Theorem 4bc2eq6 10996

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	|- ( 4 _C 2 ) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9457	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
2		4z 9476	. . . . 5 |- 4 e. ZZ
3		2z 9474	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1199	. . . 4 |- ( 0 e. ZZ /\ 4 e. ZZ /\ 2 e. ZZ )
5		0le2 9200	. . . . 5 |- 0 <_ 2
6		2re 9180	. . . . . 6 |- 2 e. RR
7		4re 9187	. . . . . 6 |- 4 e. RR
8		2lt4 9284	. . . . . 6 |- 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 8249	. . . . 5 |- 2 <_ 4
10	5, 9	pm3.2i 272	. . . 4 |- ( 0 <_ 2 /\ 2 <_ 4 )
11		elfz4 10214	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ 4 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) /\ ( 0 <_ 2 /\ 2 <_ 4 ) ) -> 2 e. ( 0 ... 4 ) )
12	4, 10, 11	mp2an 426	. . 3 |- 2 e. ( 0 ... 4 )
13		bcval2 10972	. . 3 |- ( 2 e. ( 0 ... 4 ) -> ( 4 _C 2 ) = ( ( ! ` 4 ) / ( ( ! ` ( 4 - 2 ) ) x. ( ! ` 2 ) ) ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 |- ( 4 _C 2 ) = ( ( ! ` 4 ) / ( ( ! ` ( 4 - 2 ) ) x. ( ! ` 2 ) ) )
15		3nn0 9387	. . . . . 6 |- 3 e. NN0
16		facp1 10952	. . . . . 6 |- ( 3 e. NN0 -> ( ! ` ( 3 + 1 ) ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( 3 + 1 ) ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ! ` ( 3 + 1 ) ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( 3 + 1 ) )
18		df-4 9171	. . . . . 6 |- 4 = ( 3 + 1 )
19	18	fveq2i 5630	. . . . 5 |- ( ! ` 4 ) = ( ! ` ( 3 + 1 ) )
20	18	oveq2i 6012	. . . . 5 |- ( ( ! ` 3 ) x. 4 ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( 3 + 1 ) )
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2260	. . . 4 |- ( ! ` 4 ) = ( ( ! ` 3 ) x. 4 )
22		4cn 9188	. . . . . . . . 9 |- 4 e. CC
23		2cn 9181	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
24		2p2e4 9237	. . . . . . . . 9 |- ( 2 + 2 ) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 8435	. . . . . . . 8 |- ( 4 - 2 ) = 2
26	25	fveq2i 5630	. . . . . . 7 |- ( ! ` ( 4 - 2 ) ) = ( ! ` 2 )
27		fac2 10953	. . . . . . 7 |- ( ! ` 2 ) = 2
28	26, 27	eqtri 2250	. . . . . 6 |- ( ! ` ( 4 - 2 ) ) = 2
29	28, 27	oveq12i 6013	. . . . 5 |- ( ( ! ` ( 4 - 2 ) ) x. ( ! ` 2 ) ) = ( 2 x. 2 )
30		2t2e4 9265	. . . . 5 |- ( 2 x. 2 ) = 4
31	29, 30	eqtri 2250	. . . 4 |- ( ( ! ` ( 4 - 2 ) ) x. ( ! ` 2 ) ) = 4
32	21, 31	oveq12i 6013	. . 3 |- ( ( ! ` 4 ) / ( ( ! ` ( 4 - 2 ) ) x. ( ! ` 2 ) ) ) = ( ( ( ! ` 3 ) x. 4 ) / 4 )
33		faccl 10957	. . . . . . 7 |- ( 3 e. NN0 -> ( ! ` 3 ) e. NN )
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ! ` 3 ) e. NN
35	34	nncni 9120	. . . . 5 |- ( ! ` 3 ) e. CC
36		4ap0 9209	. . . . 5 |- 4 # 0
37	35, 22, 36	divcanap4i 8906	. . . 4 |- ( ( ( ! ` 3 ) x. 4 ) / 4 ) = ( ! ` 3 )
38		fac3 10954	. . . 4 |- ( ! ` 3 ) = 6
39	37, 38	eqtri 2250	. . 3 |- ( ( ( ! ` 3 ) x. 4 ) / 4 ) = 6
40	32, 39	eqtri 2250	. 2 |- ( ( ! ` 4 ) / ( ( ! ` ( 4 - 2 ) ) x. ( ! ` 2 ) ) ) = 6
41	14, 40	eqtri 2250	1 |- ( 4 _C 2 ) = 6

Syntax hints:   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   0cc0 7999   1c1 8000   + caddc 8002   x. cmul 8004   <_ cle 8182   - cmin 8317   / cdiv 8819   NNcn 9110   2c2 9161   3c3 9162   4c4 9163   6c6 9165   NN0cn0 9369   ZZcz 9446   ...cfz 10204   !cfa 10947   _C cbc 10969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-fz 10205  df-seqfrec 10670  df-fac 10948  df-bc 10970

This theorem is referenced by:  ex-bc  16093