Theorem pythagtriplem1 13027

Description: Lemma for pythagtrip 13045. Prove a weaker version of one direction of the theorem. (Contributed by Scott Fenton, 28-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem1	|- ( E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) )

Distinct variable groups:   A, n, m, k   B, n, m, k   C, n, m, k

Proof of Theorem pythagtriplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 9295	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> n e. CC )
2		nncn 9295	. . . . . 6 |- ( m e. NN -> m e. CC )
3		nncn 9295	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> k e. CC )
4		sqcl 11020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. CC -> ( m ^ 2 ) e. CC )
5	4	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( m ^ 2 ) e. CC )
6	5	sqcld 11092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) e. CC )
7		2cn 9358	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. CC
8		sqcl 11020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. CC -> ( n ^ 2 ) e. CC )
9		mulcl 8300	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m ^ 2 ) e. CC /\ ( n ^ 2 ) e. CC ) -> ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) e. CC )
10	4, 8, 9	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) e. CC )
11		mulcl 8300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. CC /\ ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) e. CC )
12	7, 10, 11	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) e. CC )
13	6, 12	subcld 8631	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
14	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( n ^ 2 ) e. CC )
15	14	sqcld 11092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) e. CC )
16		mulcl 8300	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. CC /\ n e. CC ) -> ( m x. n ) e. CC )
17	16	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( m x. n ) e. CC )
18		mulcl 8300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. CC /\ ( m x. n ) e. CC ) -> ( 2 x. ( m x. n ) ) e. CC )
19	7, 17, 18	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( 2 x. ( m x. n ) ) e. CC )
20	19	sqcld 11092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) e. CC )
21	13, 15, 20	add32d 8488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
22	6, 12, 20	subadd23d 8653	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
23		sqmul 11021	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 e. CC /\ ( m x. n ) e. CC ) -> ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( m x. n ) ^ 2 ) ) )
24	7, 17, 23	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( m x. n ) ^ 2 ) ) )
25		sq2 11055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
26	25	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( 2 ^ 2 ) = 4 )
27		sqmul 11021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( m x. n ) ^ 2 ) = ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) )
28	27	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( m x. n ) ^ 2 ) = ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) )
29	26, 28	oveq12d 6097	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( m x. n ) ^ 2 ) ) = ( 4 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) )
30	24, 29	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) = ( 4 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) )
31	30	oveq1d 6094	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 4 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) )
32		4cn 9365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 4 e. CC
33		subdir 8707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 4 e. CC /\ 2 e. CC /\ ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) e. CC ) -> ( ( 4 - 2 ) x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) = ( ( 4 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) )
34	32, 7, 10, 33	mp3an12i 1382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( 4 - 2 ) x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) = ( ( 4 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) )
35		2p2e4 9414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 + 2 ) = 4
36	32, 7, 7, 35	subaddrii 8609	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 4 - 2 ) = 2
37	36	oveq1i 6089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 4 - 2 ) x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) )
38	34, 37	eqtr3di 2286	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( 4 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) )
39	31, 38	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) )
40	39	oveq2d 6095	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) )
41	22, 40	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) )
42	41	oveq1d 6094	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
43	21, 42	eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
44		binom2sub 11073	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m ^ 2 ) e. CC /\ ( n ^ 2 ) e. CC ) -> ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
45	4, 8, 44	syl2anr 290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
46	45	oveq1d 6094	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) )
47		binom2 11071	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m ^ 2 ) e. CC /\ ( n ^ 2 ) e. CC ) -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
48	4, 8, 47	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
49	43, 46, 48	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) )
50	49	3adant3 1048	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) )
51	50	oveq2d 6095	. . . . . . 7 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
52		simp3 1030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> k e. CC )
53	4	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( m ^ 2 ) e. CC )
54	8	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( n ^ 2 ) e. CC )
55	53, 54	subcld 8631	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) e. CC )
56	52, 55	sqmuld 11106	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
57	17	3adant3 1048	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( m x. n ) e. CC )
58	7, 57, 18	sylancr 418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( 2 x. ( m x. n ) ) e. CC )
59	52, 58	sqmuld 11106	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) )
60	56, 59	oveq12d 6097	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) + ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) + ( ( k ^ 2 ) x. ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) ) )
61		sqcl 11020	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. CC -> ( k ^ 2 ) e. CC )
62	61	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( k ^ 2 ) e. CC )
63	55	sqcld 11092	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) e. CC )
64	58	sqcld 11092	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) e. CC )
65	62, 63, 64	adddid 8344	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) + ( ( k ^ 2 ) x. ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) ) )
66	60, 65	eqtr4d 2274	. . . . . . 7 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) + ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) ) )
67	53, 54	addcld 8339	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) e. CC )
68	52, 67	sqmuld 11106	. . . . . . 7 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
69	51, 66, 68	3eqtr4d 2281	. . . . . 6 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) + ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
70	1, 2, 3, 69	syl3an 1320	. . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ m e. NN /\ k e. NN ) -> ( ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) + ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
71		oveq1 6086	. . . . . . . 8 |- ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) -> ( A ^ 2 ) = ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
72		oveq1 6086	. . . . . . . 8 |- ( B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) -> ( B ^ 2 ) = ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) )
73	71, 72	oveqan12d 6098	. . . . . . 7 |- ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) + ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) ) )
74	73	3adant3 1048	. . . . . 6 |- ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) + ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) ) )
75		oveq1 6086	. . . . . . 7 |- ( C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) -> ( C ^ 2 ) = ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
76	75	3ad2ant3 1051	. . . . . 6 |- ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( C ^ 2 ) = ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
77	74, 76	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) <-> ( ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) + ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
78	70, 77	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( ( n e. NN /\ m e. NN /\ k e. NN ) -> ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) )
79	78	3expa 1234	. . 3 |- ( ( ( n e. NN /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) )
80	79	rexlimdva 2668	. 2 |- ( ( n e. NN /\ m e. NN ) -> ( E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) )
81	80	rexlimivv 2674	1 |- ( E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529  (class class class)co 6079   CCcc 8171   + caddc 8176   x. cmul 8178   - cmin 8491   NNcn 9287   2c2 9338   4c4 9340   ^cexp 10958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-seqfrec 10868  df-exp 10959

This theorem is referenced by:  pythagtriplem2  13028