Theorem unsnfidcel 7118

Description: The ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 condition in unsnfi 7116. This is intended to show that unsnfi 7116 without that condition would not be provable but it probably would need to be strengthened (for example, to imply included middle) to fully show that. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unsnfidcel	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → DECID ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem unsnfidcel

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6939	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3	2	3ad2ant1 1044	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
4		isfi 6939	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
5	4	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
6	5	3ad2ant3 1046	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
8		simprr 533	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
9	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
10		simprr 533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
11	10	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝑛)
12		simplr 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝑚 = 𝑛)
13	11, 12	breqtrrd 4117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝑚)
14	13	ensymd 6962	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝑚 ≈ 𝐴)
15		entr 6963	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚 ∧ 𝑚 ≈ 𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝐴)
16	9, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝐴)
17	16	ensymd 6962	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
18		simp1 1023	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
19	18	ad4antr 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
20		simpl2 1027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
21	20	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
22	21	elexd 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
23		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
24	22, 23	eldifd 3209	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴))
25		php5fin 7076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
26	19, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
27	17, 26	pm2.65da 667	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) → ¬ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
28	27	olcd 741	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
29	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
30		snssi 3818	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → {𝐵} ⊆ 𝐴)
31		ssequn2 3379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝐵} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
32	30, 31	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
33	32	breq1d 4099	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚 ↔ 𝐴 ≈ 𝑚))
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚 ↔ 𝐴 ≈ 𝑚))
35	29, 34	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝑚)
36	35	ensymd 6962	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝑚 ≈ 𝐴)
37	10	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝑛)
38		entr 6963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝑛) → 𝑚 ≈ 𝑛)
39	36, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝑚 ≈ 𝑛)
40		simprl 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
41	40	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ω)
42		simprl 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ω)
43	42	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ ω)
44		nneneq 7048	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑚 ≈ 𝑛 ↔ 𝑚 = 𝑛))
45	41, 43, 44	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝑚 ≈ 𝑛 ↔ 𝑚 = 𝑛))
46	39, 45	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝑚 = 𝑛)
47		simplr 529	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑚 = 𝑛)
48	46, 47	pm2.65da 667	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
49	48	orcd 740	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
50	42	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → 𝑛 ∈ ω)
51		nndceq 6672	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → DECID 𝑚 = 𝑛)
52	40, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → DECID 𝑚 = 𝑛)
53		exmiddc 843	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑚 = 𝑛 → (𝑚 = 𝑛 ∨ ¬ 𝑚 = 𝑛))
54	52, 53	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → (𝑚 = 𝑛 ∨ ¬ 𝑚 = 𝑛))
55	28, 49, 54	mpjaodan 805	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
56	7, 55	rexlimddv 2654	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
57	3, 56	rexlimddv 2654	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
58		df-dc 842	. 2 ⊢ (DECID ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
59	57, 58	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → DECID ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715  DECID wdc 841   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ∃wrex 2510  Vcvv 2801   ∖ cdif 3196   ∪ cun 3197   ⊆ wss 3199  {csn 3670   class class class wbr 4089  ωcom 4690   ≈ cen 6912  Fincfn 6914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-tr 4189  df-id 4392  df-iord 4465  df-on 4467  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-1o 6587  df-er 6707  df-en 6915  df-fin 6917

This theorem is referenced by: (None)