Theorem pythagtriplem1 12809

Description: Lemma for pythagtrip 12827. Prove a weaker version of one direction of the theorem. (Contributed by Scott Fenton, 28-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem1	|- ( E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) )

Distinct variable groups:   A, n, m, k   B, n, m, k   C, n, m, k

Proof of Theorem pythagtriplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 9134	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> n e. CC )
2		nncn 9134	. . . . . 6 |- ( m e. NN -> m e. CC )
3		nncn 9134	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> k e. CC )
4		sqcl 10839	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. CC -> ( m ^ 2 ) e. CC )
5	4	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( m ^ 2 ) e. CC )
6	5	sqcld 10910	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) e. CC )
7		2cn 9197	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. CC
8		sqcl 10839	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. CC -> ( n ^ 2 ) e. CC )
9		mulcl 8142	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m ^ 2 ) e. CC /\ ( n ^ 2 ) e. CC ) -> ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) e. CC )
10	4, 8, 9	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) e. CC )
11		mulcl 8142	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. CC /\ ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) e. CC )
12	7, 10, 11	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) e. CC )
13	6, 12	subcld 8473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
14	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( n ^ 2 ) e. CC )
15	14	sqcld 10910	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) e. CC )
16		mulcl 8142	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. CC /\ n e. CC ) -> ( m x. n ) e. CC )
17	16	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( m x. n ) e. CC )
18		mulcl 8142	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. CC /\ ( m x. n ) e. CC ) -> ( 2 x. ( m x. n ) ) e. CC )
19	7, 17, 18	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( 2 x. ( m x. n ) ) e. CC )
20	19	sqcld 10910	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) e. CC )
21	13, 15, 20	add32d 8330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
22	6, 12, 20	subadd23d 8495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
23		sqmul 10840	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 e. CC /\ ( m x. n ) e. CC ) -> ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( m x. n ) ^ 2 ) ) )
24	7, 17, 23	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( m x. n ) ^ 2 ) ) )
25		sq2 10874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
26	25	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( 2 ^ 2 ) = 4 )
27		sqmul 10840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( m x. n ) ^ 2 ) = ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) )
28	27	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( m x. n ) ^ 2 ) = ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) )
29	26, 28	oveq12d 6028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( m x. n ) ^ 2 ) ) = ( 4 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) )
30	24, 29	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) = ( 4 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) )
31	30	oveq1d 6025	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 4 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) )
32		4cn 9204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 4 e. CC
33		subdir 8548	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 4 e. CC /\ 2 e. CC /\ ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) e. CC ) -> ( ( 4 - 2 ) x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) = ( ( 4 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) )
34	32, 7, 10, 33	mp3an12i 1375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( 4 - 2 ) x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) = ( ( 4 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) )
35		2p2e4 9253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 + 2 ) = 4
36	32, 7, 7, 35	subaddrii 8451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 4 - 2 ) = 2
37	36	oveq1i 6020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 4 - 2 ) x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) )
38	34, 37	eqtr3di 2277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( 4 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) )
39	31, 38	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) )
40	39	oveq2d 6026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) )
41	22, 40	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) )
42	41	oveq1d 6025	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
43	21, 42	eqtrd 2262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
44		binom2sub 10892	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m ^ 2 ) e. CC /\ ( n ^ 2 ) e. CC ) -> ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
45	4, 8, 44	syl2anr 290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
46	45	oveq1d 6025	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) )
47		binom2 10890	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m ^ 2 ) e. CC /\ ( n ^ 2 ) e. CC ) -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
48	4, 8, 47	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( m ^ 2 ) x. ( n ^ 2 ) ) ) ) + ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
49	43, 46, 48	3eqtr4d 2272	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) )
50	49	3adant3 1041	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) )
51	50	oveq2d 6026	. . . . . . 7 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
52		simp3 1023	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> k e. CC )
53	4	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( m ^ 2 ) e. CC )
54	8	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( n ^ 2 ) e. CC )
55	53, 54	subcld 8473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) e. CC )
56	52, 55	sqmuld 10924	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
57	17	3adant3 1041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( m x. n ) e. CC )
58	7, 57, 18	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( 2 x. ( m x. n ) ) e. CC )
59	52, 58	sqmuld 10924	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) )
60	56, 59	oveq12d 6028	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) + ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) + ( ( k ^ 2 ) x. ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) ) )
61		sqcl 10839	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. CC -> ( k ^ 2 ) e. CC )
62	61	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( k ^ 2 ) e. CC )
63	55	sqcld 10910	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) e. CC )
64	58	sqcld 10910	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) e. CC )
65	62, 63, 64	adddid 8187	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) + ( ( k ^ 2 ) x. ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) ) )
66	60, 65	eqtr4d 2265	. . . . . . 7 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) + ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( m x. n ) ) ^ 2 ) ) ) )
67	53, 54	addcld 8182	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) e. CC )
68	52, 67	sqmuld 10924	. . . . . . 7 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
69	51, 66, 68	3eqtr4d 2272	. . . . . 6 |- ( ( n e. CC /\ m e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) + ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
70	1, 2, 3, 69	syl3an 1313	. . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ m e. NN /\ k e. NN ) -> ( ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) + ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
71		oveq1 6017	. . . . . . . 8 |- ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) -> ( A ^ 2 ) = ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
72		oveq1 6017	. . . . . . . 8 |- ( B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) -> ( B ^ 2 ) = ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) )
73	71, 72	oveqan12d 6029	. . . . . . 7 |- ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) + ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) ) )
74	73	3adant3 1041	. . . . . 6 |- ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) + ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) ) )
75		oveq1 6017	. . . . . . 7 |- ( C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) -> ( C ^ 2 ) = ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
76	75	3ad2ant3 1044	. . . . . 6 |- ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( C ^ 2 ) = ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
77	74, 76	eqeq12d 2244	. . . . 5 |- ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) <-> ( ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) + ( ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
78	70, 77	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( ( n e. NN /\ m e. NN /\ k e. NN ) -> ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) )
79	78	3expa 1227	. . 3 |- ( ( ( n e. NN /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) )
80	79	rexlimdva 2648	. 2 |- ( ( n e. NN /\ m e. NN ) -> ( E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) )
81	80	rexlimivv 2654	1 |- ( E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509  (class class class)co 6010   CCcc 8013   + caddc 8018   x. cmul 8020   - cmin 8333   NNcn 9126   2c2 9177   4c4 9179   ^cexp 10777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-seqfrec 10687  df-exp 10778

This theorem is referenced by:  pythagtriplem2  12810