Theorem subaddrii 8343

Description: Relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
pncan3i.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
subadd.3	⊢ 𝐶 ∈ ℂ
subaddri.4	⊢ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴

Assertion

Ref	Expression
subaddrii	⊢ (𝐴 − 𝐵) = 𝐶

Proof of Theorem subaddrii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subaddri.4	. 2 ⊢ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴
2		negidi.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3		pncan3i.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
4		subadd.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
5	2, 3, 4	subaddi 8341	. 2 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴)
6	1, 5	mpbir 146	1 ⊢ (𝐴 − 𝐵) = 𝐶

Syntax hints:   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  (class class class)co 5934  ℂcc 7905   + caddc 7910   − cmin 8225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-setind 4583  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-cnre 8018

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-sub 8227

This theorem is referenced by:  2m1e1  9136  3m1e2  9138  halfthird  9628  5recm6rec  9629  fzo0to42pr  10330  4bc3eq4  10899  4bc2eq6  10900  cos1bnd  11989  cos2bnd  11990  pythagtriplem1  12507  cosq14gt0  15222  sincos6thpi  15232  lgsdir2lem1  15423