ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  4bc2eq6 Unicode version

Theorem 4bc2eq6 10771
Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
4bc2eq6  |-  ( 4  _C  2 )  =  6

Proof of Theorem 4bc2eq6
StepHypRef Expression
1 0z 9281 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
2 4z 9300 . . . . 5  |-  4  e.  ZZ
3 2z 9298 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
41, 2, 33pm3.2i 1176 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )
5 0le2 9026 . . . . 5  |-  0  <_  2
6 2re 9006 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
7 4re 9013 . . . . . 6  |-  4  e.  RR
8 2lt4 9109 . . . . . 6  |-  2  <  4
96, 7, 8ltleii 8077 . . . . 5  |-  2  <_  4
105, 9pm3.2i 272 . . . 4  |-  ( 0  <_  2  /\  2  <_  4 )
11 elfz4 10035 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  2  /\  2  <_  4 ) )  ->  2  e.  ( 0 ... 4
) )
124, 10, 11mp2an 426 . . 3  |-  2  e.  ( 0 ... 4
)
13 bcval2 10747 . . 3  |-  ( 2  e.  ( 0 ... 4 )  ->  (
4  _C  2 )  =  ( ( ! `
 4 )  / 
( ( ! `  ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! `  2 )
) ) )
1412, 13ax-mp 5 . 2  |-  ( 4  _C  2 )  =  ( ( ! ` 
4 )  /  (
( ! `  (
4  -  2 ) )  x.  ( ! `
 2 ) ) )
15 3nn0 9211 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
16 facp1 10727 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( 3  +  1 ) )  =  ( ( ! ` 
3 )  x.  (
3  +  1 ) ) )
1715, 16ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ! `
 ( 3  +  1 ) )  =  ( ( ! ` 
3 )  x.  (
3  +  1 ) )
18 df-4 8997 . . . . . 6  |-  4  =  ( 3  +  1 )
1918fveq2i 5532 . . . . 5  |-  ( ! `
 4 )  =  ( ! `  (
3  +  1 ) )
2018oveq2i 5901 . . . . 5  |-  ( ( ! `  3 )  x.  4 )  =  ( ( ! ` 
3 )  x.  (
3  +  1 ) )
2117, 19, 203eqtr4i 2219 . . . 4  |-  ( ! `
 4 )  =  ( ( ! ` 
3 )  x.  4 )
22 4cn 9014 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
23 2cn 9007 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
24 2p2e4 9063 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  +  2 )  =  4
2522, 23, 23, 24subaddrii 8263 . . . . . . . 8  |-  ( 4  -  2 )  =  2
2625fveq2i 5532 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 ( 4  -  2 ) )  =  ( ! `  2
)
27 fac2 10728 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 2 )  =  2
2826, 27eqtri 2209 . . . . . 6  |-  ( ! `
 ( 4  -  2 ) )  =  2
2928, 27oveq12i 5902 . . . . 5  |-  ( ( ! `  ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! ` 
2 ) )  =  ( 2  x.  2 )
30 2t2e4 9090 . . . . 5  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
3129, 30eqtri 2209 . . . 4  |-  ( ( ! `  ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! ` 
2 ) )  =  4
3221, 31oveq12i 5902 . . 3  |-  ( ( ! `  4 )  /  ( ( ! `
 ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! `  2
) ) )  =  ( ( ( ! `
 3 )  x.  4 )  /  4
)
33 faccl 10732 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( ! `
 3 )  e.  NN )
3415, 33ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ! `
 3 )  e.  NN
3534nncni 8946 . . . . 5  |-  ( ! `
 3 )  e.  CC
36 4ap0 9035 . . . . 5  |-  4 #  0
3735, 22, 36divcanap4i 8733 . . . 4  |-  ( ( ( ! `  3
)  x.  4 )  /  4 )  =  ( ! `  3
)
38 fac3 10729 . . . 4  |-  ( ! `
 3 )  =  6
3937, 38eqtri 2209 . . 3  |-  ( ( ( ! `  3
)  x.  4 )  /  4 )  =  6
4032, 39eqtri 2209 . 2  |-  ( ( ! `  4 )  /  ( ( ! `
 ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! `  2
) ) )  =  6
4114, 40eqtri 2209 1  |-  ( 4  _C  2 )  =  6
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    /\ w3a 979    = wceq 1363    e. wcel 2159   class class class wbr 4017   ` cfv 5230  (class class class)co 5890   0cc0 7828   1c1 7829    + caddc 7831    x. cmul 7833    <_ cle 8010    - cmin 8145    / cdiv 8646   NNcn 8936   2c2 8987   3c3 8988   4c4 8989   6c6 8991   NN0cn0 9193   ZZcz 9270   ...cfz 10025   !cfa 10722    _C cbc 10744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-mulrcl 7927  ax-addcom 7928  ax-mulcom 7929  ax-addass 7930  ax-mulass 7931  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-1rid 7935  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-precex 7938  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-apti 7943  ax-pre-ltadd 7944  ax-pre-mulgt0 7945  ax-pre-mulext 7946
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-if 3549  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4116  df-id 4307  df-po 4310  df-iso 4311  df-iord 4380  df-on 4382  df-ilim 4383  df-suc 4385  df-iom 4604  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-recs 6323  df-frec 6409  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-reap 8549  df-ap 8556  df-div 8647  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-5 8998  df-6 8999  df-n0 9194  df-z 9271  df-uz 9546  df-q 9637  df-fz 10026  df-seqfrec 10463  df-fac 10723  df-bc 10745
This theorem is referenced by:  ex-bc  14864
  Copyright terms: Public domain W3C validator