Theorem fzo0to42pr 10528

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	|- ( 0..^ 4 ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9478	. . . 4 |- 2 e. NN0
2		4nn0 9480	. . . 4 |- 4 e. NN0
3		2re 9272	. . . . 5 |- 2 e. RR
4		4re 9279	. . . . 5 |- 4 e. RR
5		2lt4 9376	. . . . 5 |- 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 8341	. . . 4 |- 2 <_ 4
7		elfz2nn0 10409	. . . 4 |- ( 2 e. ( 0 ... 4 ) <-> ( 2 e. NN0 /\ 4 e. NN0 /\ 2 <_ 4 ) )
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1206	. . 3 |- 2 e. ( 0 ... 4 )
9		fzosplit 10476	. . 3 |- ( 2 e. ( 0 ... 4 ) -> ( 0..^ 4 ) = ( ( 0..^ 2 ) u. ( 2..^ 4 ) ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 |- ( 0..^ 4 ) = ( ( 0..^ 2 ) u. ( 2..^ 4 ) )
11		fzo0to2pr 10526	. . 3 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }
12		4z 9570	. . . . 5 |- 4 e. ZZ
13		fzoval 10445	. . . . 5 |- ( 4 e. ZZ -> ( 2..^ 4 ) = ( 2 ... ( 4 - 1 ) ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 2..^ 4 ) = ( 2 ... ( 4 - 1 ) )
15		4cn 9280	. . . . . . . 8 |- 4 e. CC
16		ax-1cn 8185	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
17		3cn 9277	. . . . . . . 8 |- 3 e. CC
18		df-4 9263	. . . . . . . . . 10 |- 4 = ( 3 + 1 )
19	17, 16	addcomi 8382	. . . . . . . . . 10 |- ( 3 + 1 ) = ( 1 + 3 )
20	18, 19	eqtri 2252	. . . . . . . . 9 |- 4 = ( 1 + 3 )
21	20	eqcomi 2235	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 3 ) = 4
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 8527	. . . . . . 7 |- ( 4 - 1 ) = 3
23		df-3 9262	. . . . . . 7 |- 3 = ( 2 + 1 )
24	22, 23	eqtri 2252	. . . . . 6 |- ( 4 - 1 ) = ( 2 + 1 )
25	24	oveq2i 6039	. . . . 5 |- ( 2 ... ( 4 - 1 ) ) = ( 2 ... ( 2 + 1 ) )
26		2z 9568	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
27		fzpr 10374	. . . . . 6 |- ( 2 e. ZZ -> ( 2 ... ( 2 + 1 ) ) = { 2 , ( 2 + 1 ) } )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 2 ... ( 2 + 1 ) ) = { 2 , ( 2 + 1 ) }
29	25, 28	eqtri 2252	. . . 4 |- ( 2 ... ( 4 - 1 ) ) = { 2 , ( 2 + 1 ) }
30	23	eqcomi 2235	. . . . 5 |- ( 2 + 1 ) = 3
31	30	preq2i 3756	. . . 4 |- { 2 , ( 2 + 1 ) } = { 2 , 3 }
32	14, 29, 31	3eqtri 2256	. . 3 |- ( 2..^ 4 ) = { 2 , 3 }
33	11, 32	uneq12i 3361	. 2 |- ( ( 0..^ 2 ) u. ( 2..^ 4 ) ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )
34	10, 33	eqtri 2252	1 |- ( 0..^ 4 ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2202   u. cun 3199   {cpr 3674   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   0cc0 8092   1c1 8093   + caddc 8095   <_ cle 8274   - cmin 8409   2c2 9253   3c3 9254   4c4 9255   NN0cn0 9461   ZZcz 9540   ...cfz 10305  ..^cfzo 10439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306  df-fzo 10440

This theorem is referenced by: (None)