Theorem climi0 11471

Description: Convergence of a sequence of complex numbers to zero. (Contributed by NM, 11-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climi.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climi.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
climi.3	|- ( ph -> C e. RR+ )
climi.4	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
climi0.5	|- ( ph -> F ~~> 0 )

Assertion

Ref	Expression
climi0	|- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` B ) < C )

Distinct variable groups:   j, k, C   j, F, k   ph, j, k   j, Z, k   j, M

Allowed substitution hints:   B( j, k)   M( k)

Proof of Theorem climi0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climi.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		climi.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		climi.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR+ )
4		climi.4	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
5		climi0.5	. . 3 |- ( ph -> F ~~> 0 )
6	1, 2, 3, 4, 5	climi 11469	. 2 |- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - 0 ) ) < C ) )
7		subid1 8263	. . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( B - 0 ) = B )
8	7	fveq2d 5565	. . . . . 6 |- ( B e. CC -> ( abs ` ( B - 0 ) ) = ( abs ` B ) )
9	8	breq1d 4044	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( ( abs ` ( B - 0 ) ) < C <-> ( abs ` B ) < C ) )
10	9	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - 0 ) ) < C ) -> ( abs ` B ) < C )
11	10	ralimi 2560	. . 3 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - 0 ) ) < C ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` B ) < C )
12	11	reximi 2594	. 2 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - 0 ) ) < C ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` B ) < C )
13	6, 12	syl 14	1 |- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` B ) < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7894   0cc0 7896   < clt 8078   - cmin 8214   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   RR+crp 9745   abscabs 11179   ~~> cli 11460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-clim 11461

This theorem is referenced by:  mertenslem2  11718