Theorem fzo0to42pr 10351

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	|- ( 0..^ 4 ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9314	. . . 4 |- 2 e. NN0
2		4nn0 9316	. . . 4 |- 4 e. NN0
3		2re 9108	. . . . 5 |- 2 e. RR
4		4re 9115	. . . . 5 |- 4 e. RR
5		2lt4 9212	. . . . 5 |- 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 8177	. . . 4 |- 2 <_ 4
7		elfz2nn0 10236	. . . 4 |- ( 2 e. ( 0 ... 4 ) <-> ( 2 e. NN0 /\ 4 e. NN0 /\ 2 <_ 4 ) )
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1182	. . 3 |- 2 e. ( 0 ... 4 )
9		fzosplit 10303	. . 3 |- ( 2 e. ( 0 ... 4 ) -> ( 0..^ 4 ) = ( ( 0..^ 2 ) u. ( 2..^ 4 ) ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 |- ( 0..^ 4 ) = ( ( 0..^ 2 ) u. ( 2..^ 4 ) )
11		fzo0to2pr 10349	. . 3 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }
12		4z 9404	. . . . 5 |- 4 e. ZZ
13		fzoval 10272	. . . . 5 |- ( 4 e. ZZ -> ( 2..^ 4 ) = ( 2 ... ( 4 - 1 ) ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 2..^ 4 ) = ( 2 ... ( 4 - 1 ) )
15		4cn 9116	. . . . . . . 8 |- 4 e. CC
16		ax-1cn 8020	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
17		3cn 9113	. . . . . . . 8 |- 3 e. CC
18		df-4 9099	. . . . . . . . . 10 |- 4 = ( 3 + 1 )
19	17, 16	addcomi 8218	. . . . . . . . . 10 |- ( 3 + 1 ) = ( 1 + 3 )
20	18, 19	eqtri 2226	. . . . . . . . 9 |- 4 = ( 1 + 3 )
21	20	eqcomi 2209	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 3 ) = 4
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 8363	. . . . . . 7 |- ( 4 - 1 ) = 3
23		df-3 9098	. . . . . . 7 |- 3 = ( 2 + 1 )
24	22, 23	eqtri 2226	. . . . . 6 |- ( 4 - 1 ) = ( 2 + 1 )
25	24	oveq2i 5957	. . . . 5 |- ( 2 ... ( 4 - 1 ) ) = ( 2 ... ( 2 + 1 ) )
26		2z 9402	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
27		fzpr 10201	. . . . . 6 |- ( 2 e. ZZ -> ( 2 ... ( 2 + 1 ) ) = { 2 , ( 2 + 1 ) } )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 2 ... ( 2 + 1 ) ) = { 2 , ( 2 + 1 ) }
29	25, 28	eqtri 2226	. . . 4 |- ( 2 ... ( 4 - 1 ) ) = { 2 , ( 2 + 1 ) }
30	23	eqcomi 2209	. . . . 5 |- ( 2 + 1 ) = 3
31	30	preq2i 3714	. . . 4 |- { 2 , ( 2 + 1 ) } = { 2 , 3 }
32	14, 29, 31	3eqtri 2230	. . 3 |- ( 2..^ 4 ) = { 2 , 3 }
33	11, 32	uneq12i 3325	. 2 |- ( ( 0..^ 2 ) u. ( 2..^ 4 ) ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )
34	10, 33	eqtri 2226	1 |- ( 0..^ 4 ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2176   u. cun 3164   {cpr 3634   class class class wbr 4045  (class class class)co 5946   0cc0 7927   1c1 7928   + caddc 7930   <_ cle 8110   - cmin 8245   2c2 9089   3c3 9090   4c4 9091   NN0cn0 9297   ZZcz 9374   ...cfz 10132  ..^cfzo 10266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-fz 10133  df-fzo 10267

This theorem is referenced by: (None)