ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzo0to42pr Unicode version

Theorem fzo0to42pr 10155
Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
fzo0to42pr  |-  ( 0..^ 4 )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } )

Proof of Theorem fzo0to42pr
StepHypRef Expression
1 2nn0 9131 . . . 4  |-  2  e.  NN0
2 4nn0 9133 . . . 4  |-  4  e.  NN0
3 2re 8927 . . . . 5  |-  2  e.  RR
4 4re 8934 . . . . 5  |-  4  e.  RR
5 2lt4 9030 . . . . 5  |-  2  <  4
63, 4, 5ltleii 8001 . . . 4  |-  2  <_  4
7 elfz2nn0 10047 . . . 4  |-  ( 2  e.  ( 0 ... 4 )  <->  ( 2  e.  NN0  /\  4  e.  NN0  /\  2  <_ 
4 ) )
81, 2, 6, 7mpbir3an 1169 . . 3  |-  2  e.  ( 0 ... 4
)
9 fzosplit 10112 . . 3  |-  ( 2  e.  ( 0 ... 4 )  ->  (
0..^ 4 )  =  ( ( 0..^ 2 )  u.  ( 2..^ 4 ) ) )
108, 9ax-mp 5 . 2  |-  ( 0..^ 4 )  =  ( ( 0..^ 2 )  u.  ( 2..^ 4 ) )
11 fzo0to2pr 10153 . . 3  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
12 4z 9221 . . . . 5  |-  4  e.  ZZ
13 fzoval 10083 . . . . 5  |-  ( 4  e.  ZZ  ->  (
2..^ 4 )  =  ( 2 ... (
4  -  1 ) ) )
1412, 13ax-mp 5 . . . 4  |-  ( 2..^ 4 )  =  ( 2 ... ( 4  -  1 ) )
15 4cn 8935 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
16 ax-1cn 7846 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
17 3cn 8932 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
18 df-4 8918 . . . . . . . . . 10  |-  4  =  ( 3  +  1 )
1917, 16addcomi 8042 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  +  1 )  =  ( 1  +  3 )
2018, 19eqtri 2186 . . . . . . . . 9  |-  4  =  ( 1  +  3 )
2120eqcomi 2169 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  3 )  =  4
2215, 16, 17, 21subaddrii 8187 . . . . . . 7  |-  ( 4  -  1 )  =  3
23 df-3 8917 . . . . . . 7  |-  3  =  ( 2  +  1 )
2422, 23eqtri 2186 . . . . . 6  |-  ( 4  -  1 )  =  ( 2  +  1 )
2524oveq2i 5853 . . . . 5  |-  ( 2 ... ( 4  -  1 ) )  =  ( 2 ... (
2  +  1 ) )
26 2z 9219 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
27 fzpr 10012 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  (
2 ... ( 2  +  1 ) )  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) } )
2826, 27ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 2 ... ( 2  +  1 ) )  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) }
2925, 28eqtri 2186 . . . 4  |-  ( 2 ... ( 4  -  1 ) )  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) }
3023eqcomi 2169 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
3130preq2i 3657 . . . 4  |-  { 2 ,  ( 2  +  1 ) }  =  { 2 ,  3 }
3214, 29, 313eqtri 2190 . . 3  |-  ( 2..^ 4 )  =  {
2 ,  3 }
3311, 32uneq12i 3274 . 2  |-  ( ( 0..^ 2 )  u.  ( 2..^ 4 ) )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } )
3410, 33eqtri 2186 1  |-  ( 0..^ 4 )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1343    e. wcel 2136    u. cun 3114   {cpr 3577   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   0cc0 7753   1c1 7754    + caddc 7756    <_ cle 7934    - cmin 8069   2c2 8908   3c3 8909   4c4 8910   NN0cn0 9114   ZZcz 9191   ...cfz 9944  ..^cfzo 10077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945  df-fzo 10078
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator