Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tfrcldm Unicode version

Theorem tfrcldm 6269
 Description: Recursion is defined on an ordinal if the characteristic function satisfies a closure hypothesis up to a suitable point. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrcl.f recs
tfrcl.g
tfrcl.x
tfrcl.ex
tfrcl.u
tfrcl.yx
Assertion
Ref Expression
tfrcldm
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem tfrcldm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfrcl.yx . . 3
2 eluni 3748 . . 3
31, 2sylib 121 . 2
4 tfrcl.f . . . 4 recs
5 tfrcl.g . . . . 5
65adantr 274 . . . 4
7 tfrcl.x . . . . 5
87adantr 274 . . . 4
9 tfrcl.ex . . . . 5
1093adant1r 1210 . . . 4
11 feq2 5265 . . . . . . . 8
12 raleq 2630 . . . . . . . 8
1311, 12anbi12d 465 . . . . . . 7
1413cbvrexv 2659 . . . . . 6
15 fveq2 5430 . . . . . . . . . 10
16 reseq2 4823 . . . . . . . . . . 11
1716fveq2d 5434 . . . . . . . . . 10
1815, 17eqeq12d 2155 . . . . . . . . 9
1918cbvralv 2658 . . . . . . . 8
2019anbi2i 453 . . . . . . 7
2120rexbii 2446 . . . . . 6
2214, 21bitri 183 . . . . 5
2322abbii 2256 . . . 4
24 tfrcl.u . . . . 5
2524adantlr 469 . . . 4
26 simprr 522 . . . 4
274, 6, 8, 10, 23, 25, 26tfrcllemres 6268 . . 3
28 simprl 521 . . 3
2927, 28sseldd 3104 . 2
303, 29exlimddv 1871 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   w3a 963   wceq 1332  wex 1469   wcel 1481  cab 2126  wral 2417  wrex 2418  cuni 3745   word 4293   csuc 4296   cdm 4548   cres 4550   wfun 5126  wf 5128  cfv 5132  recscrecs 6210 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-iord 4297  df-on 4299  df-suc 4302  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-recs 6211 This theorem is referenced by:  tfrcl  6270  frecfcllem  6310  frecsuclem  6312
 Copyright terms: Public domain W3C validator