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Theorem unsnfidcel 6825
 Description: The ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 condition in unsnfi 6823. This is intended to show that unsnfi 6823 without that condition would not be provable but it probably would need to be strengthened (for example, to imply included middle) to fully show that. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
unsnfidcel ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → DECID ¬ 𝐵𝐴)

Proof of Theorem unsnfidcel
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6666 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
21biimpi 119 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
323ad2ant1 1003 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
4 isfi 6666 . . . . . . 7 ((𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
54biimpi 119 . . . . . 6 ((𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
653ad2ant3 1005 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
76adantr 274 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
8 simprr 522 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
98ad2antrr 480 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
10 simprr 522 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → 𝐴𝑛)
1110ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝐴𝑛)
12 simplr 520 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝑚 = 𝑛)
1311, 12breqtrrd 3965 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝐴𝑚)
1413ensymd 6688 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝑚𝐴)
15 entr 6689 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚𝑚𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝐴)
169, 14, 15syl2anc 409 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝐴)
1716ensymd 6688 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
18 simp1 982 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
1918ad4antr 486 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
20 simpl2 986 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → 𝐵𝑉)
2120ad3antrrr 484 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝐵𝑉)
2221elexd 2703 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
23 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐵𝐴)
2422, 23eldifd 3087 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴))
25 php5fin 6787 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
2619, 24, 25syl2anc 409 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
2717, 26pm2.65da 651 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) → ¬ ¬ 𝐵𝐴)
2827olcd 724 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) → (¬ 𝐵𝐴 ∨ ¬ ¬ 𝐵𝐴))
298ad2antrr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
30 snssi 3673 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵𝐴 → {𝐵} ⊆ 𝐴)
31 ssequn2 3255 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐵} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
3230, 31sylib 121 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
3332breq1d 3948 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵𝐴 → ((𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚𝐴𝑚))
3433adantl 275 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵𝐴) → ((𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚𝐴𝑚))
3529, 34mpbid 146 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴𝑚)
3635ensymd 6688 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵𝐴) → 𝑚𝐴)
3710ad3antrrr 484 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴𝑛)
38 entr 6689 . . . . . . . . 9 ((𝑚𝐴𝐴𝑛) → 𝑚𝑛)
3936, 37, 38syl2anc 409 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵𝐴) → 𝑚𝑛)
40 simprl 521 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
4140ad2antrr 480 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵𝐴) → 𝑚 ∈ ω)
42 simprl 521 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → 𝑛 ∈ ω)
4342ad3antrrr 484 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵𝐴) → 𝑛 ∈ ω)
44 nneneq 6762 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑚𝑛𝑚 = 𝑛))
4541, 43, 44syl2anc 409 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑚𝑛𝑚 = 𝑛))
4639, 45mpbid 146 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵𝐴) → 𝑚 = 𝑛)
47 simplr 520 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝑚 = 𝑛)
4846, 47pm2.65da 651 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) → ¬ 𝐵𝐴)
4948orcd 723 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) → (¬ 𝐵𝐴 ∨ ¬ ¬ 𝐵𝐴))
5042adantr 274 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → 𝑛 ∈ ω)
51 nndceq 6406 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → DECID 𝑚 = 𝑛)
5240, 50, 51syl2anc 409 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → DECID 𝑚 = 𝑛)
53 exmiddc 822 . . . . . 6 (DECID 𝑚 = 𝑛 → (𝑚 = 𝑛 ∨ ¬ 𝑚 = 𝑛))
5452, 53syl 14 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → (𝑚 = 𝑛 ∨ ¬ 𝑚 = 𝑛))
5528, 49, 54mpjaodan 788 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → (¬ 𝐵𝐴 ∨ ¬ ¬ 𝐵𝐴))
567, 55rexlimddv 2558 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (¬ 𝐵𝐴 ∨ ¬ ¬ 𝐵𝐴))
573, 56rexlimddv 2558 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → (¬ 𝐵𝐴 ∨ ¬ ¬ 𝐵𝐴))
58 df-dc 821 . 2 (DECID ¬ 𝐵𝐴 ↔ (¬ 𝐵𝐴 ∨ ¬ ¬ 𝐵𝐴))
5957, 58sylibr 133 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → DECID ¬ 𝐵𝐴)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698  DECID wdc 820   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∃wrex 2418  Vcvv 2690   ∖ cdif 3074   ∪ cun 3075   ⊆ wss 3077  {csn 3533   class class class wbr 3938  ωcom 4514   ≈ cen 6643  Fincfn 6645 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4141  ax-un 4365  ax-setind 4462  ax-iinf 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-br 3939  df-opab 3999  df-tr 4036  df-id 4225  df-iord 4298  df-on 4300  df-suc 4303  df-iom 4515  df-xp 4556  df-rel 4557  df-cnv 4558  df-co 4559  df-dm 4560  df-rn 4561  df-res 4562  df-ima 4563  df-iota 5099  df-fun 5136  df-fn 5137  df-f 5138  df-f1 5139  df-fo 5140  df-f1o 5141  df-fv 5142  df-1o 6324  df-er 6440  df-en 6646  df-fin 6648 This theorem is referenced by: (None)
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