ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cosq14gt0 Unicode version
Theorem cosq14gt0 13824
Description: The cosine of a number strictly between -u pi / 2 and pi / 2 is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
cosq14gt0 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( cos ` A ) )
Proof of Theorem cosq14gt0
StepHypRef Expression
1 halfpire 13784 . . . . 5 |- ( pi / 2 ) e. RR
2 elioore 9883 . . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> A e. RR )
3 resubcl 8195 . . . . 5 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR )
41, 2, 3sylancr 414 . . . 4 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR )
5 neghalfpirx 13786 . . . . . . 7 |- -u ( pi / 2 ) e. RR*
61rexri 7989 . . . . . . 7 |- ( pi / 2 ) e. RR*
7 elioo2 9892 . . . . . . 7 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR* /\ ( pi / 2 ) e. RR* ) -> ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( A e. RR /\ -u ( pi / 2 ) < A /\ A < ( pi / 2 ) ) ) )
85, 6, 7mp2an 426 . . . . . 6 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( A e. RR /\ -u ( pi / 2 ) < A /\ A < ( pi / 2 ) ) )
98simp3bi 1014 . . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> A < ( pi / 2 ) )
10 posdif 8386 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( A < ( pi / 2 ) <-> 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
112, 1, 10sylancl 413 . . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A < ( pi / 2 ) <-> 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
129, 11mpbid 147 . . . 4 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) )
13 picn 13779 . . . . . . . 8 |- pi e. CC
14 halfcl 9118 . . . . . . . 8 |- ( pi e. CC -> ( pi / 2 ) e. CC )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7 |- ( pi / 2 ) e. CC
1615negcli 8199 . . . . . . 7 |- -u ( pi / 2 ) e. CC
1713, 15negsubi 8209 . . . . . . . 8 |- ( pi + -u ( pi / 2 ) ) = ( pi - ( pi / 2 ) )
18 pidiv2halves 13787 . . . . . . . . 9 |- ( ( pi / 2 ) + ( pi / 2 ) ) = pi
1913, 15, 15, 18subaddrii 8220 . . . . . . . 8 |- ( pi - ( pi / 2 ) ) = ( pi / 2 )
2017, 19eqtri 2196 . . . . . . 7 |- ( pi + -u ( pi / 2 ) ) = ( pi / 2 )
2115, 13, 16, 20subaddrii 8220 . . . . . 6 |- ( ( pi / 2 ) - pi ) = -u ( pi / 2 )
228simp2bi 1013 . . . . . 6 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> -u ( pi / 2 ) < A )
2321, 22eqbrtrid 4033 . . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - pi ) < A )
24 pire 13778 . . . . . . 7 |- pi e. RR
25 ltsub23 8373 . . . . . . 7 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ A e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) < pi <-> ( ( pi / 2 ) - pi ) < A ) )
261, 24, 25mp3an13 1328 . . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) < pi <-> ( ( pi / 2 ) - pi ) < A ) )
272, 26syl 14 . . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) < pi <-> ( ( pi / 2 ) - pi ) < A ) )
2823, 27mpbird 167 . . . 4 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) < pi )
29 0xr 7978 . . . . 5 |- 0 e. RR*
3024rexri 7989 . . . . 5 |- pi e. RR*
31 elioo2 9892 . . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* ) -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 (,) pi ) <-> ( ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR /\ 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) < pi ) ) )
3229, 30, 31mp2an 426 . . . 4 |- ( ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 (,) pi ) <-> ( ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR /\ 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) < pi ) )
334, 12, 28, 32syl3anbrc 1181 . . 3 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 (,) pi ) )
34 sinq12gt0 13822 . . 3 |- ( ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 (,) pi ) -> 0 < ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
3533, 34syl 14 . 2 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
362recnd 7960 . . 3 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> A e. CC )
37 sinhalfpim 13813 . . 3 |- ( A e. CC -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) = ( cos ` A ) )
3836, 37syl 14 . 2 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) = ( cos ` A ) )
3935, 38breqtrd 4024 1 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( cos ` A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2146   class class class wbr 3998   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   CCcc 7784   RRcr 7785   0cc0 7786   + caddc 7789   RR*cxr 7965   < clt 7966   - cmin 8102   -ucneg 8103   / cdiv 8602   2c2 8943   (,)cioo 9859   sincsin 11620   cosccos 11621   picpi 11623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906  ax-pre-suploc 7907  ax-addf 7908  ax-mulf 7909
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-disj 3976  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-of 6073  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-frec 6382  df-1o 6407  df-oadd 6411  df-er 6525  df-map 6640  df-pm 6641  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-5 8954  df-6 8955  df-7 8956  df-8 8957  df-9 8958  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-xneg 9743  df-xadd 9744  df-ioo 9863  df-ioc 9864  df-ico 9865  df-icc 9866  df-fz 9980  df-fzo 10113  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-fac 10674  df-bc 10696  df-ihash 10724  df-shft 10792  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-clim 11255  df-sumdc 11330  df-ef 11624  df-sin 11626  df-cos 11627  df-pi 11629  df-rest 12612  df-topgen 12631  df-psmet 13058  df-xmet 13059  df-met 13060  df-bl 13061  df-mopn 13062  df-top 13067  df-topon 13080  df-bases 13112  df-ntr 13167  df-cn 13259  df-cnp 13260  df-tx 13324  df-cncf 13629  df-limced 13696  df-dvap 13697
This theorem is referenced by:  coseq0q4123  13826
  Copyright terms: Public domain W3C validator