Theorem cnlimc 14598

Description: F is a continuous function iff the limit of the function at each point equals the value of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cnlimc	|- ( A C_ CC -> ( F e. ( A -cn-> CC ) <-> ( F : A --> CC /\ A. x e. A ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, F

Proof of Theorem cnlimc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3190	. . . 4 |- CC C_ CC
2		eqid 2189	. . . . 5 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
3		eqid 2189	. . . . 5 |- ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) = ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A )
4	2	cntoptopon 14489	. . . . . 6 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC )
5	4	toponrestid 13978	. . . . 5 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t CC )
6	2, 3, 5	cncfcncntop 14537	. . . 4 |- ( ( A C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( A -cn-> CC ) = ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) )
7	1, 6	mpan2 425	. . 3 |- ( A C_ CC -> ( A -cn-> CC ) = ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) )
8	7	eleq2d 2259	. 2 |- ( A C_ CC -> ( F e. ( A -cn-> CC ) <-> F e. ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ) )
9		resttopon 14128	. . . 4 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
10	4, 9	mpan 424	. . 3 |- ( A C_ CC -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
11		cncnp 14187	. . 3 |- ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) e. (TopOn ` A ) /\ ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC ) ) -> ( F e. ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) <-> ( F : A --> CC /\ A. x e. A F e. ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) CnP ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ` x ) ) ) )
12	10, 4, 11	sylancl 413	. 2 |- ( A C_ CC -> ( F e. ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) <-> ( F : A --> CC /\ A. x e. A F e. ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) CnP ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ` x ) ) ) )
13	2, 3	cnplimccntop 14596	. . . . . 6 |- ( ( A C_ CC /\ x e. A ) -> ( F e. ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) CnP ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ` x ) <-> ( F : A --> CC /\ ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) ) )
14	13	baibd 924	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ CC /\ x e. A ) /\ F : A --> CC ) -> ( F e. ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) CnP ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ` x ) <-> ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) )
15	14	an32s 568	. . . 4 |- ( ( ( A C_ CC /\ F : A --> CC ) /\ x e. A ) -> ( F e. ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) CnP ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ` x ) <-> ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) )
16	15	ralbidva 2486	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ F : A --> CC ) -> ( A. x e. A F e. ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) CnP ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ` x ) <-> A. x e. A ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) )
17	16	pm5.32da 452	. 2 |- ( A C_ CC -> ( ( F : A --> CC /\ A. x e. A F e. ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) CnP ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ` x ) ) <-> ( F : A --> CC /\ A. x e. A ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) ) )
18	8, 12, 17	3bitrd 214	1 |- ( A C_ CC -> ( F e. ( A -cn-> CC ) <-> ( F : A --> CC /\ A. x e. A ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   C_ wss 3144   o. ccom 4648   -->wf 5231   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   CCcc 7839   - cmin 8158   abscabs 11038   ↾_t crest 12744   MetOpencmopn 13854  TopOnctopon 13967   Cn ccn 14142   CnP ccnp 14143   -cn->ccncf 14514   lim CC climc 14580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-map 6676  df-pm 6677  df-sup 7013  df-inf 7014  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-xneg 9802  df-xadd 9803  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-rest 12746  df-topgen 12765  df-psmet 13856  df-xmet 13857  df-met 13858  df-bl 13859  df-mopn 13860  df-top 13955  df-topon 13968  df-bases 14000  df-cn 14145  df-cnp 14146  df-cncf 14515  df-limced 14582

This theorem is referenced by: (None)