Theorem pythagtriplem1 12406

Description: Lemma for pythagtrip 12424. Prove a weaker version of one direction of the theorem. (Contributed by Scott Fenton, 28-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem1	|- ( E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) )

Distinct variable groups:   A, n, m, k   B, n, m, k   C, n, m, k

Proof of Theorem pythagtriplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 8992	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> n e. CC )
2		nncn 8992	. . . . . 6 |- ( m e. NN -> m e. CC )
3		nncn 8992	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> k e. CC )
4		sqcl 10674	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. CC -> ( m ^ 2 ) e. CC )
5	4	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( m ^ 2 ) e. CC )
6	5	sqcld 10745	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) e. CC )
7		2cn 9055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. CC
8		sqcl 10674	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. CC -> ( n ^ 2 ) e. CC )
9		mulcl 8001	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m ^ 2 ) e. CC /\ ( n ^ 2 ) e. CC ) -> ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) e. CC )
10	4, 8, 9	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) e. CC )
11		mulcl 8001	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. CC /\ ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) e. CC )
12	7, 10, 11	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) e. CC )
13	6, 12	subcld 8332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
14	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( n ^ 2 ) e. CC )
15	14	sqcld 10745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) e. CC )
16		mulcl 8001	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. CC /\ n e. CC ) -> ( m x. n ) e. CC )
17	16	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( m x. n ) e. CC )
18		mulcl 8001	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. CC /\ ( m x. n ) e. CC ) -> ( 2 x. ( m x. n ) ) e. CC )
19	7, 17, 18	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( 2 x. ( m x. n ) ) e. CC )
20	19	sqcld 10745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) e. CC )
21	13, 15, 20	add32d 8189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
22	6, 12, 20	subadd23d 8354	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
23		sqmul 10675	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 e. CC /\ ( m x. n ) e. CC ) -> ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( m x. n ) ^ 2 ) ) )
24	7, 17, 23	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( m x. n ) ^ 2 ) ) )
25		sq2 10709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
26	25	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( 2 ^ 2 ) = 4 )
27		sqmul 10675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( m x. n ) ^ 2 ) = ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) )
28	27	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( m x. n ) ^ 2 ) = ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) )
29	26, 28	oveq12d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( m x. n ) ^ 2 ) ) = ( 4 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) )
30	24, 29	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) = ( 4 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) )
31	30	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 4 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) )
32		4cn 9062	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 4 e. CC
33		subdir 8407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 4 e. CC /\ 2 e. CC /\ ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) e. CC ) -> ( ( 4 - 2 ) x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) = ( ( 4 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) )
34	32, 7, 10, 33	mp3an12i 1352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( 4 - 2 ) x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) = ( ( 4 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) )
35		2p2e4 9111	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 + 2 ) = 4
36	32, 7, 7, 35	subaddrii 8310	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 4 - 2 ) = 2
37	36	oveq1i 5929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 4 - 2 ) x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) )
38	34, 37	eqtr3di 2241	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( 4 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) )
39	31, 38	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) )
40	39	oveq2d 5935	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) )
41	22, 40	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) )
42	41	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
43	21, 42	eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
44		binom2sub 10727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m ^ 2 ) e. CC /\ ( n ^ 2 ) e. CC ) -> ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
45	4, 8, 44	syl2anr 290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
46	45	oveq1d 5934	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) )
47		binom2 10725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m ^ 2 ) e. CC /\ ( n ^ 2 ) e. CC ) -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
48	4, 8, 47	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
49	43, 46, 48	3eqtr4d 2236	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) )
50	49	3adant3 1019	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) )
51	50	oveq2d 5935	. . . . . . 7 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
52		simp3 1001	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> k e. CC )
53	4	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( m ^ 2 ) e. CC )
54	8	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( n ^ 2 ) e. CC )
55	53, 54	subcld 8332	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) e. CC )
56	52, 55	sqmuld 10759	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
57	17	3adant3 1019	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( m x. n ) e. CC )
58	7, 57, 18	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( 2 x. ( m x. n ) ) e. CC )
59	52, 58	sqmuld 10759	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) )
60	56, 59	oveq12d 5937	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) + ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) + ( ( k ^ 2 ) x. ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) ) )
61		sqcl 10674	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. CC -> ( k ^ 2 ) e. CC )
62	61	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( k ^ 2 ) e. CC )
63	55	sqcld 10745	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) e. CC )
64	58	sqcld 10745	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) e. CC )
65	62, 63, 64	adddid 8046	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) + ( ( k ^ 2 ) x. ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) ) )
66	60, 65	eqtr4d 2229	. . . . . . 7 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) + ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) ) )
67	53, 54	addcld 8041	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) e. CC )
68	52, 67	sqmuld 10759	. . . . . . 7 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
69	51, 66, 68	3eqtr4d 2236	. . . . . 6 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) + ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
70	1, 2, 3, 69	syl3an 1291	. . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ m e. NN /\ k e. NN ) -> ( ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) + ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
71		oveq1 5926	. . . . . . . 8 |- ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) -> ( A ^ 2 ) = ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
72		oveq1 5926	. . . . . . . 8 |- ( B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) -> ( B ^ 2 ) = ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) )
73	71, 72	oveqan12d 5938	. . . . . . 7 |- ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) + ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) ) )
74	73	3adant3 1019	. . . . . 6 |- ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) + ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) ) )
75		oveq1 5926	. . . . . . 7 |- ( C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) -> ( C ^ 2 ) = ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
76	75	3ad2ant3 1022	. . . . . 6 |- ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( C ^ 2 ) = ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
77	74, 76	eqeq12d 2208	. . . . 5 |- ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) <-> ( ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) + ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
78	70, 77	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( ( n e. NN /\ m e. NN /\ k e. NN ) -> ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) )
79	78	3expa 1205	. . 3 |- ( ( ( n e. NN /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) )
80	79	rexlimdva 2611	. 2 |- ( ( n e. NN /\ m e. NN ) -> ( E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) )
81	80	rexlimivv 2617	1 |- ( E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   E.wrex 2473  (class class class)co 5919   CCcc 7872   + caddc 7877   x. cmul 7879   - cmin 8192   NNcn 8984   2c2 9035   4c4 9037   ^cexp 10612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-seqfrec 10522  df-exp 10613

This theorem is referenced by:  pythagtriplem2  12407