Theorem climi0 11252

Description: Convergence of a sequence of complex numbers to zero. (Contributed by NM, 11-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climi.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climi.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
climi.3	|- ( ph -> C e. RR+ )
climi.4	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
climi0.5	|- ( ph -> F ~~> 0 )

Assertion

Ref	Expression
climi0	|- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` B ) < C )

Distinct variable groups:   j, k, C   j, F, k   ph, j, k   j, Z, k   j, M

Allowed substitution hints:   B( j, k)   M( k)

Proof of Theorem climi0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climi.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		climi.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		climi.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR+ )
4		climi.4	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
5		climi0.5	. . 3 |- ( ph -> F ~~> 0 )
6	1, 2, 3, 4, 5	climi 11250	. 2 |- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - 0 ) ) < C ) )
7		subid1 8139	. . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( B - 0 ) = B )
8	7	fveq2d 5500	. . . . . 6 |- ( B e. CC -> ( abs ` ( B - 0 ) ) = ( abs ` B ) )
9	8	breq1d 3999	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( ( abs ` ( B - 0 ) ) < C <-> ( abs ` B ) < C ) )
10	9	biimpa 294	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - 0 ) ) < C ) -> ( abs ` B ) < C )
11	10	ralimi 2533	. . 3 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - 0 ) ) < C ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` B ) < C )
12	11	reximi 2567	. 2 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - 0 ) ) < C ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` B ) < C )
13	6, 12	syl 14	1 |- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` B ) < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   0cc0 7774   < clt 7954   - cmin 8090   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   RR+crp 9610   abscabs 10961   ~~> cli 11241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-clim 11242

This theorem is referenced by:  mertenslem2  11499