Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  geo2lim Unicode version

Theorem geo2lim 11278
 Description: The value of the infinite geometric series ... , multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
geo2lim.1
Assertion
Ref Expression
geo2lim
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem geo2lim
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9354 . . 3
2 1zzd 9074 . . 3
3 halfcn 8927 . . . . . . 7
43a1i 9 . . . . . 6
5 halfre 8926 . . . . . . . . 9
6 halfge0 8929 . . . . . . . . 9
7 absid 10836 . . . . . . . . 9
85, 6, 7mp2an 422 . . . . . . . 8
9 halflt1 8930 . . . . . . . 8
108, 9eqbrtri 3944 . . . . . . 7
1110a1i 9 . . . . . 6
124, 11expcnv 11266 . . . . 5
13 id 19 . . . . 5
14 geo2lim.1 . . . . . . 7
15 nnex 8719 . . . . . . . 8
1615mptex 5639 . . . . . . 7
1714, 16eqeltri 2210 . . . . . 6
1817a1i 9 . . . . 5
19 nnnn0 8977 . . . . . . . 8
2019adantl 275 . . . . . . 7
213a1i 9 . . . . . . . 8
2221, 20expcld 10417 . . . . . . 7
23 oveq2 5775 . . . . . . . 8
24 eqid 2137 . . . . . . . 8
2523, 24fvmptg 5490 . . . . . . 7
2620, 22, 25syl2anc 408 . . . . . 6
2726, 22eqeltrd 2214 . . . . 5
28 simpl 108 . . . . . . 7
29 2nn 8874 . . . . . . . . 9
30 nnexpcl 10299 . . . . . . . . 9
3129, 20, 30sylancr 410 . . . . . . . 8
3231nncnd 8727 . . . . . . 7
3331nnap0d 8759 . . . . . . 7 #
3428, 32, 33divrecapd 8546 . . . . . 6
35 simpr 109 . . . . . . 7
3628, 32, 33divclapd 8543 . . . . . . 7
37 oveq2 5775 . . . . . . . . 9
3837oveq2d 5783 . . . . . . . 8
3938, 14fvmptg 5490 . . . . . . 7
4035, 36, 39syl2anc 408 . . . . . 6
41 2cn 8784 . . . . . . . . 9
42 2ap0 8806 . . . . . . . . 9 #
43 nnz 9066 . . . . . . . . . 10
4443adantl 275 . . . . . . . . 9
45 exprecap 10327 . . . . . . . . 9 #
4641, 42, 44, 45mp3an12i 1319 . . . . . . . 8
4726, 46eqtrd 2170 . . . . . . 7
4847oveq2d 5783 . . . . . 6
4934, 40, 483eqtr4d 2180 . . . . 5
501, 2, 12, 13, 18, 27, 49climmulc2 11093 . . . 4
51 mul01 8144 . . . 4
5250, 51breqtrd 3949 . . 3
53 seqex 10213 . . . 4
5453a1i 9 . . 3
5540, 36eqeltrd 2214 . . 3
5640oveq2d 5783 . . . 4
57 geo2sum 11276 . . . . 5
5857ancoms 266 . . . 4
59 elnnuz 9355 . . . . . . . 8
6059biimpri 132 . . . . . . 7
6160adantl 275 . . . . . 6
62 simpll 518 . . . . . . 7
6341a1i 9 . . . . . . . 8
6461nnnn0d 9023 . . . . . . . 8
6563, 64expcld 10417 . . . . . . 7
6642a1i 9 . . . . . . . 8 #
6761nnzd 9165 . . . . . . . 8
6863, 66, 67expap0d 10423 . . . . . . 7 #
6962, 65, 68divclapd 8543 . . . . . 6
70 oveq2 5775 . . . . . . . 8
7170oveq2d 5783 . . . . . . 7
7271, 14fvmptg 5490 . . . . . 6
7361, 69, 72syl2anc 408 . . . . 5
7435, 1eleqtrdi 2230 . . . . 5
7573, 74, 69fsum3ser 11159 . . . 4
7656, 58, 753eqtr2rd 2177 . . 3
771, 2, 52, 13, 54, 55, 76climsubc2 11095 . 2
78 subid1 7975 . 2
7977, 78breqtrd 3949 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1331   wcel 1480  cvv 2681   class class class wbr 3924   cmpt 3984  cfv 5118  (class class class)co 5767  cc 7611  cr 7612  cc0 7613  c1 7614   caddc 7616   cmul 7618   clt 7793   cle 7794   cmin 7926   # cap 8336   cdiv 8425  cn 8713  c2 8764  cn0 8970  cz 9047  cuz 9319  cfz 9783   cseq 10211  cexp 10285  cabs 10762   cli 11040  csu 11115 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-frec 6281  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-ihash 10515  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-clim 11041  df-sumdc 11116 This theorem is referenced by:  trilpolemeq1  13222
 Copyright terms: Public domain W3C validator