Theorem toptopon2 14255

Description: A topology is the same thing as a topology on the union of its open sets. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
toptopon2	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))

Proof of Theorem toptopon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. 2 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2	1	toptopon 14254	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2167  ∪ cuni 3839  ‘cfv 5258  Topctop 14233  TopOnctopon 14246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-topon 14247

This theorem is referenced by:  topontopon  14256  lmreltop  14429  cnovex  14432  cnptopco  14458  cnptopresti  14474  lmtopcnp  14486  lmcn  14487  txcnmpt  14509  txdis1cn  14514  lmcn2  14516  cnmpt1t  14521  cnmpt12  14523  cnmpt21  14527  cnmpt21f  14528  cnmpt2t  14529  cnmpt22  14530  cnmpt22f  14531  cnmptcom  14534  limccnp2lem  14912  limccnp2cntop  14913