Theorem pythagtriplem1 12988

Description: Lemma for pythagtrip 13006. Prove a weaker version of one direction of the theorem. (Contributed by Scott Fenton, 28-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem1	|- ( E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) )

Distinct variable groups:   A, n, m, k   B, n, m, k   C, n, m, k

Proof of Theorem pythagtriplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 9262	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> n e. CC )
2		nncn 9262	. . . . . 6 |- ( m e. NN -> m e. CC )
3		nncn 9262	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> k e. CC )
4		sqcl 10986	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. CC -> ( m ^ 2 ) e. CC )
5	4	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( m ^ 2 ) e. CC )
6	5	sqcld 11058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) e. CC )
7		2cn 9325	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. CC
8		sqcl 10986	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. CC -> ( n ^ 2 ) e. CC )
9		mulcl 8270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m ^ 2 ) e. CC /\ ( n ^ 2 ) e. CC ) -> ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) e. CC )
10	4, 8, 9	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) e. CC )
11		mulcl 8270	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. CC /\ ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) e. CC )
12	7, 10, 11	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) e. CC )
13	6, 12	subcld 8600	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
14	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( n ^ 2 ) e. CC )
15	14	sqcld 11058	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) e. CC )
16		mulcl 8270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. CC /\ n e. CC ) -> ( m x. n ) e. CC )
17	16	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( m x. n ) e. CC )
18		mulcl 8270	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. CC /\ ( m x. n ) e. CC ) -> ( 2 x. ( m x. n ) ) e. CC )
19	7, 17, 18	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( 2 x. ( m x. n ) ) e. CC )
20	19	sqcld 11058	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) e. CC )
21	13, 15, 20	add32d 8457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
22	6, 12, 20	subadd23d 8622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
23		sqmul 10987	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 e. CC /\ ( m x. n ) e. CC ) -> ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( m x. n ) ^ 2 ) ) )
24	7, 17, 23	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( m x. n ) ^ 2 ) ) )
25		sq2 11021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
26	25	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( 2 ^ 2 ) = 4 )
27		sqmul 10987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( m x. n ) ^ 2 ) = ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) )
28	27	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( m x. n ) ^ 2 ) = ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) )
29	26, 28	oveq12d 6076	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( m x. n ) ^ 2 ) ) = ( 4 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) )
30	24, 29	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) = ( 4 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) )
31	30	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 4 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) )
32		4cn 9332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 4 e. CC
33		subdir 8676	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 4 e. CC /\ 2 e. CC /\ ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) e. CC ) -> ( ( 4 - 2 ) x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) = ( ( 4 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) )
34	32, 7, 10, 33	mp3an12i 1378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( 4 - 2 ) x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) = ( ( 4 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) )
35		2p2e4 9381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 + 2 ) = 4
36	32, 7, 7, 35	subaddrii 8578	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 4 - 2 ) = 2
37	36	oveq1i 6068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 4 - 2 ) x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) )
38	34, 37	eqtr3di 2282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( 4 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) )
39	31, 38	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) )
40	39	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) )
41	22, 40	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) )
42	41	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
43	21, 42	eqtrd 2267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
44		binom2sub 11039	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m ^ 2 ) e. CC /\ ( n ^ 2 ) e. CC ) -> ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
45	4, 8, 44	syl2anr 290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
46	45	oveq1d 6073	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) )
47		binom2 11037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m ^ 2 ) e. CC /\ ( n ^ 2 ) e. CC ) -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
48	4, 8, 47	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
49	43, 46, 48	3eqtr4d 2277	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) )
50	49	3adant3 1044	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) )
51	50	oveq2d 6074	. . . . . . 7 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
52		simp3 1026	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> k e. CC )
53	4	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( m ^ 2 ) e. CC )
54	8	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( n ^ 2 ) e. CC )
55	53, 54	subcld 8600	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) e. CC )
56	52, 55	sqmuld 11072	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
57	17	3adant3 1044	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( m x. n ) e. CC )
58	7, 57, 18	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( 2 x. ( m x. n ) ) e. CC )
59	52, 58	sqmuld 11072	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) )
60	56, 59	oveq12d 6076	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) + ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) + ( ( k ^ 2 ) x. ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) ) )
61		sqcl 10986	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. CC -> ( k ^ 2 ) e. CC )
62	61	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( k ^ 2 ) e. CC )
63	55	sqcld 11058	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) e. CC )
64	58	sqcld 11058	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) e. CC )
65	62, 63, 64	adddid 8314	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) + ( ( k ^ 2 ) x. ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) ) )
66	60, 65	eqtr4d 2270	. . . . . . 7 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) + ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) ) )
67	53, 54	addcld 8309	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) e. CC )
68	52, 67	sqmuld 11072	. . . . . . 7 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
69	51, 66, 68	3eqtr4d 2277	. . . . . 6 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) + ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
70	1, 2, 3, 69	syl3an 1316	. . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ m e. NN /\ k e. NN ) -> ( ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) + ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
71		oveq1 6065	. . . . . . . 8 |- ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) -> ( A ^ 2 ) = ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
72		oveq1 6065	. . . . . . . 8 |- ( B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) -> ( B ^ 2 ) = ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) )
73	71, 72	oveqan12d 6077	. . . . . . 7 |- ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) + ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) ) )
74	73	3adant3 1044	. . . . . 6 |- ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) + ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) ) )
75		oveq1 6065	. . . . . . 7 |- ( C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) -> ( C ^ 2 ) = ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
76	75	3ad2ant3 1047	. . . . . 6 |- ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( C ^ 2 ) = ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
77	74, 76	eqeq12d 2249	. . . . 5 |- ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) <-> ( ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) + ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
78	70, 77	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( ( n e. NN /\ m e. NN /\ k e. NN ) -> ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) )
79	78	3expa 1230	. . 3 |- ( ( ( n e. NN /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) )
80	79	rexlimdva 2662	. 2 |- ( ( n e. NN /\ m e. NN ) -> ( E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) )
81	80	rexlimivv 2668	1 |- ( E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   E.wrex 2523  (class class class)co 6058   CCcc 8141   + caddc 8146   x. cmul 8148   - cmin 8460   NNcn 9254   2c2 9305   4c4 9307   ^cexp 10924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-seqfrec 10834  df-exp 10925

This theorem is referenced by:  pythagtriplem2  12989