Theorem tfrcldm 6472

Description: Recursion is defined on an ordinal if the characteristic function satisfies a closure hypothesis up to a suitable point. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrcl.f	|- F = recs ( G )
tfrcl.g	|- ( ph -> Fun G )
tfrcl.x	|- ( ph -> Ord X )
tfrcl.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
tfrcl.u	|- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
tfrcl.yx	|- ( ph -> Y e. U. X )

Assertion

Ref	Expression
tfrcldm	|- ( ph -> Y e. dom F )

Distinct variable groups:   f, G, x   S, f, x   f, X, x   f, Y, x   ph, f, x

Allowed substitution hints:   F( x, f)

Proof of Theorem tfrcldm

Dummy variables z a b y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrcl.yx	. . 3 |- ( ph -> Y e. U. X )
2		eluni 3867	. . 3 |- ( Y e. U. X <-> E. z ( Y e. z /\ z e. X ) )
3	1, 2	sylib 122	. 2 |- ( ph -> E. z ( Y e. z /\ z e. X ) )
4		tfrcl.f	. . . 4 |- F = recs ( G )
5		tfrcl.g	. . . . 5 |- ( ph -> Fun G )
6	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) -> Fun G )
7		tfrcl.x	. . . . 5 |- ( ph -> Ord X )
8	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) -> Ord X )
9		tfrcl.ex	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
10	9	3adant1r 1234	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
11		feq2 5429	. . . . . . . 8 |- ( a = x -> ( f : a --> S <-> f : x --> S ) )
12		raleq 2705	. . . . . . . 8 |- ( a = x -> ( A. b e. a ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) <-> A. b e. x ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) )
13	11, 12	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( a = x -> ( ( f : a --> S /\ A. b e. a ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) <-> ( f : x --> S /\ A. b e. x ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) ) )
14	13	cbvrexv 2743	. . . . . 6 |- ( E. a e. X ( f : a --> S /\ A. b e. a ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) <-> E. x e. X ( f : x --> S /\ A. b e. x ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) )
15		fveq2 5599	. . . . . . . . . 10 |- ( b = y -> ( f ` b ) = ( f ` y ) )
16		reseq2 4973	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = y -> ( f |` b ) = ( f |` y ) )
17	16	fveq2d 5603	. . . . . . . . . 10 |- ( b = y -> ( G ` ( f |` b ) ) = ( G ` ( f |` y ) ) )
18	15, 17	eqeq12d 2222	. . . . . . . . 9 |- ( b = y -> ( ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) <-> ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) )
19	18	cbvralv 2742	. . . . . . . 8 |- ( A. b e. x ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) <-> A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) )
20	19	anbi2i 457	. . . . . . 7 |- ( ( f : x --> S /\ A. b e. x ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) <-> ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) )
21	20	rexbii 2515	. . . . . 6 |- ( E. x e. X ( f : x --> S /\ A. b e. x ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) <-> E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) )
22	14, 21	bitri 184	. . . . 5 |- ( E. a e. X ( f : a --> S /\ A. b e. a ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) <-> E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) )
23	22	abbii 2323	. . . 4 |- { f | E. a e. X ( f : a --> S /\ A. b e. a ( f ` b ) = ( G ` ( f |` b ) ) ) } = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
24		tfrcl.u	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
25	24	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
26		simprr 531	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) -> z e. X )
27	4, 6, 8, 10, 23, 25, 26	tfrcllemres 6471	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) -> z C_ dom F )
28		simprl 529	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) -> Y e. z )
29	27, 28	sseldd 3202	. 2 |- ( ( ph /\ ( Y e. z /\ z e. X ) ) -> Y e. dom F )
30	3, 29	exlimddv 1923	1 |- ( ph -> Y e. dom F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   {cab 2193   A.wral 2486   E.wrex 2487   U.cuni 3864   Ord word 4427   suc csuc 4430   dom cdm 4693   |` cres 4695   Fun wfun 5284   -->wf 5286   ` cfv 5290  recscrecs 6413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-recs 6414

This theorem is referenced by:  tfrcl  6473  frecfcllem  6513  frecsuclem  6515