Theorem tfrcldm 6572

Description: Recursion is defined on an ordinal if the characteristic function satisfies a closure hypothesis up to a suitable point. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrcl.f	|- F = recs ( G )
tfrcl.g	|- ( ph -> Fun G )
tfrcl.x	|- ( ph -> Ord X )
tfrcl.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
tfrcl.u	|- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
tfrcl.yx	|- ( ph -> Y e. U. X )

Assertion

Ref	Expression
tfrcldm	|- ( ph -> Y e. dom F )

Distinct variable groups:   f, G, x   S, f, x   f, X, x   f, Y, x   ph, f, x

Allowed substitution hints:   F( x, f)

Proof of Theorem tfrcldm

Dummy variables z a b y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrcl.yx	. . 3 |- ( ph -> Y e. U. X )
2		eluni 3901	. . 3 |- ( Y e. U. X <-> E. z ( Y e. z /\ z e. X ) )
3	1, 2	sylib 122	. 2 |- ( ph -> E. z ( Y e. z /\ z e. X ) )
4		tfrcl.f	. . . 4 |- F = recs ( G )
5		tfrcl.g	. . . . 5 |- ( ph -> Fun G )
6	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) -> Fun G )
7		tfrcl.x	. . . . 5 |- ( ph -> Ord X )
8	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) -> Ord X )
9		tfrcl.ex	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
10	9	3adant1r 1258	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
11		feq2 5473	. . . . . . . 8 |- ( a = x -> ( f : a --> S <-> f : x --> S ) )
12		raleq 2731	. . . . . . . 8 |- ( a = x -> ( A. b e. a ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) <-> A. b e. x ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) )
13	11, 12	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( a = x -> ( ( f : a --> S /\ A. b e. a ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) <-> ( f : x --> S /\ A. b e. x ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) ) )
14	13	cbvrexv 2769	. . . . . 6 |- ( E. a e. X ( f : a --> S /\ A. b e. a ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) <-> E. x e. X ( f : x --> S /\ A. b e. x ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) )
15		fveq2 5648	. . . . . . . . . 10 |- ( b = y -> ( f ` b ) = ( f ` y ) )
16		reseq2 5014	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = y -> ( f |` b ) = ( f |` y ) )
17	16	fveq2d 5652	. . . . . . . . . 10 |- ( b = y -> ( G ` ( f |` b ) ) = ( G ` ( f |` y ) ) )
18	15, 17	eqeq12d 2246	. . . . . . . . 9 |- ( b = y -> ( ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) <-> ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) )
19	18	cbvralv 2768	. . . . . . . 8 |- ( A. b e. x ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) <-> A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) )
20	19	anbi2i 457	. . . . . . 7 |- ( ( f : x --> S /\ A. b e. x ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) <-> ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) )
21	20	rexbii 2540	. . . . . 6 |- ( E. x e. X ( f : x --> S /\ A. b e. x ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) <-> E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) )
22	14, 21	bitri 184	. . . . 5 |- ( E. a e. X ( f : a --> S /\ A. b e. a ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) <-> E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) )
23	22	abbii 2347	. . . 4 |- { f | E. a e. X ( f : a --> S /\ A. b e. a ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) } = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
24		tfrcl.u	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
25	24	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
26		simprr 533	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) -> z e. X )
27	4, 6, 8, 10, 23, 25, 26	tfrcllemres 6571	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) -> z C_ dom F )
28		simprl 531	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) -> Y e. z )
29	27, 28	sseldd 3229	. 2 |- ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) -> Y e. dom F )
30	3, 29	exlimddv 1947	1 |- ( ph -> Y e. dom F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   {cab 2217   A.wral 2511   E.wrex 2512   U.cuni 3898   Ord word 4465   suc csuc 4468   dom cdm 4731   |` cres 4733   Fun wfun 5327   -->wf 5329   ` cfv 5333  recscrecs 6513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-recs 6514

This theorem is referenced by:  tfrcl  6573  frecfcllem  6613  frecsuclem  6615