Theorem toptopon2 12029

Description: A topology is the same thing as a topology on the union of its open sets. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
toptopon2	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))

Proof of Theorem toptopon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2115	. 2 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2	1	toptopon 12028	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∈ wcel 1463  ∪ cuni 3702  ‘cfv 5081  Topctop 12007  TopOnctopon 12020

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fv 5089  df-topon 12021

This theorem is referenced by:  topontopon  12030  lmreltop  12205  cnptopco  12233  cnptopresti  12249  lmtopcnp  12261  lmcn  12262  txcnmpt  12284  txdis1cn  12289  lmcn2  12291  cnmpt1t  12296  cnmpt12  12298  cnmpt21  12302  cnmpt21f  12303  cnmpt2t  12304  cnmpt22  12305  cnmpt22f  12306  cnmptcom  12309  limccnp2lem  12601  limccnp2cntop  12602