  df-xadd 9853  df-ioo 9972  df-ioc 9973  df-ico 9974  df-icc 9975  df-fz 10089  df-fzo 10223  df-seqfrec 10545  df-exp 10636  df-fac 10823  df-bc 10845  df-ihash 10873  df-shft 10985  df-cj 11012  df-re 11013  df-im 11014  df-rsqrt 11168  df-abs 11169  df-clim 11449  df-sumdc 11524  df-ef 11818  df-sin 11820  df-cos 11821  df-pi 11823  df-rest 12931  df-topgen 12950  df-psmet 14146  df-xmet 14147  df-met 14148  df-bl 14149  df-mopn 14150  df-top 14281  df-topon 14294  df-bases 14326  df-ntr 14379  df-cn 14471  df-cnp 14472  df-tx 14536  df-cncf 14854  df-limced 14939  df-dvap 14940
This theorem is referenced by:  coseq0q4123  15117
  Copyright terms: Public domain W3C validator