Theorem cosq14gt0 14493

Description: The cosine of a number strictly between -u pi / 2 and pi / 2 is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cosq14gt0	|- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( cos ` A ) )

Proof of Theorem cosq14gt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfpire 14453	. . . . 5 |- ( pi / 2 ) e. RR
2		elioore 9925	. . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> A e. RR )
3		resubcl 8234	. . . . 5 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR )
4	1, 2, 3	sylancr 414	. . . 4 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR )
5		neghalfpirx 14455	. . . . . . 7 |- -u ( pi / 2 ) e. RR*
6	1	rexri 8028	. . . . . . 7 |- ( pi / 2 ) e. RR*
7		elioo2 9934	. . . . . . 7 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR* /\ ( pi / 2 ) e. RR* ) -> ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( A e. RR /\ -u ( pi / 2 ) < A /\ A < ( pi / 2 ) ) ) )
8	5, 6, 7	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( A e. RR /\ -u ( pi / 2 ) < A /\ A < ( pi / 2 ) ) )
9	8	simp3bi 1015	. . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> A < ( pi / 2 ) )
10		posdif 8425	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( A < ( pi / 2 ) <-> 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
11	2, 1, 10	sylancl 413	. . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A < ( pi / 2 ) <-> 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
12	9, 11	mpbid 147	. . . 4 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) )
13		picn 14448	. . . . . . . 8 |- pi e. CC
14		halfcl 9158	. . . . . . . 8 |- ( pi e. CC -> ( pi / 2 ) e. CC )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( pi / 2 ) e. CC
16	15	negcli 8238	. . . . . . 7 |- -u ( pi / 2 ) e. CC
17	13, 15	negsubi 8248	. . . . . . . 8 |- ( pi + -u ( pi / 2 ) ) = ( pi - ( pi / 2 ) )
18		pidiv2halves 14456	. . . . . . . . 9 |- ( ( pi / 2 ) + ( pi / 2 ) ) = pi
19	13, 15, 15, 18	subaddrii 8259	. . . . . . . 8 |- ( pi - ( pi / 2 ) ) = ( pi / 2 )
20	17, 19	eqtri 2208	. . . . . . 7 |- ( pi + -u ( pi / 2 ) ) = ( pi / 2 )
21	15, 13, 16, 20	subaddrii 8259	. . . . . 6 |- ( ( pi / 2 ) - pi ) = -u ( pi / 2 )
22	8	simp2bi 1014	. . . . . 6 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> -u ( pi / 2 ) < A )
23	21, 22	eqbrtrid 4050	. . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - pi ) < A )
24		pire 14447	. . . . . . 7 |- pi e. RR
25		ltsub23 8412	. . . . . . 7 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ A e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) < pi <-> ( ( pi / 2 ) - pi ) < A ) )
26	1, 24, 25	mp3an13 1338	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) < pi <-> ( ( pi / 2 ) - pi ) < A ) )
27	2, 26	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) < pi <-> ( ( pi / 2 ) - pi ) < A ) )
28	23, 27	mpbird 167	. . . 4 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) < pi )
29		0xr 8017	. . . . 5 |- 0 e. RR*
30	24	rexri 8028	. . . . 5 |- pi e. RR*
31		elioo2 9934	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* ) -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 (,) pi ) <-> ( ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR /\ 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) < pi ) ) )
32	29, 30, 31	mp2an 426	. . . 4 |- ( ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 (,) pi ) <-> ( ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR /\ 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) < pi ) )
33	4, 12, 28, 32	syl3anbrc 1182	. . 3 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 (,) pi ) )
34		sinq12gt0 14491	. . 3 |- ( ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 (,) pi ) -> 0 < ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
35	33, 34	syl 14	. 2 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
36	2	recnd 7999	. . 3 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> A e. CC )
37		sinhalfpim 14482	. . 3 |- ( A e. CC -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) = ( cos ` A ) )
38	36, 37	syl 14	. 2 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) = ( cos ` A ) )
39	35, 38	breqtrd 4041	1 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( cos ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 979   = wceq 1363   e. wcel 2158   class class class wbr 4015   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   CCcc 7822   RRcr 7823   0cc0 7824   + caddc 7827   RR*cxr 8004   < clt 8005   - cmin 8141   -ucneg 8142   / cdiv 8642   2c2 8983   (,)cioo 9901   sincsin 11665   cosccos 11666   picpi 11668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944  ax-pre-suploc 7945  ax-addf 7946  ax-mulf 7947

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-disj 3993  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-of 6096  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-frec 6405  df-1o 6430  df-oadd 6434  df-er 6548  df-map 6663  df-pm 6664  df-en 6754  df-dom 6755  df-fin 6756  df-sup 6996  df-inf 6997  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-7 8996  df-8 8997  df-9 8998  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-xneg 9785  df-xadd 9786  df-ioo 9905  df-ioc 9906  df-ico 9907  df-icc 9908  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-fac 10719  df-bc 10741  df-ihash 10769  df-shft 10837  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-clim 11300  df-sumdc 11375  df-ef 11669  df-sin 11671  df-cos 11672  df-pi 11674  df-rest 12707  df-topgen 12726  df-psmet 13673  df-xmet 13674  df-met 13675  df-bl 13676  df-mopn 13677  df-top 13738  df-topon 13751  df-bases 13783  df-ntr 13836  df-cn 13928  df-cnp 13929  df-tx 13993  df-cncf 14298  df-limced 14365  df-dvap 14366

This theorem is referenced by:  coseq0q4123  14495