Theorem tfrcldm 6624

Description: Recursion is defined on an ordinal if the characteristic function satisfies a closure hypothesis up to a suitable point. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrcl.f	|- F = recs ( G )
tfrcl.g	|- ( ph -> Fun G )
tfrcl.x	|- ( ph -> Ord X )
tfrcl.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
tfrcl.u	|- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
tfrcl.yx	|- ( ph -> Y e. U. X )

Assertion

Ref	Expression
tfrcldm	|- ( ph -> Y e. dom F )

Distinct variable groups:   f, G, x   S, f, x   f, X, x   f, Y, x   ph, f, x

Allowed substitution hints:   F( x, f)

Proof of Theorem tfrcldm

Dummy variables z a b y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrcl.yx	. . 3 |- ( ph -> Y e. U. X )
2		eluni 3933	. . 3 |- ( Y e. U. X <-> E. z ( Y e. z /\ z e. X ) )
3	1, 2	sylib 122	. 2 |- ( ph -> E. z ( Y e. z /\ z e. X ) )
4		tfrcl.f	. . . 4 |- F = recs ( G )
5		tfrcl.g	. . . . 5 |- ( ph -> Fun G )
6	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) -> Fun G )
7		tfrcl.x	. . . . 5 |- ( ph -> Ord X )
8	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) -> Ord X )
9		tfrcl.ex	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
10	9	3adant1r 1262	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
11		feq2 5512	. . . . . . . 8 |- ( a = x -> ( f : a --> S <-> f : x --> S ) )
12		raleq 2749	. . . . . . . 8 |- ( a = x -> ( A. b e. a ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) <-> A. b e. x ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) )
13	11, 12	anbi12d 477	. . . . . . 7 |- ( a = x -> ( ( f : a --> S /\ A. b e. a ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) <-> ( f : x --> S /\ A. b e. x ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) ) )
14	13	cbvrexv 2787	. . . . . 6 |- ( E. a e. X ( f : a --> S /\ A. b e. a ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) <-> E. x e. X ( f : x --> S /\ A. b e. x ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) )
15		fveq2 5690	. . . . . . . . . 10 |- ( b = y -> ( f ` b ) = ( f ` y ) )
16		reseq2 5053	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = y -> ( f |` b ) = ( f |` y ) )
17	16	fveq2d 5694	. . . . . . . . . 10 |- ( b = y -> ( G ` ( f |` b ) ) = ( G ` ( f |` y ) ) )
18	15, 17	eqeq12d 2253	. . . . . . . . 9 |- ( b = y -> ( ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) <-> ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) )
19	18	cbvralv 2786	. . . . . . . 8 |- ( A. b e. x ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) <-> A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) )
20	19	anbi2i 461	. . . . . . 7 |- ( ( f : x --> S /\ A. b e. x ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) <-> ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) )
21	20	rexbii 2557	. . . . . 6 |- ( E. x e. X ( f : x --> S /\ A. b e. x ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) <-> E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) )
22	14, 21	bitri 184	. . . . 5 |- ( E. a e. X ( f : a --> S /\ A. b e. a ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) <-> E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) )
23	22	abbii 2354	. . . 4 |- { f | E. a e. X ( f : a --> S /\ A. b e. a ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) } = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
24		tfrcl.u	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
25	24	adantlr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
26		simprr 537	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) -> z e. X )
27	4, 6, 8, 10, 23, 25, 26	tfrcllemres 6623	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) -> z C_ dom F )
28		simprl 535	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) -> Y e. z )
29	27, 28	sseldd 3249	. 2 |- ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) -> Y e. dom F )
30	3, 29	exlimddv 1954	1 |- ( ph -> Y e. dom F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   E.wrex 2529   U.cuni 3930   Ord word 4502   suc csuc 4505   dom cdm 4769   |` cres 4771   Fun wfun 5366   -->wf 5368   ` cfv 5372  recscrecs 6565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-recs 6566

This theorem is referenced by:  tfrcl  6625  frecfcllem  6665  frecsuclem  6667