Theorem cnlimcim 15662

Description: If F is a continuous function, the limit of the function at each point equals the value of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnlimcim	|- ( A C_ CC -> ( F e. ( A -cn-> CC ) -> ( F : A --> CC /\ A. x e. A ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, F

Proof of Theorem cnlimcim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3262	. . . . 5 |- CC C_ CC
2		eqid 2234	. . . . . 6 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
3		eqid 2234	. . . . . 6 |- ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) = ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A )
4	2	cntoptopon 15523	. . . . . . 7 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC )
5	4	toponrestid 15012	. . . . . 6 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t CC )
6	2, 3, 5	cncfcncntop 15584	. . . . 5 |- ( ( A C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( A -cn-> CC ) = ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) )
7	1, 6	mpan2 425	. . . 4 |- ( A C_ CC -> ( A -cn-> CC ) = ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) )
8	7	eleq2d 2304	. . 3 |- ( A C_ CC -> ( F e. ( A -cn-> CC ) <-> F e. ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ) )
9		resttopon 15162	. . . . 5 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
10	4, 9	mpan 424	. . . 4 |- ( A C_ CC -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
11		cncnp 15221	. . . 4 |- ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) e. (TopOn ` A ) /\ ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC ) ) -> ( F e. ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) <-> ( F : A --> CC /\ A. x e. A F e. ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) CnP ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ` x ) ) ) )
12	10, 4, 11	sylancl 413	. . 3 |- ( A C_ CC -> ( F e. ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) <-> ( F : A --> CC /\ A. x e. A F e. ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) CnP ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ` x ) ) ) )
13	8, 12	bitrd 188	. 2 |- ( A C_ CC -> ( F e. ( A -cn-> CC ) <-> ( F : A --> CC /\ A. x e. A F e. ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) CnP ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ` x ) ) ) )
14	2, 3	cnplimcim 15658	. . . . 5 |- ( ( A C_ CC /\ x e. A ) -> ( F e. ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) CnP ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ` x ) -> ( F : A --> CC /\ ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) ) )
15		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( F : A --> CC /\ ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) -> ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) )
16	14, 15	syl6 33	. . . 4 |- ( ( A C_ CC /\ x e. A ) -> ( F e. ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) CnP ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ` x ) -> ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) )
17	16	ralimdva 2611	. . 3 |- ( A C_ CC -> ( A. x e. A F e. ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) CnP ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ` x ) -> A. x e. A ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) )
18	17	anim2d 337	. 2 |- ( A C_ CC -> ( ( F : A --> CC /\ A. x e. A F e. ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) CnP ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ` x ) ) -> ( F : A --> CC /\ A. x e. A ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) ) )
19	13, 18	sylbid 150	1 |- ( A C_ CC -> ( F e. ( A -cn-> CC ) -> ( F : A --> CC /\ A. x e. A ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   C_ wss 3214   o. ccom 4758   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   - cmin 8460   abscabs 11707   ↾_t crest 13536   MetOpencmopn 14815  TopOnctopon 15001   Cn ccn 15176   CnP ccnp 15177   -cn->ccncf 15561   lim CC climc 15645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-map 6897  df-pm 6898  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-xneg 10124  df-xadd 10125  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-rest 13538  df-topgen 13557  df-psmet 14817  df-xmet 14818  df-met 14819  df-bl 14820  df-mopn 14821  df-top 14989  df-topon 15002  df-bases 15034  df-cn 15179  df-cnp 15180  df-cncf 15562  df-limced 15647

This theorem is referenced by:  cnlimci  15664