Theorem cnlimcim 14380

Description: If F is a continuous function, the limit of the function at each point equals the value of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnlimcim	|- ( A C_ CC -> ( F e. ( A -cn-> CC ) -> ( F : A --> CC /\ A. x e. A ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, F

Proof of Theorem cnlimcim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3187	. . . . 5 |- CC C_ CC
2		eqid 2187	. . . . . 6 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
3		eqid 2187	. . . . . 6 |- ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) = ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A )
4	2	cntoptopon 14272	. . . . . . 7 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC )
5	4	toponrestid 13761	. . . . . 6 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t CC )
6	2, 3, 5	cncfcncntop 14320	. . . . 5 |- ( ( A C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( A -cn-> CC ) = ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) )
7	1, 6	mpan2 425	. . . 4 |- ( A C_ CC -> ( A -cn-> CC ) = ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) )
8	7	eleq2d 2257	. . 3 |- ( A C_ CC -> ( F e. ( A -cn-> CC ) <-> F e. ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ) )
9		resttopon 13911	. . . . 5 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
10	4, 9	mpan 424	. . . 4 |- ( A C_ CC -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
11		cncnp 13970	. . . 4 |- ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) e. (TopOn ` A ) /\ ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC ) ) -> ( F e. ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) <-> ( F : A --> CC /\ A. x e. A F e. ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) CnP ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ` x ) ) ) )
12	10, 4, 11	sylancl 413	. . 3 |- ( A C_ CC -> ( F e. ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) <-> ( F : A --> CC /\ A. x e. A F e. ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) CnP ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ` x ) ) ) )
13	8, 12	bitrd 188	. 2 |- ( A C_ CC -> ( F e. ( A -cn-> CC ) <-> ( F : A --> CC /\ A. x e. A F e. ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) CnP ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ` x ) ) ) )
14	2, 3	cnplimcim 14376	. . . . 5 |- ( ( A C_ CC /\ x e. A ) -> ( F e. ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) CnP ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ` x ) -> ( F : A --> CC /\ ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) ) )
15		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( F : A --> CC /\ ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) -> ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) )
16	14, 15	syl6 33	. . . 4 |- ( ( A C_ CC /\ x e. A ) -> ( F e. ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) CnP ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ` x ) -> ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) )
17	16	ralimdva 2554	. . 3 |- ( A C_ CC -> ( A. x e. A F e. ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) CnP ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ` x ) -> A. x e. A ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) )
18	17	anim2d 337	. 2 |- ( A C_ CC -> ( ( F : A --> CC /\ A. x e. A F e. ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t A ) CnP ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) ` x ) ) -> ( F : A --> CC /\ A. x e. A ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) ) )
19	13, 18	sylbid 150	1 |- ( A C_ CC -> ( F e. ( A -cn-> CC ) -> ( F : A --> CC /\ A. x e. A ( F ` x ) e. ( F lim CC x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1363   e. wcel 2158   A.wral 2465   C_ wss 3141   o. ccom 4642   -->wf 5224   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   CCcc 7822   - cmin 8141   abscabs 11019   ↾_t crest 12705   MetOpencmopn 13671  TopOnctopon 13750   Cn ccn 13925   CnP ccnp 13926   -cn->ccncf 14297   lim CC climc 14363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-map 6663  df-pm 6664  df-sup 6996  df-inf 6997  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-xneg 9785  df-xadd 9786  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-rest 12707  df-topgen 12726  df-psmet 13673  df-xmet 13674  df-met 13675  df-bl 13676  df-mopn 13677  df-top 13738  df-topon 13751  df-bases 13783  df-cn 13928  df-cnp 13929  df-cncf 14298  df-limced 14365

This theorem is referenced by:  cnlimci  14382