Theorem cos1bnd 12285

Description: Bounds on the cosine of 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos1bnd	|- ( ( 1 / 3 ) < ( cos ` 1 ) /\ ( cos ` 1 ) < ( 2 / 3 ) )

Proof of Theorem cos1bnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq1 10867	. . . . . . . 8 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
2	1	oveq1i 6017	. . . . . . 7 |- ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) = ( 1 / 3 )
3	2	oveq2i 6018	. . . . . 6 |- ( 2 x. ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) = ( 2 x. ( 1 / 3 ) )
4		2cn 9192	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
5		3cn 9196	. . . . . . 7 |- 3 e. CC
6		3ap0 9217	. . . . . . 7 |- 3 # 0
7	4, 5, 6	divrecapi 8915	. . . . . 6 |- ( 2 / 3 ) = ( 2 x. ( 1 / 3 ) )
8	3, 7	eqtr4i 2253	. . . . 5 |- ( 2 x. ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) = ( 2 / 3 )
9	8	oveq2i 6018	. . . 4 |- ( 1 - ( 2 x. ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 1 - ( 2 / 3 ) )
10		ax-1cn 8103	. . . . 5 |- 1 e. CC
11	4, 5, 6	divclapi 8912	. . . . 5 |- ( 2 / 3 ) e. CC
12	5, 6	recclapi 8900	. . . . 5 |- ( 1 / 3 ) e. CC
13		df-3 9181	. . . . . . 7 |- 3 = ( 2 + 1 )
14	13	oveq1i 6017	. . . . . 6 |- ( 3 / 3 ) = ( ( 2 + 1 ) / 3 )
15	5, 6	dividapi 8903	. . . . . 6 |- ( 3 / 3 ) = 1
16	4, 10, 5, 6	divdirapi 8927	. . . . . 6 |- ( ( 2 + 1 ) / 3 ) = ( ( 2 / 3 ) + ( 1 / 3 ) )
17	14, 15, 16	3eqtr3ri 2259	. . . . 5 |- ( ( 2 / 3 ) + ( 1 / 3 ) ) = 1
18	10, 11, 12, 17	subaddrii 8446	. . . 4 |- ( 1 - ( 2 / 3 ) ) = ( 1 / 3 )
19	9, 18	eqtri 2250	. . 3 |- ( 1 - ( 2 x. ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 1 / 3 )
20		1re 8156	. . . . 5 |- 1 e. RR
21		0lt1 8284	. . . . 5 |- 0 < 1
22		1le1 8730	. . . . 5 |- 1 <_ 1
23		0xr 8204	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
24		elioc2 10144	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( 1 e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( 1 e. RR /\ 0 < 1 /\ 1 <_ 1 ) ) )
25	23, 20, 24	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( 1 e. RR /\ 0 < 1 /\ 1 <_ 1 ) )
26		cos01bnd 12284	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` 1 ) /\ ( cos ` 1 ) < ( 1 - ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
27	25, 26	sylbir 135	. . . . 5 |- ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 /\ 1 <_ 1 ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` 1 ) /\ ( cos ` 1 ) < ( 1 - ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
28	20, 21, 22, 27	mp3an 1371	. . . 4 |- ( ( 1 - ( 2 x. ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` 1 ) /\ ( cos ` 1 ) < ( 1 - ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) )
29	28	simpli 111	. . 3 |- ( 1 - ( 2 x. ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` 1 )
30	19, 29	eqbrtrri 4106	. 2 |- ( 1 / 3 ) < ( cos ` 1 )
31	28	simpri 113	. . 3 |- ( cos ` 1 ) < ( 1 - ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) )
32	2	oveq2i 6018	. . . 4 |- ( 1 - ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) = ( 1 - ( 1 / 3 ) )
33	10, 12, 11	subadd2i 8445	. . . . 5 |- ( ( 1 - ( 1 / 3 ) ) = ( 2 / 3 ) <-> ( ( 2 / 3 ) + ( 1 / 3 ) ) = 1 )
34	17, 33	mpbir 146	. . . 4 |- ( 1 - ( 1 / 3 ) ) = ( 2 / 3 )
35	32, 34	eqtri 2250	. . 3 |- ( 1 - ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) = ( 2 / 3 )
36	31, 35	breqtri 4108	. 2 |- ( cos ` 1 ) < ( 2 / 3 )
37	30, 36	pm3.2i 272	1 |- ( ( 1 / 3 ) < ( cos ` 1 ) /\ ( cos ` 1 ) < ( 2 / 3 ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   RRcr 8009   0cc0 8010   1c1 8011   + caddc 8013   x. cmul 8015   RR*cxr 8191   < clt 8192   <_ cle 8193   - cmin 8328   / cdiv 8830   2c2 9172   3c3 9173   (,]cioc 10097   ^cexp 10772   cosccos 12171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-ioc 10101  df-ico 10102  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-fac 10960  df-ihash 11010  df-shft 11341  df-cj 11368  df-re 11369  df-im 11370  df-rsqrt 11524  df-abs 11525  df-clim 11805  df-sumdc 11880  df-ef 12174  df-cos 12177

This theorem is referenced by:  cos2bnd  12286