Theorem 4bc2eq6 10746

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	|- ( 4 _C 2 ) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9259	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
2		4z 9278	. . . . 5 |- 4 e. ZZ
3		2z 9276	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1175	. . . 4 |- ( 0 e. ZZ /\ 4 e. ZZ /\ 2 e. ZZ )
5		0le2 9004	. . . . 5 |- 0 <_ 2
6		2re 8984	. . . . . 6 |- 2 e. RR
7		4re 8991	. . . . . 6 |- 4 e. RR
8		2lt4 9087	. . . . . 6 |- 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 8055	. . . . 5 |- 2 <_ 4
10	5, 9	pm3.2i 272	. . . 4 |- ( 0 <_ 2 /\ 2 <_ 4 )
11		elfz4 10012	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ 4 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) /\ ( 0 <_ 2 /\ 2 <_ 4 ) ) -> 2 e. ( 0 ... 4 ) )
12	4, 10, 11	mp2an 426	. . 3 |- 2 e. ( 0 ... 4 )
13		bcval2 10722	. . 3 |- ( 2 e. ( 0 ... 4 ) -> ( 4 _C 2 ) = ( ( ! ` 4 ) / ( ( ! ` ( 4 - 2 ) ) x. ( ! ` 2 ) ) ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 |- ( 4 _C 2 ) = ( ( ! ` 4 ) / ( ( ! ` ( 4 - 2 ) ) x. ( ! ` 2 ) ) )
15		3nn0 9189	. . . . . 6 |- 3 e. NN0
16		facp1 10702	. . . . . 6 |- ( 3 e. NN0 -> ( ! ` ( 3 + 1 ) ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( 3 + 1 ) ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ! ` ( 3 + 1 ) ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( 3 + 1 ) )
18		df-4 8975	. . . . . 6 |- 4 = ( 3 + 1 )
19	18	fveq2i 5516	. . . . 5 |- ( ! ` 4 ) = ( ! ` ( 3 + 1 ) )
20	18	oveq2i 5882	. . . . 5 |- ( ( ! ` 3 ) x. 4 ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( 3 + 1 ) )
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2208	. . . 4 |- ( ! ` 4 ) = ( ( ! ` 3 ) x. 4 )
22		4cn 8992	. . . . . . . . 9 |- 4 e. CC
23		2cn 8985	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
24		2p2e4 9041	. . . . . . . . 9 |- ( 2 + 2 ) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 8241	. . . . . . . 8 |- ( 4 - 2 ) = 2
26	25	fveq2i 5516	. . . . . . 7 |- ( ! ` ( 4 - 2 ) ) = ( ! ` 2 )
27		fac2 10703	. . . . . . 7 |- ( ! ` 2 ) = 2
28	26, 27	eqtri 2198	. . . . . 6 |- ( ! ` ( 4 - 2 ) ) = 2
29	28, 27	oveq12i 5883	. . . . 5 |- ( ( ! ` ( 4 - 2 ) ) x. ( ! ` 2 ) ) = ( 2 x. 2 )
30		2t2e4 9068	. . . . 5 |- ( 2 x. 2 ) = 4
31	29, 30	eqtri 2198	. . . 4 |- ( ( ! ` ( 4 - 2 ) ) x. ( ! ` 2 ) ) = 4
32	21, 31	oveq12i 5883	. . 3 |- ( ( ! ` 4 ) / ( ( ! ` ( 4 - 2 ) ) x. ( ! ` 2 ) ) ) = ( ( ( ! ` 3 ) x. 4 ) / 4 )
33		faccl 10707	. . . . . . 7 |- ( 3 e. NN0 -> ( ! ` 3 ) e. NN )
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ! ` 3 ) e. NN
35	34	nncni 8924	. . . . 5 |- ( ! ` 3 ) e. CC
36		4ap0 9013	. . . . 5 |- 4 # 0
37	35, 22, 36	divcanap4i 8711	. . . 4 |- ( ( ( ! ` 3 ) x. 4 ) / 4 ) = ( ! ` 3 )
38		fac3 10704	. . . 4 |- ( ! ` 3 ) = 6
39	37, 38	eqtri 2198	. . 3 |- ( ( ( ! ` 3 ) x. 4 ) / 4 ) = 6
40	32, 39	eqtri 2198	. 2 |- ( ( ! ` 4 ) / ( ( ! ` ( 4 - 2 ) ) x. ( ! ` 2 ) ) ) = 6
41	14, 40	eqtri 2198	1 |- ( 4 _C 2 ) = 6

Syntax hints:   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4002   ` cfv 5214  (class class class)co 5871   0cc0 7807   1c1 7808   + caddc 7810   x. cmul 7812   <_ cle 7988   - cmin 8123   / cdiv 8624   NNcn 8914   2c2 8965   3c3 8966   4c4 8967   6c6 8969   NN0cn0 9171   ZZcz 9248   ...cfz 10003   !cfa 10697   _C cbc 10719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-mulrcl 7906  ax-addcom 7907  ax-mulcom 7908  ax-addass 7909  ax-mulass 7910  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-1rid 7914  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-precex 7917  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-apti 7922  ax-pre-ltadd 7923  ax-pre-mulgt0 7924  ax-pre-mulext 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-recs 6302  df-frec 6388  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-reap 8527  df-ap 8534  df-div 8625  df-inn 8915  df-2 8973  df-3 8974  df-4 8975  df-5 8976  df-6 8977  df-n0 9172  df-z 9249  df-uz 9524  df-q 9615  df-fz 10004  df-seqfrec 10440  df-fac 10698  df-bc 10720

This theorem is referenced by:  ex-bc  14332