Theorem cos1bnd 12504

Description: Bounds on the cosine of 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos1bnd	|- ( ( 1 / 3 ) < ( cos ` 1 ) /\ ( cos ` 1 ) < ( 2 / 3 ) )

Proof of Theorem cos1bnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq1 11048	. . . . . . . 8 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
2	1	oveq1i 6085	. . . . . . 7 |- ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) = ( 1 / 3 )
3	2	oveq2i 6086	. . . . . 6 |- ( 2 x. ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) = ( 2 x. ( 1 / 3 ) )
4		2cn 9354	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
5		3cn 9358	. . . . . . 7 |- 3 e. CC
6		3ap0 9379	. . . . . . 7 |- 3 # 0
7	4, 5, 6	divrecapi 9077	. . . . . 6 |- ( 2 / 3 ) = ( 2 x. ( 1 / 3 ) )
8	3, 7	eqtr4i 2262	. . . . 5 |- ( 2 x. ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) = ( 2 / 3 )
9	8	oveq2i 6086	. . . 4 |- ( 1 - ( 2 x. ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 1 - ( 2 / 3 ) )
10		ax-1cn 8262	. . . . 5 |- 1 e. CC
11	4, 5, 6	divclapi 9074	. . . . 5 |- ( 2 / 3 ) e. CC
12	5, 6	recclapi 9062	. . . . 5 |- ( 1 / 3 ) e. CC
13		df-3 9343	. . . . . . 7 |- 3 = ( 2 + 1 )
14	13	oveq1i 6085	. . . . . 6 |- ( 3 / 3 ) = ( ( 2 + 1 ) / 3 )
15	5, 6	dividapi 9065	. . . . . 6 |- ( 3 / 3 ) = 1
16	4, 10, 5, 6	divdirapi 9089	. . . . . 6 |- ( ( 2 + 1 ) / 3 ) = ( ( 2 / 3 ) + ( 1 / 3 ) )
17	14, 15, 16	3eqtr3ri 2268	. . . . 5 |- ( ( 2 / 3 ) + ( 1 / 3 ) ) = 1
18	10, 11, 12, 17	subaddrii 8605	. . . 4 |- ( 1 - ( 2 / 3 ) ) = ( 1 / 3 )
19	9, 18	eqtri 2259	. . 3 |- ( 1 - ( 2 x. ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 1 / 3 )
20		1re 8315	. . . . 5 |- 1 e. RR
21		0lt1 8443	. . . . 5 |- 0 < 1
22		1le1 8890	. . . . 5 |- 1 <_ 1
23		0xr 8362	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
24		elioc2 10317	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( 1 e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( 1 e. RR /\ 0 < 1 /\ 1 <_ 1 ) ) )
25	23, 20, 24	mp2an 430	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( 1 e. RR /\ 0 < 1 /\ 1 <_ 1 ) )
26		cos01bnd 12503	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` 1 ) /\ ( cos ` 1 ) < ( 1 - ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
27	25, 26	sylbir 135	. . . . 5 |- ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 /\ 1 <_ 1 ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` 1 ) /\ ( cos ` 1 ) < ( 1 - ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
28	20, 21, 22, 27	mp3an 1378	. . . 4 |- ( ( 1 - ( 2 x. ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` 1 ) /\ ( cos ` 1 ) < ( 1 - ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) )
29	28	simpli 111	. . 3 |- ( 1 - ( 2 x. ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` 1 )
30	19, 29	eqbrtrri 4148	. 2 |- ( 1 / 3 ) < ( cos ` 1 )
31	28	simpri 113	. . 3 |- ( cos ` 1 ) < ( 1 - ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) )
32	2	oveq2i 6086	. . . 4 |- ( 1 - ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) = ( 1 - ( 1 / 3 ) )
33	10, 12, 11	subadd2i 8604	. . . . 5 |- ( ( 1 - ( 1 / 3 ) ) = ( 2 / 3 ) <-> ( ( 2 / 3 ) + ( 1 / 3 ) ) = 1 )
34	17, 33	mpbir 146	. . . 4 |- ( 1 - ( 1 / 3 ) ) = ( 2 / 3 )
35	32, 34	eqtri 2259	. . 3 |- ( 1 - ( ( 1 ^ 2 ) / 3 ) ) = ( 2 / 3 )
36	31, 35	breqtri 4150	. 2 |- ( cos ` 1 ) < ( 2 / 3 )
37	30, 36	pm3.2i 272	1 |- ( ( 1 / 3 ) < ( cos ` 1 ) /\ ( cos ` 1 ) < ( 2 / 3 ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   x. cmul 8174   RR*cxr 8349   < clt 8350   <_ cle 8351   - cmin 8487   / cdiv 8992   2c2 9334   3c3 9335   (,]cioc 10270   ^cexp 10953   cosccos 12390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-ioc 10274  df-ico 10275  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-fac 11142  df-ihash 11193  df-shft 11558  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098  df-ef 12393  df-cos 12396

This theorem is referenced by:  cos2bnd  12505