Theorem 5recm6rec 9600

Description: One fifth minus one sixth. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
5recm6rec	|- ( ( 1 / 5 ) - ( 1 / 6 ) ) = ( 1 / ; 3 0 )

Proof of Theorem 5recm6rec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5cn 9070	. . 3 |- 5 e. CC
2		6cn 9072	. . 3 |- 6 e. CC
3		5re 9069	. . . 4 |- 5 e. RR
4		5pos 9090	. . . 4 |- 0 < 5
5	3, 4	gt0ap0ii 8655	. . 3 |- 5 # 0
6		6re 9071	. . . 4 |- 6 e. RR
7		6pos 9091	. . . 4 |- 0 < 6
8	6, 7	gt0ap0ii 8655	. . 3 |- 6 # 0
9	1, 2, 5, 8	subrecapi 8867	. 2 |- ( ( 1 / 5 ) - ( 1 / 6 ) ) = ( ( 6 - 5 ) / ( 5 x. 6 ) )
10		ax-1cn 7972	. . . 4 |- 1 e. CC
11		5p1e6 9128	. . . 4 |- ( 5 + 1 ) = 6
12	2, 1, 10, 11	subaddrii 8315	. . 3 |- ( 6 - 5 ) = 1
13		6t5e30 9563	. . . 4 |- ( 6 x. 5 ) = ; 3 0
14	2, 1, 13	mulcomli 8033	. . 3 |- ( 5 x. 6 ) = ; 3 0
15	12, 14	oveq12i 5934	. 2 |- ( ( 6 - 5 ) / ( 5 x. 6 ) ) = ( 1 / ; 3 0 )
16	9, 15	eqtri 2217	1 |- ( ( 1 / 5 ) - ( 1 / 6 ) ) = ( 1 / ; 3 0 )

Syntax hints:   = wceq 1364  (class class class)co 5922   0cc0 7879   1c1 7880   x. cmul 7884   - cmin 8197   / cdiv 8699   3c3 9042   5c5 9044   6c6 9045  ;cdc 9457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-dec 9458

This theorem is referenced by: (None)