Theorem tfrcldm 6418

Description: Recursion is defined on an ordinal if the characteristic function satisfies a closure hypothesis up to a suitable point. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrcl.f	|- F = recs ( G )
tfrcl.g	|- ( ph -> Fun G )
tfrcl.x	|- ( ph -> Ord X )
tfrcl.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
tfrcl.u	|- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
tfrcl.yx	|- ( ph -> Y e. U. X )

Assertion

Ref	Expression
tfrcldm	|- ( ph -> Y e. dom F )

Distinct variable groups:   f, G, x   S, f, x   f, X, x   f, Y, x   ph, f, x

Allowed substitution hints:   F( x, f)

Proof of Theorem tfrcldm

Dummy variables z a b y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrcl.yx	. . 3 |- ( ph -> Y e. U. X )
2		eluni 3839	. . 3 |- ( Y e. U. X <-> E. z ( Y e. z /\ z e. X ) )
3	1, 2	sylib 122	. 2 |- ( ph -> E. z ( Y e. z /\ z e. X ) )
4		tfrcl.f	. . . 4 |- F = recs ( G )
5		tfrcl.g	. . . . 5 |- ( ph -> Fun G )
6	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) -> Fun G )
7		tfrcl.x	. . . . 5 |- ( ph -> Ord X )
8	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) -> Ord X )
9		tfrcl.ex	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
10	9	3adant1r 1233	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
11		feq2 5388	. . . . . . . 8 |- ( a = x -> ( f : a --> S <-> f : x --> S ) )
12		raleq 2690	. . . . . . . 8 |- ( a = x -> ( A. b e. a ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) <-> A. b e. x ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) )
13	11, 12	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( a = x -> ( ( f : a --> S /\ A. b e. a ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) <-> ( f : x --> S /\ A. b e. x ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) ) )
14	13	cbvrexv 2727	. . . . . 6 |- ( E. a e. X ( f : a --> S /\ A. b e. a ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) <-> E. x e. X ( f : x --> S /\ A. b e. x ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) )
15		fveq2 5555	. . . . . . . . . 10 |- ( b = y -> ( f ` b ) = ( f ` y ) )
16		reseq2 4938	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = y -> ( f |` b ) = ( f |` y ) )
17	16	fveq2d 5559	. . . . . . . . . 10 |- ( b = y -> ( G ` ( f |` b ) ) = ( G ` ( f |` y ) ) )
18	15, 17	eqeq12d 2208	. . . . . . . . 9 |- ( b = y -> ( ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) <-> ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) )
19	18	cbvralv 2726	. . . . . . . 8 |- ( A. b e. x ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) <-> A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) )
20	19	anbi2i 457	. . . . . . 7 |- ( ( f : x --> S /\ A. b e. x ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) <-> ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) )
21	20	rexbii 2501	. . . . . 6 |- ( E. x e. X ( f : x --> S /\ A. b e. x ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) <-> E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) )
22	14, 21	bitri 184	. . . . 5 |- ( E. a e. X ( f : a --> S /\ A. b e. a ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) <-> E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) )
23	22	abbii 2309	. . . 4 |- { f | E. a e. X ( f : a --> S /\ A. b e. a ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) } = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
24		tfrcl.u	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
25	24	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
26		simprr 531	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) -> z e. X )
27	4, 6, 8, 10, 23, 25, 26	tfrcllemres 6417	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) -> z C_ dom F )
28		simprl 529	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) -> Y e. z )
29	27, 28	sseldd 3181	. 2 |- ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) -> Y e. dom F )
30	3, 29	exlimddv 1910	1 |- ( ph -> Y e. dom F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   {cab 2179   A.wral 2472   E.wrex 2473   U.cuni 3836   Ord word 4394   suc csuc 4397   dom cdm 4660   |` cres 4662   Fun wfun 5249   -->wf 5251   ` cfv 5255  recscrecs 6359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6360

This theorem is referenced by:  tfrcl  6419  frecfcllem  6459  frecsuclem  6461