Theorem cosq14gt0 14656

Description: The cosine of a number strictly between -u pi / 2 and pi / 2 is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cosq14gt0	|- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( cos ` A ) )

Proof of Theorem cosq14gt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfpire 14616	. . . . 5 |- ( pi / 2 ) e. RR
2		elioore 9931	. . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> A e. RR )
3		resubcl 8240	. . . . 5 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR )
4	1, 2, 3	sylancr 414	. . . 4 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR )
5		neghalfpirx 14618	. . . . . . 7 |- -u ( pi / 2 ) e. RR*
6	1	rexri 8034	. . . . . . 7 |- ( pi / 2 ) e. RR*
7		elioo2 9940	. . . . . . 7 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR* /\ ( pi / 2 ) e. RR* ) -> ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( A e. RR /\ -u ( pi / 2 ) < A /\ A < ( pi / 2 ) ) ) )
8	5, 6, 7	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( A e. RR /\ -u ( pi / 2 ) < A /\ A < ( pi / 2 ) ) )
9	8	simp3bi 1016	. . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> A < ( pi / 2 ) )
10		posdif 8431	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( A < ( pi / 2 ) <-> 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
11	2, 1, 10	sylancl 413	. . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A < ( pi / 2 ) <-> 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
12	9, 11	mpbid 147	. . . 4 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) )
13		picn 14611	. . . . . . . 8 |- pi e. CC
14		halfcl 9164	. . . . . . . 8 |- ( pi e. CC -> ( pi / 2 ) e. CC )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( pi / 2 ) e. CC
16	15	negcli 8244	. . . . . . 7 |- -u ( pi / 2 ) e. CC
17	13, 15	negsubi 8254	. . . . . . . 8 |- ( pi + -u ( pi / 2 ) ) = ( pi - ( pi / 2 ) )
18		pidiv2halves 14619	. . . . . . . . 9 |- ( ( pi / 2 ) + ( pi / 2 ) ) = pi
19	13, 15, 15, 18	subaddrii 8265	. . . . . . . 8 |- ( pi - ( pi / 2 ) ) = ( pi / 2 )
20	17, 19	eqtri 2210	. . . . . . 7 |- ( pi + -u ( pi / 2 ) ) = ( pi / 2 )
21	15, 13, 16, 20	subaddrii 8265	. . . . . 6 |- ( ( pi / 2 ) - pi ) = -u ( pi / 2 )
22	8	simp2bi 1015	. . . . . 6 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> -u ( pi / 2 ) < A )
23	21, 22	eqbrtrid 4053	. . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - pi ) < A )
24		pire 14610	. . . . . . 7 |- pi e. RR
25		ltsub23 8418	. . . . . . 7 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ A e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) < pi <-> ( ( pi / 2 ) - pi ) < A ) )
26	1, 24, 25	mp3an13 1339	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) < pi <-> ( ( pi / 2 ) - pi ) < A ) )
27	2, 26	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) < pi <-> ( ( pi / 2 ) - pi ) < A ) )
28	23, 27	mpbird 167	. . . 4 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) < pi )
29		0xr 8023	. . . . 5 |- 0 e. RR*
30	24	rexri 8034	. . . . 5 |- pi e. RR*
31		elioo2 9940	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* ) -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 (,) pi ) <-> ( ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR /\ 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) < pi ) ) )
32	29, 30, 31	mp2an 426	. . . 4 |- ( ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 (,) pi ) <-> ( ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR /\ 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) < pi ) )
33	4, 12, 28, 32	syl3anbrc 1183	. . 3 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 (,) pi ) )
34		sinq12gt0 14654	. . 3 |- ( ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 (,) pi ) -> 0 < ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
35	33, 34	syl 14	. 2 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
36	2	recnd 8005	. . 3 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> A e. CC )
37		sinhalfpim 14645	. . 3 |- ( A e. CC -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) = ( cos ` A ) )
38	36, 37	syl 14	. 2 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) = ( cos ` A ) )
39	35, 38	breqtrd 4044	1 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( cos ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   CCcc 7828   RRcr 7829   0cc0 7830   + caddc 7833   RR*cxr 8010   < clt 8011   - cmin 8147   -ucneg 8148   / cdiv 8648   2c2 8989   (,)cioo 9907   sincsin 11671   cosccos 11672   picpi 11674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948  ax-arch 7949  ax-caucvg 7950  ax-pre-suploc 7951  ax-addf 7952  ax-mulf 7953

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-disj 3996  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-of 6101  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-frec 6410  df-1o 6435  df-oadd 6439  df-er 6553  df-map 6668  df-pm 6669  df-en 6759  df-dom 6760  df-fin 6761  df-sup 7002  df-inf 7003  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-4 8999  df-5 9000  df-6 9001  df-7 9002  df-8 9003  df-9 9004  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-q 9639  df-rp 9673  df-xneg 9791  df-xadd 9792  df-ioo 9911  df-ioc 9912  df-ico 9913  df-icc 9914  df-fz 10028  df-fzo 10162  df-seqfrec 10465  df-exp 10539  df-fac 10725  df-bc 10747  df-ihash 10775  df-shft 10843  df-cj 10870  df-re 10871  df-im 10872  df-rsqrt 11026  df-abs 11027  df-clim 11306  df-sumdc 11381  df-ef 11675  df-sin 11677  df-cos 11678  df-pi 11680  df-rest 12718  df-topgen 12737  df-psmet 13823  df-xmet 13824  df-met 13825  df-bl 13826  df-mopn 13827  df-top 13901  df-topon 13914  df-bases 13946  df-ntr 13999  df-cn 14091  df-cnp 14092  df-tx 14156  df-cncf 14461  df-limced 14528  df-dvap 14529

This theorem is referenced by:  coseq0q4123  14658