Theorem unsnfidcel 7091

Description: The ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 condition in unsnfi 7089. This is intended to show that unsnfi 7089 without that condition would not be provable but it probably would need to be strengthened (for example, to imply included middle) to fully show that. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unsnfidcel	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → DECID ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem unsnfidcel

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6920	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3	2	3ad2ant1 1042	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
4		isfi 6920	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
5	4	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
6	5	3ad2ant3 1044	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
8		simprr 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
9	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
10		simprr 531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
11	10	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝑛)
12		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝑚 = 𝑛)
13	11, 12	breqtrrd 4111	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝑚)
14	13	ensymd 6943	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝑚 ≈ 𝐴)
15		entr 6944	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚 ∧ 𝑚 ≈ 𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝐴)
16	9, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝐴)
17	16	ensymd 6943	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
18		simp1 1021	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
19	18	ad4antr 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
20		simpl2 1025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
21	20	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
22	21	elexd 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
23		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
24	22, 23	eldifd 3207	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴))
25		php5fin 7052	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
26	19, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
27	17, 26	pm2.65da 665	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) → ¬ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
28	27	olcd 739	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
29	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
30		snssi 3812	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → {𝐵} ⊆ 𝐴)
31		ssequn2 3377	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝐵} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
32	30, 31	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
33	32	breq1d 4093	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚 ↔ 𝐴 ≈ 𝑚))
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚 ↔ 𝐴 ≈ 𝑚))
35	29, 34	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝑚)
36	35	ensymd 6943	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝑚 ≈ 𝐴)
37	10	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝑛)
38		entr 6944	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝑛) → 𝑚 ≈ 𝑛)
39	36, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝑚 ≈ 𝑛)
40		simprl 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
41	40	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ω)
42		simprl 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ω)
43	42	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ ω)
44		nneneq 7026	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑚 ≈ 𝑛 ↔ 𝑚 = 𝑛))
45	41, 43, 44	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝑚 ≈ 𝑛 ↔ 𝑚 = 𝑛))
46	39, 45	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝑚 = 𝑛)
47		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑚 = 𝑛)
48	46, 47	pm2.65da 665	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
49	48	orcd 738	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
50	42	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → 𝑛 ∈ ω)
51		nndceq 6653	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → DECID 𝑚 = 𝑛)
52	40, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → DECID 𝑚 = 𝑛)
53		exmiddc 841	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑚 = 𝑛 → (𝑚 = 𝑛 ∨ ¬ 𝑚 = 𝑛))
54	52, 53	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → (𝑚 = 𝑛 ∨ ¬ 𝑚 = 𝑛))
55	28, 49, 54	mpjaodan 803	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
56	7, 55	rexlimddv 2653	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
57	3, 56	rexlimddv 2653	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
58		df-dc 840	. 2 ⊢ (DECID ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
59	57, 58	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → DECID ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713  DECID wdc 839   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509  Vcvv 2799   ∖ cdif 3194   ∪ cun 3195   ⊆ wss 3197  {csn 3666   class class class wbr 4083  ωcom 4682   ≈ cen 6893  Fincfn 6895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-1o 6568  df-er 6688  df-en 6896  df-fin 6898

This theorem is referenced by: (None)