ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cos1bnd Unicode version

Theorem cos1bnd 11365
Description: Bounds on the cosine of 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos1bnd  |-  ( ( 1  /  3 )  <  ( cos `  1
)  /\  ( cos `  1 )  <  (
2  /  3 ) )

Proof of Theorem cos1bnd
StepHypRef Expression
1 sq1 10326 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
21oveq1i 5750 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 ^ 2 )  /  3 )  =  ( 1  /  3
)
32oveq2i 5751 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  / 
3 ) )  =  ( 2  x.  (
1  /  3 ) )
4 2cn 8748 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
5 3cn 8752 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
6 3ap0 8773 . . . . . . 7  |-  3 #  0
74, 5, 6divrecapi 8477 . . . . . 6  |-  ( 2  /  3 )  =  ( 2  x.  (
1  /  3 ) )
83, 7eqtr4i 2139 . . . . 5  |-  ( 2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  / 
3 ) )  =  ( 2  /  3
)
98oveq2i 5751 . . . 4  |-  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  /  3
) ) )  =  ( 1  -  (
2  /  3 ) )
10 ax-1cn 7677 . . . . 5  |-  1  e.  CC
114, 5, 6divclapi 8474 . . . . 5  |-  ( 2  /  3 )  e.  CC
125, 6recclapi 8462 . . . . 5  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
13 df-3 8737 . . . . . . 7  |-  3  =  ( 2  +  1 )
1413oveq1i 5750 . . . . . 6  |-  ( 3  /  3 )  =  ( ( 2  +  1 )  /  3
)
155, 6dividapi 8465 . . . . . 6  |-  ( 3  /  3 )  =  1
164, 10, 5, 6divdirapi 8489 . . . . . 6  |-  ( ( 2  +  1 )  /  3 )  =  ( ( 2  / 
3 )  +  ( 1  /  3 ) )
1714, 15, 163eqtr3ri 2145 . . . . 5  |-  ( ( 2  /  3 )  +  ( 1  / 
3 ) )  =  1
1810, 11, 12, 17subaddrii 8015 . . . 4  |-  ( 1  -  ( 2  / 
3 ) )  =  ( 1  /  3
)
199, 18eqtri 2136 . . 3  |-  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  /  3
) ) )  =  ( 1  /  3
)
20 1re 7729 . . . . 5  |-  1  e.  RR
21 0lt1 7853 . . . . 5  |-  0  <  1
22 1le1 8297 . . . . 5  |-  1  <_  1
23 0xr 7776 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
24 elioc2 9659 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  (
1  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1  /\  1  <_ 
1 ) ) )
2523, 20, 24mp2an 420 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1  /\  1  <_ 
1 ) )
26 cos01bnd 11364 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( cos `  1 )  /\  ( cos `  1 )  <  ( 1  -  ( ( 1 ^ 2 )  /  3
) ) ) )
2725, 26sylbir 134 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1  /\  1  <_  1 )  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( cos `  1 )  /\  ( cos `  1 )  <  ( 1  -  ( ( 1 ^ 2 )  /  3
) ) ) )
2820, 21, 22, 27mp3an 1298 . . . 4  |-  ( ( 1  -  ( 2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  / 
3 ) ) )  <  ( cos `  1
)  /\  ( cos `  1 )  <  (
1  -  ( ( 1 ^ 2 )  /  3 ) ) )
2928simpli 110 . . 3  |-  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  /  3
) ) )  < 
( cos `  1
)
3019, 29eqbrtrri 3919 . 2  |-  ( 1  /  3 )  < 
( cos `  1
)
3128simpri 112 . . 3  |-  ( cos `  1 )  < 
( 1  -  (
( 1 ^ 2 )  /  3 ) )
322oveq2i 5751 . . . 4  |-  ( 1  -  ( ( 1 ^ 2 )  / 
3 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  3 ) )
3310, 12, 11subadd2i 8014 . . . . 5  |-  ( ( 1  -  ( 1  /  3 ) )  =  ( 2  / 
3 )  <->  ( (
2  /  3 )  +  ( 1  / 
3 ) )  =  1 )
3417, 33mpbir 145 . . . 4  |-  ( 1  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 2  /  3
)
3532, 34eqtri 2136 . . 3  |-  ( 1  -  ( ( 1 ^ 2 )  / 
3 ) )  =  ( 2  /  3
)
3631, 35breqtri 3921 . 2  |-  ( cos `  1 )  < 
( 2  /  3
)
3730, 36pm3.2i 268 1  |-  ( ( 1  /  3 )  <  ( cos `  1
)  /\  ( cos `  1 )  <  (
2  /  3 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463   class class class wbr 3897   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   RRcr 7583   0cc0 7584   1c1 7585    + caddc 7587    x. cmul 7589   RR*cxr 7763    < clt 7764    <_ cle 7765    - cmin 7897    / cdiv 8392   2c2 8728   3c3 8729   (,]cioc 9612   ^cexp 10232   cosccos 11250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-5 8739  df-6 8740  df-7 8741  df-8 8742  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-ioc 9616  df-ico 9617  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-fac 10412  df-ihash 10462  df-shft 10527  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-clim 10988  df-sumdc 11063  df-ef 11253  df-cos 11256
This theorem is referenced by:  cos2bnd  11366
  Copyright terms: Public domain W3C validator