Theorem cos1bnd 12551

Description: Bounds on the cosine of 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos1bnd	|- ( ( 1 / 3 ) < ( cos ` 1 ) /\ ( cos ` 1 ) < ( 2 / 3 ) )

Proof of Theorem cos1bnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq1 11091	. . . . . . . 8 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
2	1	oveq1i 6098	. . . . . . 7 |- ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) = ( 1 / 3 )
3	2	oveq2i 6099	. . . . . 6 |- ( 2 x. ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) = ( 2 x. ( 1 / 3 ) )
4		2cn 9384	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
5		3cn 9388	. . . . . . 7 |- 3 e. CC
6		3ap0 9409	. . . . . . 7 |- 3 # 0
7	4, 5, 6	divrecapi 9095	. . . . . 6 |- ( 2 / 3 ) = ( 2 x. ( 1 / 3 ) )
8	3, 7	eqtr4i 2262	. . . . 5 |- ( 2 x. ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) = ( 2 / 3 )
9	8	oveq2i 6099	. . . 4 |- ( 1 - ( 2 x. ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 1 - ( 2 / 3 ) )
10		ax-1cn 8278	. . . . 5 |- 1 e. CC
11	4, 5, 6	divclapi 9092	. . . . 5 |- ( 2 / 3 ) e. CC
12	5, 6	recclapi 9080	. . . . 5 |- ( 1 / 3 ) e. CC
13		df-3 9373	. . . . . . 7 |- 3 = ( 2 + 1 )
14	13	oveq1i 6098	. . . . . 6 |- ( 3 / 3 ) = ( ( 2 + 1 ) / 3 )
15	5, 6	dividapi 9083	. . . . . 6 |- ( 3 / 3 ) = 1
16	4, 10, 5, 6	divdirapi 9107	. . . . . 6 |- ( ( 2 + 1 ) / 3 ) = ( ( 2 / 3 ) + ( 1 / 3 ) )
17	14, 15, 16	3eqtr3ri 2268	. . . . 5 |- ( ( 2 / 3 ) + ( 1 / 3 ) ) = 1
18	10, 11, 12, 17	subaddrii 8622	. . . 4 |- ( 1 - ( 2 / 3 ) ) = ( 1 / 3 )
19	9, 18	eqtri 2259	. . 3 |- ( 1 - ( 2 x. ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 1 / 3 )
20		1re 8331	. . . . 5 |- 1 e. RR
21		0lt1 8460	. . . . 5 |- 0 < 1
22		1le1 8908	. . . . 5 |- 1 <_ 1
23		0xr 8378	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
24		elioc2 10355	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( 1 e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( 1 e. RR /\ 0 < 1 /\ 1 <_ 1 ) ) )
25	23, 20, 24	mp2an 430	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( 1 e. RR /\ 0 < 1 /\ 1 <_ 1 ) )
26		cos01bnd 12550	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` 1 ) /\ ( cos ` 1 ) < ( 1 - ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
27	25, 26	sylbir 135	. . . . 5 |- ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 /\ 1 <_ 1 ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` 1 ) /\ ( cos ` 1 ) < ( 1 - ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
28	20, 21, 22, 27	mp3an 1378	. . . 4 |- ( ( 1 - ( 2 x. ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` 1 ) /\ ( cos ` 1 ) < ( 1 - ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) )
29	28	simpli 111	. . 3 |- ( 1 - ( 2 x. ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` 1 )
30	19, 29	eqbrtrri 4154	. 2 |- ( 1 / 3 ) < ( cos ` 1 )
31	28	simpri 113	. . 3 |- ( cos ` 1 ) < ( 1 - ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) )
32	2	oveq2i 6099	. . . 4 |- ( 1 - ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) = ( 1 - ( 1 / 3 ) )
33	10, 12, 11	subadd2i 8621	. . . . 5 |- ( ( 1 - ( 1 / 3 ) ) = ( 2 / 3 ) <-> ( ( 2 / 3 ) + ( 1 / 3 ) ) = 1 )
34	17, 33	mpbir 146	. . . 4 |- ( 1 - ( 1 / 3 ) ) = ( 2 / 3 )
35	32, 34	eqtri 2259	. . 3 |- ( 1 - ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) = ( 2 / 3 )
36	31, 35	breqtri 4156	. 2 |- ( cos ` 1 ) < ( 2 / 3 )
37	30, 36	pm3.2i 272	1 |- ( ( 1 / 3 ) < ( cos ` 1 ) /\ ( cos ` 1 ) < ( 2 / 3 ) )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   RRcr 8184   0cc0 8185   1c1 8186   + caddc 8188   x. cmul 8190   RR*cxr 8365   < clt 8366   <_ cle 8367   - cmin 8504   / cdiv 9010   2c2 9364   3c3 9365   (,]cioc 10308   ^cexp 10996   cosccos 12437

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-ioc 10312  df-ico 10313  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-fac 11186  df-ihash 11237  df-shft 11602  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070  df-sumdc 12145  df-ef 12440  df-cos 12443

This theorem is used by:  cos2bnd  12552