ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  4bc2eq6 Unicode version

Theorem 4bc2eq6 10245
Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
4bc2eq6  |-  ( 4  _C  2 )  =  6

Proof of Theorem 4bc2eq6
StepHypRef Expression
1 0z 8824 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
2 4z 8843 . . . . 5  |-  4  e.  ZZ
3 2z 8841 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
41, 2, 33pm3.2i 1122 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )
5 0le2 8575 . . . . 5  |-  0  <_  2
6 2re 8555 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
7 4re 8562 . . . . . 6  |-  4  e.  RR
8 2lt4 8652 . . . . . 6  |-  2  <  4
96, 7, 8ltleii 7650 . . . . 5  |-  2  <_  4
105, 9pm3.2i 267 . . . 4  |-  ( 0  <_  2  /\  2  <_  4 )
11 elfz4 9496 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  2  /\  2  <_  4 ) )  ->  2  e.  ( 0 ... 4
) )
124, 10, 11mp2an 418 . . 3  |-  2  e.  ( 0 ... 4
)
13 bcval2 10221 . . 3  |-  ( 2  e.  ( 0 ... 4 )  ->  (
4  _C  2 )  =  ( ( ! `
 4 )  / 
( ( ! `  ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! `  2 )
) ) )
1412, 13ax-mp 7 . 2  |-  ( 4  _C  2 )  =  ( ( ! ` 
4 )  /  (
( ! `  (
4  -  2 ) )  x.  ( ! `
 2 ) ) )
15 3nn0 8754 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
16 facp1 10201 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( 3  +  1 ) )  =  ( ( ! ` 
3 )  x.  (
3  +  1 ) ) )
1715, 16ax-mp 7 . . . . 5  |-  ( ! `
 ( 3  +  1 ) )  =  ( ( ! ` 
3 )  x.  (
3  +  1 ) )
18 df-4 8546 . . . . . 6  |-  4  =  ( 3  +  1 )
1918fveq2i 5323 . . . . 5  |-  ( ! `
 4 )  =  ( ! `  (
3  +  1 ) )
2018oveq2i 5679 . . . . 5  |-  ( ( ! `  3 )  x.  4 )  =  ( ( ! ` 
3 )  x.  (
3  +  1 ) )
2117, 19, 203eqtr4i 2119 . . . 4  |-  ( ! `
 4 )  =  ( ( ! ` 
3 )  x.  4 )
22 4cn 8563 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
23 2cn 8556 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
24 2p2e4 8606 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  +  2 )  =  4
2522, 23, 23, 24subaddrii 7834 . . . . . . . 8  |-  ( 4  -  2 )  =  2
2625fveq2i 5323 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 ( 4  -  2 ) )  =  ( ! `  2
)
27 fac2 10202 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 2 )  =  2
2826, 27eqtri 2109 . . . . . 6  |-  ( ! `
 ( 4  -  2 ) )  =  2
2928, 27oveq12i 5680 . . . . 5  |-  ( ( ! `  ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! ` 
2 ) )  =  ( 2  x.  2 )
30 2t2e4 8633 . . . . 5  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
3129, 30eqtri 2109 . . . 4  |-  ( ( ! `  ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! ` 
2 ) )  =  4
3221, 31oveq12i 5680 . . 3  |-  ( ( ! `  4 )  /  ( ( ! `
 ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! `  2
) ) )  =  ( ( ( ! `
 3 )  x.  4 )  /  4
)
33 faccl 10206 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( ! `
 3 )  e.  NN )
3415, 33ax-mp 7 . . . . . 6  |-  ( ! `
 3 )  e.  NN
3534nncni 8495 . . . . 5  |-  ( ! `
 3 )  e.  CC
36 4ap0 8584 . . . . 5  |-  4 #  0
3735, 22, 36divcanap4i 8289 . . . 4  |-  ( ( ( ! `  3
)  x.  4 )  /  4 )  =  ( ! `  3
)
38 fac3 10203 . . . 4  |-  ( ! `
 3 )  =  6
3937, 38eqtri 2109 . . 3  |-  ( ( ( ! `  3
)  x.  4 )  /  4 )  =  6
4032, 39eqtri 2109 . 2  |-  ( ( ! `  4 )  /  ( ( ! `
 ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! `  2
) ) )  =  6
4114, 40eqtri 2109 1  |-  ( 4  _C  2 )  =  6
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    /\ w3a 925    = wceq 1290    e. wcel 1439   class class class wbr 3853   ` cfv 5030  (class class class)co 5668   0cc0 7413   1c1 7414    + caddc 7416    x. cmul 7418    <_ cle 7586    - cmin 7716    / cdiv 8202   NNcn 8485   2c2 8536   3c3 8537   4c4 8538   6c6 8540   NN0cn0 8736   ZZcz 8813   ...cfz 9487   !cfa 10196    _C cbc 10218
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-frec 6172  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-5 8547  df-6 8548  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-fz 9488  df-iseq 9916  df-fac 10197  df-bc 10219
This theorem is referenced by:  ex-bc  11960
  Copyright terms: Public domain W3C validator