Theorem cnlimcim 14991

Description: If F is a continuous function, the limit of the function at each point equals the value of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnlimcim	|- ( A C_ CC -> ( F e. ( A -cn-> CC ) -> ( F : A --> CC /\ A. x e. A ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, F

Proof of Theorem cnlimcim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3204	. . . . 5 |- CC C_ CC
2		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
3		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) = ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A )
4	2	cntoptopon 14852	. . . . . . 7 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC )
5	4	toponrestid 14341	. . . . . 6 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t CC )
6	2, 3, 5	cncfcncntop 14913	. . . . 5 |- ( ( A C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( A -cn-> CC ) = ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) )
7	1, 6	mpan2 425	. . . 4 |- ( A C_ CC -> ( A -cn-> CC ) = ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) )
8	7	eleq2d 2266	. . 3 |- ( A C_ CC -> ( F e. ( A -cn-> CC ) <-> F e. ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ) )
9		resttopon 14491	. . . . 5 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
10	4, 9	mpan 424	. . . 4 |- ( A C_ CC -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
11		cncnp 14550	. . . 4 |- ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) e. (TopOn ` A ) /\ ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC ) ) -> ( F e. ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) <-> ( F : A --> CC /\ A. x e. A F e. ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) CnP ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ` x ) ) ) )
12	10, 4, 11	sylancl 413	. . 3 |- ( A C_ CC -> ( F e. ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) <-> ( F : A --> CC /\ A. x e. A F e. ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) CnP ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ` x ) ) ) )
13	8, 12	bitrd 188	. 2 |- ( A C_ CC -> ( F e. ( A -cn-> CC ) <-> ( F : A --> CC /\ A. x e. A F e. ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) CnP ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ` x ) ) ) )
14	2, 3	cnplimcim 14987	. . . . 5 |- ( ( A C_ CC /\ x e. A ) -> ( F e. ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) CnP ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ` x ) -> ( F : A --> CC /\ ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) ) )
15		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( F : A --> CC /\ ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) -> ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) )
16	14, 15	syl6 33	. . . 4 |- ( ( A C_ CC /\ x e. A ) -> ( F e. ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) CnP ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ` x ) -> ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) )
17	16	ralimdva 2564	. . 3 |- ( A C_ CC -> ( A. x e. A F e. ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) CnP ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ` x ) -> A. x e. A ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) )
18	17	anim2d 337	. 2 |- ( A C_ CC -> ( ( F : A --> CC /\ A. x e. A F e. ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) CnP ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ` x ) ) -> ( F : A --> CC /\ A. x e. A ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) ) )
19	13, 18	sylbid 150	1 |- ( A C_ CC -> ( F e. ( A -cn-> CC ) -> ( F : A --> CC /\ A. x e. A ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   C_ wss 3157   o. ccom 4668   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7894   - cmin 8214   abscabs 11179   ↾_t crest 12941   MetOpencmopn 14173  TopOnctopon 14330   Cn ccn 14505   CnP ccnp 14506   -cn->ccncf 14890   lim CC climc 14974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-map 6718  df-pm 6719  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-xneg 9864  df-xadd 9865  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-rest 12943  df-topgen 12962  df-psmet 14175  df-xmet 14176  df-met 14177  df-bl 14178  df-mopn 14179  df-top 14318  df-topon 14331  df-bases 14363  df-cn 14508  df-cnp 14509  df-cncf 14891  df-limced 14976

This theorem is referenced by:  cnlimci  14993