Theorem fzo0to42pr 10028

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	|- ( 0..^ 4 ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9018	. . . 4 |- 2 e. NN0
2		4nn0 9020	. . . 4 |- 4 e. NN0
3		2re 8814	. . . . 5 |- 2 e. RR
4		4re 8821	. . . . 5 |- 4 e. RR
5		2lt4 8917	. . . . 5 |- 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 7890	. . . 4 |- 2 <_ 4
7		elfz2nn0 9923	. . . 4 |- ( 2 e. ( 0 ... 4 ) <-> ( 2 e. NN0 /\ 4 e. NN0 /\ 2 <_ 4 ) )
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1164	. . 3 |- 2 e. ( 0 ... 4 )
9		fzosplit 9985	. . 3 |- ( 2 e. ( 0 ... 4 ) -> ( 0..^ 4 ) = ( ( 0..^ 2 ) u. ( 2..^ 4 ) ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 |- ( 0..^ 4 ) = ( ( 0..^ 2 ) u. ( 2..^ 4 ) )
11		fzo0to2pr 10026	. . 3 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }
12		4z 9108	. . . . 5 |- 4 e. ZZ
13		fzoval 9956	. . . . 5 |- ( 4 e. ZZ -> ( 2..^ 4 ) = ( 2 ... ( 4 - 1 ) ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 2..^ 4 ) = ( 2 ... ( 4 - 1 ) )
15		4cn 8822	. . . . . . . 8 |- 4 e. CC
16		ax-1cn 7737	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
17		3cn 8819	. . . . . . . 8 |- 3 e. CC
18		df-4 8805	. . . . . . . . . 10 |- 4 = ( 3 + 1 )
19	17, 16	addcomi 7930	. . . . . . . . . 10 |- ( 3 + 1 ) = ( 1 + 3 )
20	18, 19	eqtri 2161	. . . . . . . . 9 |- 4 = ( 1 + 3 )
21	20	eqcomi 2144	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 3 ) = 4
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 8075	. . . . . . 7 |- ( 4 - 1 ) = 3
23		df-3 8804	. . . . . . 7 |- 3 = ( 2 + 1 )
24	22, 23	eqtri 2161	. . . . . 6 |- ( 4 - 1 ) = ( 2 + 1 )
25	24	oveq2i 5793	. . . . 5 |- ( 2 ... ( 4 - 1 ) ) = ( 2 ... ( 2 + 1 ) )
26		2z 9106	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
27		fzpr 9888	. . . . . 6 |- ( 2 e. ZZ -> ( 2 ... ( 2 + 1 ) ) = { 2 , ( 2 + 1 ) } )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 2 ... ( 2 + 1 ) ) = { 2 , ( 2 + 1 ) }
29	25, 28	eqtri 2161	. . . 4 |- ( 2 ... ( 4 - 1 ) ) = { 2 , ( 2 + 1 ) }
30	23	eqcomi 2144	. . . . 5 |- ( 2 + 1 ) = 3
31	30	preq2i 3612	. . . 4 |- { 2 , ( 2 + 1 ) } = { 2 , 3 }
32	14, 29, 31	3eqtri 2165	. . 3 |- ( 2..^ 4 ) = { 2 , 3 }
33	11, 32	uneq12i 3233	. 2 |- ( ( 0..^ 2 ) u. ( 2..^ 4 ) ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )
34	10, 33	eqtri 2161	1 |- ( 0..^ 4 ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )

Syntax hints:   = wceq 1332   e. wcel 1481   u. cun 3074   {cpr 3533   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   0cc0 7644   1c1 7645   + caddc 7647   <_ cle 7825   - cmin 7957   2c2 8795   3c3 8796   4c4 8797   NN0cn0 9001   ZZcz 9078   ...cfz 9821  ..^cfzo 9950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822  df-fzo 9951

This theorem is referenced by: (None)