ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tposf12 GIF version

Theorem tposf12 6132
Description: Condition for an injective transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposf12 (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → tpos 𝐹:𝐴1-1𝐵))

Proof of Theorem tposf12
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . 4 ((Rel 𝐴𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹:𝐴1-1𝐵)
2 relcnv 4885 . . . . . . 7 Rel 𝐴
3 cnvf1o 6088 . . . . . . 7 (Rel 𝐴 → (𝑥𝐴 {𝑥}):𝐴1-1-onto𝐴)
4 f1of1 5332 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴 {𝑥}):𝐴1-1-onto𝐴 → (𝑥𝐴 {𝑥}):𝐴1-1𝐴)
52, 3, 4mp2b 8 . . . . . 6 (𝑥𝐴 {𝑥}):𝐴1-1𝐴
6 simpl 108 . . . . . . . 8 ((Rel 𝐴𝐹:𝐴1-1𝐵) → Rel 𝐴)
7 dfrel2 4957 . . . . . . . 8 (Rel 𝐴𝐴 = 𝐴)
86, 7sylib 121 . . . . . . 7 ((Rel 𝐴𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴 = 𝐴)
9 f1eq3 5293 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐴 → ((𝑥𝐴 {𝑥}):𝐴1-1𝐴 ↔ (𝑥𝐴 {𝑥}):𝐴1-1𝐴))
108, 9syl 14 . . . . . 6 ((Rel 𝐴𝐹:𝐴1-1𝐵) → ((𝑥𝐴 {𝑥}):𝐴1-1𝐴 ↔ (𝑥𝐴 {𝑥}):𝐴1-1𝐴))
115, 10mpbii 147 . . . . 5 ((Rel 𝐴𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝑥𝐴 {𝑥}):𝐴1-1𝐴)
12 f1dm 5301 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
131, 12syl 14 . . . . . . 7 ((Rel 𝐴𝐹:𝐴1-1𝐵) → dom 𝐹 = 𝐴)
1413cnveqd 4683 . . . . . 6 ((Rel 𝐴𝐹:𝐴1-1𝐵) → dom 𝐹 = 𝐴)
15 mpteq1 3980 . . . . . 6 (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝑥dom 𝐹 {𝑥}) = (𝑥𝐴 {𝑥}))
16 f1eq1 5291 . . . . . 6 ((𝑥dom 𝐹 {𝑥}) = (𝑥𝐴 {𝑥}) → ((𝑥dom 𝐹 {𝑥}):𝐴1-1𝐴 ↔ (𝑥𝐴 {𝑥}):𝐴1-1𝐴))
1714, 15, 163syl 17 . . . . 5 ((Rel 𝐴𝐹:𝐴1-1𝐵) → ((𝑥dom 𝐹 {𝑥}):𝐴1-1𝐴 ↔ (𝑥𝐴 {𝑥}):𝐴1-1𝐴))
1811, 17mpbird 166 . . . 4 ((Rel 𝐴𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝑥dom 𝐹 {𝑥}):𝐴1-1𝐴)
19 f1co 5308 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝑥dom 𝐹 {𝑥}):𝐴1-1𝐴) → (𝐹 ∘ (𝑥dom 𝐹 {𝑥})):𝐴1-1𝐵)
201, 18, 19syl2anc 406 . . 3 ((Rel 𝐴𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑥dom 𝐹 {𝑥})):𝐴1-1𝐵)
2112releqd 4591 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (Rel dom 𝐹 ↔ Rel 𝐴))
2221biimparc 295 . . . 4 ((Rel 𝐴𝐹:𝐴1-1𝐵) → Rel dom 𝐹)
23 dftpos2 6124 . . . 4 (Rel dom 𝐹 → tpos 𝐹 = (𝐹 ∘ (𝑥dom 𝐹 {𝑥})))
24 f1eq1 5291 . . . 4 (tpos 𝐹 = (𝐹 ∘ (𝑥dom 𝐹 {𝑥})) → (tpos 𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹 ∘ (𝑥dom 𝐹 {𝑥})):𝐴1-1𝐵))
2522, 23, 243syl 17 . . 3 ((Rel 𝐴𝐹:𝐴1-1𝐵) → (tpos 𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹 ∘ (𝑥dom 𝐹 {𝑥})):𝐴1-1𝐵))
2620, 25mpbird 166 . 2 ((Rel 𝐴𝐹:𝐴1-1𝐵) → tpos 𝐹:𝐴1-1𝐵)
2726ex 114 1 (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → tpos 𝐹:𝐴1-1𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1314  {csn 3495   cuni 3704  cmpt 3957  ccnv 4506  dom cdm 4507  ccom 4511  Rel wrel 4512  1-1wf1 5088  1-1-ontowf1o 5090  tpos ctpos 6107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-tpos 6108
This theorem is referenced by:  tposf1o2  6133
  Copyright terms: Public domain W3C validator