Theorem 4bc2eq6 10771

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	|- ( 4 _C 2 ) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9281	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
2		4z 9300	. . . . 5 |- 4 e. ZZ
3		2z 9298	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1176	. . . 4 |- ( 0 e. ZZ /\ 4 e. ZZ /\ 2 e. ZZ )
5		0le2 9026	. . . . 5 |- 0 <_ 2
6		2re 9006	. . . . . 6 |- 2 e. RR
7		4re 9013	. . . . . 6 |- 4 e. RR
8		2lt4 9109	. . . . . 6 |- 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 8077	. . . . 5 |- 2 <_ 4
10	5, 9	pm3.2i 272	. . . 4 |- ( 0 <_ 2 /\ 2 <_ 4 )
11		elfz4 10035	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ 4 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) /\ ( 0 <_ 2 /\ 2 <_ 4 ) ) -> 2 e. ( 0 ... 4 ) )
12	4, 10, 11	mp2an 426	. . 3 |- 2 e. ( 0 ... 4 )
13		bcval2 10747	. . 3 |- ( 2 e. ( 0 ... 4 ) -> ( 4 _C 2 ) = ( ( ! ` 4 ) / ( ( ! ` ( 4 - 2 ) ) x. ( ! ` 2 ) ) ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 |- ( 4 _C 2 ) = ( ( ! ` 4 ) / ( ( ! ` ( 4 - 2 ) ) x. ( ! ` 2 ) ) )
15		3nn0 9211	. . . . . 6 |- 3 e. NN0
16		facp1 10727	. . . . . 6 |- ( 3 e. NN0 -> ( ! ` ( 3 + 1 ) ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( 3 + 1 ) ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ! ` ( 3 + 1 ) ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( 3 + 1 ) )
18		df-4 8997	. . . . . 6 |- 4 = ( 3 + 1 )
19	18	fveq2i 5532	. . . . 5 |- ( ! ` 4 ) = ( ! ` ( 3 + 1 ) )
20	18	oveq2i 5901	. . . . 5 |- ( ( ! ` 3 ) x. 4 ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( 3 + 1 ) )
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2219	. . . 4 |- ( ! ` 4 ) = ( ( ! ` 3 ) x. 4 )
22		4cn 9014	. . . . . . . . 9 |- 4 e. CC
23		2cn 9007	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
24		2p2e4 9063	. . . . . . . . 9 |- ( 2 + 2 ) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 8263	. . . . . . . 8 |- ( 4 - 2 ) = 2
26	25	fveq2i 5532	. . . . . . 7 |- ( ! ` ( 4 - 2 ) ) = ( ! ` 2 )
27		fac2 10728	. . . . . . 7 |- ( ! ` 2 ) = 2
28	26, 27	eqtri 2209	. . . . . 6 |- ( ! ` ( 4 - 2 ) ) = 2
29	28, 27	oveq12i 5902	. . . . 5 |- ( ( ! ` ( 4 - 2 ) ) x. ( ! ` 2 ) ) = ( 2 x. 2 )
30		2t2e4 9090	. . . . 5 |- ( 2 x. 2 ) = 4
31	29, 30	eqtri 2209	. . . 4 |- ( ( ! ` ( 4 - 2 ) ) x. ( ! ` 2 ) ) = 4
32	21, 31	oveq12i 5902	. . 3 |- ( ( ! ` 4 ) / ( ( ! ` ( 4 - 2 ) ) x. ( ! ` 2 ) ) ) = ( ( ( ! ` 3 ) x. 4 ) / 4 )
33		faccl 10732	. . . . . . 7 |- ( 3 e. NN0 -> ( ! ` 3 ) e. NN )
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ! ` 3 ) e. NN
35	34	nncni 8946	. . . . 5 |- ( ! ` 3 ) e. CC
36		4ap0 9035	. . . . 5 |- 4 # 0
37	35, 22, 36	divcanap4i 8733	. . . 4 |- ( ( ( ! ` 3 ) x. 4 ) / 4 ) = ( ! ` 3 )
38		fac3 10729	. . . 4 |- ( ! ` 3 ) = 6
39	37, 38	eqtri 2209	. . 3 |- ( ( ( ! ` 3 ) x. 4 ) / 4 ) = 6
40	32, 39	eqtri 2209	. 2 |- ( ( ! ` 4 ) / ( ( ! ` ( 4 - 2 ) ) x. ( ! ` 2 ) ) ) = 6
41	14, 40	eqtri 2209	1 |- ( 4 _C 2 ) = 6

Syntax hints:   /\ wa 104   /\ w3a 979   = wceq 1363   e. wcel 2159   class class class wbr 4017   ` cfv 5230  (class class class)co 5890   0cc0 7828   1c1 7829   + caddc 7831   x. cmul 7833   <_ cle 8010   - cmin 8145   / cdiv 8646   NNcn 8936   2c2 8987   3c3 8988   4c4 8989   6c6 8991   NN0cn0 9193   ZZcz 9270   ...cfz 10025   !cfa 10722   _C cbc 10744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-mulrcl 7927  ax-addcom 7928  ax-mulcom 7929  ax-addass 7930  ax-mulass 7931  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-1rid 7935  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-precex 7938  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-apti 7943  ax-pre-ltadd 7944  ax-pre-mulgt0 7945  ax-pre-mulext 7946

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-if 3549  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4116  df-id 4307  df-po 4310  df-iso 4311  df-iord 4380  df-on 4382  df-ilim 4383  df-suc 4385  df-iom 4604  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-recs 6323  df-frec 6409  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-reap 8549  df-ap 8556  df-div 8647  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-5 8998  df-6 8999  df-n0 9194  df-z 9271  df-uz 9546  df-q 9637  df-fz 10026  df-seqfrec 10463  df-fac 10723  df-bc 10745

This theorem is referenced by:  ex-bc  14864