Theorem 4bc2eq6 10520

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	|- ( 4 _C 2 ) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9065	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
2		4z 9084	. . . . 5 |- 4 e. ZZ
3		2z 9082	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1159	. . . 4 |- ( 0 e. ZZ /\ 4 e. ZZ /\ 2 e. ZZ )
5		0le2 8810	. . . . 5 |- 0 <_ 2
6		2re 8790	. . . . . 6 |- 2 e. RR
7		4re 8797	. . . . . 6 |- 4 e. RR
8		2lt4 8893	. . . . . 6 |- 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 7866	. . . . 5 |- 2 <_ 4
10	5, 9	pm3.2i 270	. . . 4 |- ( 0 <_ 2 /\ 2 <_ 4 )
11		elfz4 9799	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ 4 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) /\ ( 0 <_ 2 /\ 2 <_ 4 ) ) -> 2 e. ( 0 ... 4 ) )
12	4, 10, 11	mp2an 422	. . 3 |- 2 e. ( 0 ... 4 )
13		bcval2 10496	. . 3 |- ( 2 e. ( 0 ... 4 ) -> ( 4 _C 2 ) = ( ( ! ` 4 ) / ( ( ! ` ( 4 - 2 ) ) x. ( ! ` 2 ) ) ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 |- ( 4 _C 2 ) = ( ( ! ` 4 ) / ( ( ! ` ( 4 - 2 ) ) x. ( ! ` 2 ) ) )
15		3nn0 8995	. . . . . 6 |- 3 e. NN0
16		facp1 10476	. . . . . 6 |- ( 3 e. NN0 -> ( ! ` ( 3 + 1 ) ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( 3 + 1 ) ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ! ` ( 3 + 1 ) ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( 3 + 1 ) )
18		df-4 8781	. . . . . 6 |- 4 = ( 3 + 1 )
19	18	fveq2i 5424	. . . . 5 |- ( ! ` 4 ) = ( ! ` ( 3 + 1 ) )
20	18	oveq2i 5785	. . . . 5 |- ( ( ! ` 3 ) x. 4 ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( 3 + 1 ) )
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2170	. . . 4 |- ( ! ` 4 ) = ( ( ! ` 3 ) x. 4 )
22		4cn 8798	. . . . . . . . 9 |- 4 e. CC
23		2cn 8791	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
24		2p2e4 8847	. . . . . . . . 9 |- ( 2 + 2 ) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 8051	. . . . . . . 8 |- ( 4 - 2 ) = 2
26	25	fveq2i 5424	. . . . . . 7 |- ( ! ` ( 4 - 2 ) ) = ( ! ` 2 )
27		fac2 10477	. . . . . . 7 |- ( ! ` 2 ) = 2
28	26, 27	eqtri 2160	. . . . . 6 |- ( ! ` ( 4 - 2 ) ) = 2
29	28, 27	oveq12i 5786	. . . . 5 |- ( ( ! ` ( 4 - 2 ) ) x. ( ! ` 2 ) ) = ( 2 x. 2 )
30		2t2e4 8874	. . . . 5 |- ( 2 x. 2 ) = 4
31	29, 30	eqtri 2160	. . . 4 |- ( ( ! ` ( 4 - 2 ) ) x. ( ! ` 2 ) ) = 4
32	21, 31	oveq12i 5786	. . 3 |- ( ( ! ` 4 ) / ( ( ! ` ( 4 - 2 ) ) x. ( ! ` 2 ) ) ) = ( ( ( ! ` 3 ) x. 4 ) / 4 )
33		faccl 10481	. . . . . . 7 |- ( 3 e. NN0 -> ( ! ` 3 ) e. NN )
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ! ` 3 ) e. NN
35	34	nncni 8730	. . . . 5 |- ( ! ` 3 ) e. CC
36		4ap0 8819	. . . . 5 |- 4 # 0
37	35, 22, 36	divcanap4i 8519	. . . 4 |- ( ( ( ! ` 3 ) x. 4 ) / 4 ) = ( ! ` 3 )
38		fac3 10478	. . . 4 |- ( ! ` 3 ) = 6
39	37, 38	eqtri 2160	. . 3 |- ( ( ( ! ` 3 ) x. 4 ) / 4 ) = 6
40	32, 39	eqtri 2160	. 2 |- ( ( ! ` 4 ) / ( ( ! ` ( 4 - 2 ) ) x. ( ! ` 2 ) ) ) = 6
41	14, 40	eqtri 2160	1 |- ( 4 _C 2 ) = 6

Syntax hints:   /\ wa 103   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   x. cmul 7625   <_ cle 7801   - cmin 7933   / cdiv 8432   NNcn 8720   2c2 8771   3c3 8772   4c4 8773   6c6 8775   NN0cn0 8977   ZZcz 9054   ...cfz 9790   !cfa 10471   _C cbc 10493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-5 8782  df-6 8783  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-fz 9791  df-seqfrec 10219  df-fac 10472  df-bc 10494

This theorem is referenced by:  ex-bc  12941