Theorem fzo0to42pr 10296

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	|- ( 0..^ 4 ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9266	. . . 4 |- 2 e. NN0
2		4nn0 9268	. . . 4 |- 4 e. NN0
3		2re 9060	. . . . 5 |- 2 e. RR
4		4re 9067	. . . . 5 |- 4 e. RR
5		2lt4 9164	. . . . 5 |- 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 8129	. . . 4 |- 2 <_ 4
7		elfz2nn0 10187	. . . 4 |- ( 2 e. ( 0 ... 4 ) <-> ( 2 e. NN0 /\ 4 e. NN0 /\ 2 <_ 4 ) )
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1181	. . 3 |- 2 e. ( 0 ... 4 )
9		fzosplit 10253	. . 3 |- ( 2 e. ( 0 ... 4 ) -> ( 0..^ 4 ) = ( ( 0..^ 2 ) u. ( 2..^ 4 ) ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 |- ( 0..^ 4 ) = ( ( 0..^ 2 ) u. ( 2..^ 4 ) )
11		fzo0to2pr 10294	. . 3 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }
12		4z 9356	. . . . 5 |- 4 e. ZZ
13		fzoval 10223	. . . . 5 |- ( 4 e. ZZ -> ( 2..^ 4 ) = ( 2 ... ( 4 - 1 ) ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 2..^ 4 ) = ( 2 ... ( 4 - 1 ) )
15		4cn 9068	. . . . . . . 8 |- 4 e. CC
16		ax-1cn 7972	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
17		3cn 9065	. . . . . . . 8 |- 3 e. CC
18		df-4 9051	. . . . . . . . . 10 |- 4 = ( 3 + 1 )
19	17, 16	addcomi 8170	. . . . . . . . . 10 |- ( 3 + 1 ) = ( 1 + 3 )
20	18, 19	eqtri 2217	. . . . . . . . 9 |- 4 = ( 1 + 3 )
21	20	eqcomi 2200	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 3 ) = 4
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 8315	. . . . . . 7 |- ( 4 - 1 ) = 3
23		df-3 9050	. . . . . . 7 |- 3 = ( 2 + 1 )
24	22, 23	eqtri 2217	. . . . . 6 |- ( 4 - 1 ) = ( 2 + 1 )
25	24	oveq2i 5933	. . . . 5 |- ( 2 ... ( 4 - 1 ) ) = ( 2 ... ( 2 + 1 ) )
26		2z 9354	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
27		fzpr 10152	. . . . . 6 |- ( 2 e. ZZ -> ( 2 ... ( 2 + 1 ) ) = { 2 , ( 2 + 1 ) } )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 2 ... ( 2 + 1 ) ) = { 2 , ( 2 + 1 ) }
29	25, 28	eqtri 2217	. . . 4 |- ( 2 ... ( 4 - 1 ) ) = { 2 , ( 2 + 1 ) }
30	23	eqcomi 2200	. . . . 5 |- ( 2 + 1 ) = 3
31	30	preq2i 3703	. . . 4 |- { 2 , ( 2 + 1 ) } = { 2 , 3 }
32	14, 29, 31	3eqtri 2221	. . 3 |- ( 2..^ 4 ) = { 2 , 3 }
33	11, 32	uneq12i 3315	. 2 |- ( ( 0..^ 2 ) u. ( 2..^ 4 ) ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )
34	10, 33	eqtri 2217	1 |- ( 0..^ 4 ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2167   u. cun 3155   {cpr 3623   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   <_ cle 8062   - cmin 8197   2c2 9041   3c3 9042   4c4 9043   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   ...cfz 10083  ..^cfzo 10217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-fzo 10218

This theorem is referenced by: (None)