Theorem fzo0to42pr 10465

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	|- ( 0..^ 4 ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9419	. . . 4 |- 2 e. NN0
2		4nn0 9421	. . . 4 |- 4 e. NN0
3		2re 9213	. . . . 5 |- 2 e. RR
4		4re 9220	. . . . 5 |- 4 e. RR
5		2lt4 9317	. . . . 5 |- 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 8282	. . . 4 |- 2 <_ 4
7		elfz2nn0 10347	. . . 4 |- ( 2 e. ( 0 ... 4 ) <-> ( 2 e. NN0 /\ 4 e. NN0 /\ 2 <_ 4 ) )
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1205	. . 3 |- 2 e. ( 0 ... 4 )
9		fzosplit 10414	. . 3 |- ( 2 e. ( 0 ... 4 ) -> ( 0..^ 4 ) = ( ( 0..^ 2 ) u. ( 2..^ 4 ) ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 |- ( 0..^ 4 ) = ( ( 0..^ 2 ) u. ( 2..^ 4 ) )
11		fzo0to2pr 10463	. . 3 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }
12		4z 9509	. . . . 5 |- 4 e. ZZ
13		fzoval 10383	. . . . 5 |- ( 4 e. ZZ -> ( 2..^ 4 ) = ( 2 ... ( 4 - 1 ) ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 2..^ 4 ) = ( 2 ... ( 4 - 1 ) )
15		4cn 9221	. . . . . . . 8 |- 4 e. CC
16		ax-1cn 8125	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
17		3cn 9218	. . . . . . . 8 |- 3 e. CC
18		df-4 9204	. . . . . . . . . 10 |- 4 = ( 3 + 1 )
19	17, 16	addcomi 8323	. . . . . . . . . 10 |- ( 3 + 1 ) = ( 1 + 3 )
20	18, 19	eqtri 2252	. . . . . . . . 9 |- 4 = ( 1 + 3 )
21	20	eqcomi 2235	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 3 ) = 4
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 8468	. . . . . . 7 |- ( 4 - 1 ) = 3
23		df-3 9203	. . . . . . 7 |- 3 = ( 2 + 1 )
24	22, 23	eqtri 2252	. . . . . 6 |- ( 4 - 1 ) = ( 2 + 1 )
25	24	oveq2i 6029	. . . . 5 |- ( 2 ... ( 4 - 1 ) ) = ( 2 ... ( 2 + 1 ) )
26		2z 9507	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
27		fzpr 10312	. . . . . 6 |- ( 2 e. ZZ -> ( 2 ... ( 2 + 1 ) ) = { 2 , ( 2 + 1 ) } )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 2 ... ( 2 + 1 ) ) = { 2 , ( 2 + 1 ) }
29	25, 28	eqtri 2252	. . . 4 |- ( 2 ... ( 4 - 1 ) ) = { 2 , ( 2 + 1 ) }
30	23	eqcomi 2235	. . . . 5 |- ( 2 + 1 ) = 3
31	30	preq2i 3752	. . . 4 |- { 2 , ( 2 + 1 ) } = { 2 , 3 }
32	14, 29, 31	3eqtri 2256	. . 3 |- ( 2..^ 4 ) = { 2 , 3 }
33	11, 32	uneq12i 3359	. 2 |- ( ( 0..^ 2 ) u. ( 2..^ 4 ) ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )
34	10, 33	eqtri 2252	1 |- ( 0..^ 4 ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )

Syntax hints:   = wceq 1397   e. wcel 2202   u. cun 3198   {cpr 3670   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018   0cc0 8032   1c1 8033   + caddc 8035   <_ cle 8215   - cmin 8350   2c2 9194   3c3 9195   4c4 9196   NN0cn0 9402   ZZcz 9479   ...cfz 10243  ..^cfzo 10377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378

This theorem is referenced by: (None)