Theorem toptopon2 12811

Description: A topology is the same thing as a topology on the union of its open sets. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
toptopon2	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))

Proof of Theorem toptopon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2170	. 2 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2	1	toptopon 12810	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∈ wcel 2141  ∪ cuni 3796  ‘cfv 5198  Topctop 12789  TopOnctopon 12802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-topon 12803

This theorem is referenced by:  topontopon  12812  lmreltop  12987  cnovex  12990  cnptopco  13016  cnptopresti  13032  lmtopcnp  13044  lmcn  13045  txcnmpt  13067  txdis1cn  13072  lmcn2  13074  cnmpt1t  13079  cnmpt12  13081  cnmpt21  13085  cnmpt21f  13086  cnmpt2t  13087  cnmpt22  13088  cnmpt22f  13089  cnmptcom  13092  limccnp2lem  13439  limccnp2cntop  13440