ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzo0to42pr Unicode version

Theorem fzo0to42pr 10233
Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
fzo0to42pr  |-  ( 0..^ 4 )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } )

Proof of Theorem fzo0to42pr
StepHypRef Expression
1 2nn0 9206 . . . 4  |-  2  e.  NN0
2 4nn0 9208 . . . 4  |-  4  e.  NN0
3 2re 9002 . . . . 5  |-  2  e.  RR
4 4re 9009 . . . . 5  |-  4  e.  RR
5 2lt4 9105 . . . . 5  |-  2  <  4
63, 4, 5ltleii 8073 . . . 4  |-  2  <_  4
7 elfz2nn0 10125 . . . 4  |-  ( 2  e.  ( 0 ... 4 )  <->  ( 2  e.  NN0  /\  4  e.  NN0  /\  2  <_ 
4 ) )
81, 2, 6, 7mpbir3an 1180 . . 3  |-  2  e.  ( 0 ... 4
)
9 fzosplit 10190 . . 3  |-  ( 2  e.  ( 0 ... 4 )  ->  (
0..^ 4 )  =  ( ( 0..^ 2 )  u.  ( 2..^ 4 ) ) )
108, 9ax-mp 5 . 2  |-  ( 0..^ 4 )  =  ( ( 0..^ 2 )  u.  ( 2..^ 4 ) )
11 fzo0to2pr 10231 . . 3  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
12 4z 9296 . . . . 5  |-  4  e.  ZZ
13 fzoval 10161 . . . . 5  |-  ( 4  e.  ZZ  ->  (
2..^ 4 )  =  ( 2 ... (
4  -  1 ) ) )
1412, 13ax-mp 5 . . . 4  |-  ( 2..^ 4 )  =  ( 2 ... ( 4  -  1 ) )
15 4cn 9010 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
16 ax-1cn 7917 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
17 3cn 9007 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
18 df-4 8993 . . . . . . . . . 10  |-  4  =  ( 3  +  1 )
1917, 16addcomi 8114 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  +  1 )  =  ( 1  +  3 )
2018, 19eqtri 2208 . . . . . . . . 9  |-  4  =  ( 1  +  3 )
2120eqcomi 2191 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  3 )  =  4
2215, 16, 17, 21subaddrii 8259 . . . . . . 7  |-  ( 4  -  1 )  =  3
23 df-3 8992 . . . . . . 7  |-  3  =  ( 2  +  1 )
2422, 23eqtri 2208 . . . . . 6  |-  ( 4  -  1 )  =  ( 2  +  1 )
2524oveq2i 5899 . . . . 5  |-  ( 2 ... ( 4  -  1 ) )  =  ( 2 ... (
2  +  1 ) )
26 2z 9294 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
27 fzpr 10090 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  (
2 ... ( 2  +  1 ) )  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) } )
2826, 27ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 2 ... ( 2  +  1 ) )  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) }
2925, 28eqtri 2208 . . . 4  |-  ( 2 ... ( 4  -  1 ) )  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) }
3023eqcomi 2191 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
3130preq2i 3685 . . . 4  |-  { 2 ,  ( 2  +  1 ) }  =  { 2 ,  3 }
3214, 29, 313eqtri 2212 . . 3  |-  ( 2..^ 4 )  =  {
2 ,  3 }
3311, 32uneq12i 3299 . 2  |-  ( ( 0..^ 2 )  u.  ( 2..^ 4 ) )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } )
3410, 33eqtri 2208 1  |-  ( 0..^ 4 )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1363    e. wcel 2158    u. cun 3139   {cpr 3605   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888   0cc0 7824   1c1 7825    + caddc 7827    <_ cle 8006    - cmin 8141   2c2 8983   3c3 8984   4c4 8985   NN0cn0 9189   ZZcz 9266   ...cfz 10021  ..^cfzo 10155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-fz 10022  df-fzo 10156
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator