ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzo0to42pr Unicode version

Theorem fzo0to42pr 10239
Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
fzo0to42pr  |-  ( 0..^ 4 )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } )

Proof of Theorem fzo0to42pr
StepHypRef Expression
1 2nn0 9212 . . . 4  |-  2  e.  NN0
2 4nn0 9214 . . . 4  |-  4  e.  NN0
3 2re 9008 . . . . 5  |-  2  e.  RR
4 4re 9015 . . . . 5  |-  4  e.  RR
5 2lt4 9111 . . . . 5  |-  2  <  4
63, 4, 5ltleii 8079 . . . 4  |-  2  <_  4
7 elfz2nn0 10131 . . . 4  |-  ( 2  e.  ( 0 ... 4 )  <->  ( 2  e.  NN0  /\  4  e.  NN0  /\  2  <_ 
4 ) )
81, 2, 6, 7mpbir3an 1181 . . 3  |-  2  e.  ( 0 ... 4
)
9 fzosplit 10196 . . 3  |-  ( 2  e.  ( 0 ... 4 )  ->  (
0..^ 4 )  =  ( ( 0..^ 2 )  u.  ( 2..^ 4 ) ) )
108, 9ax-mp 5 . 2  |-  ( 0..^ 4 )  =  ( ( 0..^ 2 )  u.  ( 2..^ 4 ) )
11 fzo0to2pr 10237 . . 3  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
12 4z 9302 . . . . 5  |-  4  e.  ZZ
13 fzoval 10167 . . . . 5  |-  ( 4  e.  ZZ  ->  (
2..^ 4 )  =  ( 2 ... (
4  -  1 ) ) )
1412, 13ax-mp 5 . . . 4  |-  ( 2..^ 4 )  =  ( 2 ... ( 4  -  1 ) )
15 4cn 9016 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
16 ax-1cn 7923 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
17 3cn 9013 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
18 df-4 8999 . . . . . . . . . 10  |-  4  =  ( 3  +  1 )
1917, 16addcomi 8120 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  +  1 )  =  ( 1  +  3 )
2018, 19eqtri 2210 . . . . . . . . 9  |-  4  =  ( 1  +  3 )
2120eqcomi 2193 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  3 )  =  4
2215, 16, 17, 21subaddrii 8265 . . . . . . 7  |-  ( 4  -  1 )  =  3
23 df-3 8998 . . . . . . 7  |-  3  =  ( 2  +  1 )
2422, 23eqtri 2210 . . . . . 6  |-  ( 4  -  1 )  =  ( 2  +  1 )
2524oveq2i 5902 . . . . 5  |-  ( 2 ... ( 4  -  1 ) )  =  ( 2 ... (
2  +  1 ) )
26 2z 9300 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
27 fzpr 10096 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  (
2 ... ( 2  +  1 ) )  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) } )
2826, 27ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 2 ... ( 2  +  1 ) )  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) }
2925, 28eqtri 2210 . . . 4  |-  ( 2 ... ( 4  -  1 ) )  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) }
3023eqcomi 2193 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
3130preq2i 3688 . . . 4  |-  { 2 ,  ( 2  +  1 ) }  =  { 2 ,  3 }
3214, 29, 313eqtri 2214 . . 3  |-  ( 2..^ 4 )  =  {
2 ,  3 }
3311, 32uneq12i 3302 . 2  |-  ( ( 0..^ 2 )  u.  ( 2..^ 4 ) )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } )
3410, 33eqtri 2210 1  |-  ( 0..^ 4 )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1364    e. wcel 2160    u. cun 3142   {cpr 3608   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891   0cc0 7830   1c1 7831    + caddc 7833    <_ cle 8012    - cmin 8147   2c2 8989   3c3 8990   4c4 8991   NN0cn0 9195   ZZcz 9272   ...cfz 10027  ..^cfzo 10161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-addcom 7930  ax-addass 7932  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-4 8999  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-fz 10028  df-fzo 10162
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator