Theorem 4bc2eq6 10871

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	|- ( 4 _C 2 ) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9342	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
2		4z 9361	. . . . 5 |- 4 e. ZZ
3		2z 9359	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1177	. . . 4 |- ( 0 e. ZZ /\ 4 e. ZZ /\ 2 e. ZZ )
5		0le2 9085	. . . . 5 |- 0 <_ 2
6		2re 9065	. . . . . 6 |- 2 e. RR
7		4re 9072	. . . . . 6 |- 4 e. RR
8		2lt4 9169	. . . . . 6 |- 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 8134	. . . . 5 |- 2 <_ 4
10	5, 9	pm3.2i 272	. . . 4 |- ( 0 <_ 2 /\ 2 <_ 4 )
11		elfz4 10098	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ 4 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) /\ ( 0 <_ 2 /\ 2 <_ 4 ) ) -> 2 e. ( 0 ... 4 ) )
12	4, 10, 11	mp2an 426	. . 3 |- 2 e. ( 0 ... 4 )
13		bcval2 10847	. . 3 |- ( 2 e. ( 0 ... 4 ) -> ( 4 _C 2 ) = ( ( ! ` 4 ) / ( ( ! ` ( 4 - 2 ) ) x. ( ! ` 2 ) ) ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 |- ( 4 _C 2 ) = ( ( ! ` 4 ) / ( ( ! ` ( 4 - 2 ) ) x. ( ! ` 2 ) ) )
15		3nn0 9272	. . . . . 6 |- 3 e. NN0
16		facp1 10827	. . . . . 6 |- ( 3 e. NN0 -> ( ! ` ( 3 + 1 ) ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( 3 + 1 ) ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ! ` ( 3 + 1 ) ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( 3 + 1 ) )
18		df-4 9056	. . . . . 6 |- 4 = ( 3 + 1 )
19	18	fveq2i 5564	. . . . 5 |- ( ! ` 4 ) = ( ! ` ( 3 + 1 ) )
20	18	oveq2i 5936	. . . . 5 |- ( ( ! ` 3 ) x. 4 ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( 3 + 1 ) )
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2227	. . . 4 |- ( ! ` 4 ) = ( ( ! ` 3 ) x. 4 )
22		4cn 9073	. . . . . . . . 9 |- 4 e. CC
23		2cn 9066	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
24		2p2e4 9122	. . . . . . . . 9 |- ( 2 + 2 ) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 8320	. . . . . . . 8 |- ( 4 - 2 ) = 2
26	25	fveq2i 5564	. . . . . . 7 |- ( ! ` ( 4 - 2 ) ) = ( ! ` 2 )
27		fac2 10828	. . . . . . 7 |- ( ! ` 2 ) = 2
28	26, 27	eqtri 2217	. . . . . 6 |- ( ! ` ( 4 - 2 ) ) = 2
29	28, 27	oveq12i 5937	. . . . 5 |- ( ( ! ` ( 4 - 2 ) ) x. ( ! ` 2 ) ) = ( 2 x. 2 )
30		2t2e4 9150	. . . . 5 |- ( 2 x. 2 ) = 4
31	29, 30	eqtri 2217	. . . 4 |- ( ( ! ` ( 4 - 2 ) ) x. ( ! ` 2 ) ) = 4
32	21, 31	oveq12i 5937	. . 3 |- ( ( ! ` 4 ) / ( ( ! ` ( 4 - 2 ) ) x. ( ! ` 2 ) ) ) = ( ( ( ! ` 3 ) x. 4 ) / 4 )
33		faccl 10832	. . . . . . 7 |- ( 3 e. NN0 -> ( ! ` 3 ) e. NN )
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ! ` 3 ) e. NN
35	34	nncni 9005	. . . . 5 |- ( ! ` 3 ) e. CC
36		4ap0 9094	. . . . 5 |- 4 # 0
37	35, 22, 36	divcanap4i 8791	. . . 4 |- ( ( ( ! ` 3 ) x. 4 ) / 4 ) = ( ! ` 3 )
38		fac3 10829	. . . 4 |- ( ! ` 3 ) = 6
39	37, 38	eqtri 2217	. . 3 |- ( ( ( ! ` 3 ) x. 4 ) / 4 ) = 6
40	32, 39	eqtri 2217	. 2 |- ( ( ! ` 4 ) / ( ( ! ` ( 4 - 2 ) ) x. ( ! ` 2 ) ) ) = 6
41	14, 40	eqtri 2217	1 |- ( 4 _C 2 ) = 6

Syntax hints:   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   0cc0 7884   1c1 7885   + caddc 7887   x. cmul 7889   <_ cle 8067   - cmin 8202   / cdiv 8704   NNcn 8995   2c2 9046   3c3 9047   4c4 9048   6c6 9050   NN0cn0 9254   ZZcz 9331   ...cfz 10088   !cfa 10822   _C cbc 10844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7975  ax-resscn 7976  ax-1cn 7977  ax-1re 7978  ax-icn 7979  ax-addcl 7980  ax-addrcl 7981  ax-mulcl 7982  ax-mulrcl 7983  ax-addcom 7984  ax-mulcom 7985  ax-addass 7986  ax-mulass 7987  ax-distr 7988  ax-i2m1 7989  ax-0lt1 7990  ax-1rid 7991  ax-0id 7992  ax-rnegex 7993  ax-precex 7994  ax-cnre 7995  ax-pre-ltirr 7996  ax-pre-ltwlin 7997  ax-pre-lttrn 7998  ax-pre-apti 7999  ax-pre-ltadd 8000  ax-pre-mulgt0 8001  ax-pre-mulext 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6202  df-2nd 6203  df-recs 6367  df-frec 6453  df-pnf 8068  df-mnf 8069  df-xr 8070  df-ltxr 8071  df-le 8072  df-sub 8204  df-neg 8205  df-reap 8607  df-ap 8614  df-div 8705  df-inn 8996  df-2 9054  df-3 9055  df-4 9056  df-5 9057  df-6 9058  df-n0 9255  df-z 9332  df-uz 9607  df-q 9699  df-fz 10089  df-seqfrec 10545  df-fac 10823  df-bc 10845

This theorem is referenced by:  ex-bc  15422