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Theorem unsnfidcel 6738
Description: The ¬ 𝐵𝐴 condition in unsnfi 6736. This is intended to show that unsnfi 6736 without that condition would not be provable but it probably would need to be strengthened (for example, to imply included middle) to fully show that. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
unsnfidcel ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → DECID ¬ 𝐵𝐴)

Proof of Theorem unsnfidcel
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6585 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
21biimpi 119 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
323ad2ant1 970 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
4 isfi 6585 . . . . . . 7 ((𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
54biimpi 119 . . . . . 6 ((𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
653ad2ant3 972 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
76adantr 272 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
8 simprr 502 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
98ad2antrr 475 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
10 simprr 502 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → 𝐴𝑛)
1110ad3antrrr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝐴𝑛)
12 simplr 500 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝑚 = 𝑛)
1311, 12breqtrrd 3901 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝐴𝑚)
1413ensymd 6607 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝑚𝐴)
15 entr 6608 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚𝑚𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝐴)
169, 14, 15syl2anc 406 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝐴)
1716ensymd 6607 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
18 simp1 949 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
1918ad4antr 481 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
20 simpl2 953 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → 𝐵𝑉)
2120ad3antrrr 479 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝐵𝑉)
2221elexd 2654 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
23 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐵𝐴)
2422, 23eldifd 3031 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴))
25 php5fin 6705 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
2619, 24, 25syl2anc 406 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
2717, 26pm2.65da 628 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) → ¬ ¬ 𝐵𝐴)
2827olcd 694 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) → (¬ 𝐵𝐴 ∨ ¬ ¬ 𝐵𝐴))
298ad2antrr 475 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
30 snssi 3611 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵𝐴 → {𝐵} ⊆ 𝐴)
31 ssequn2 3196 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐵} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
3230, 31sylib 121 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
3332breq1d 3885 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵𝐴 → ((𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚𝐴𝑚))
3433adantl 273 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵𝐴) → ((𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚𝐴𝑚))
3529, 34mpbid 146 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴𝑚)
3635ensymd 6607 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵𝐴) → 𝑚𝐴)
3710ad3antrrr 479 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴𝑛)
38 entr 6608 . . . . . . . . 9 ((𝑚𝐴𝐴𝑛) → 𝑚𝑛)
3936, 37, 38syl2anc 406 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵𝐴) → 𝑚𝑛)
40 simprl 501 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
4140ad2antrr 475 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵𝐴) → 𝑚 ∈ ω)
42 simprl 501 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → 𝑛 ∈ ω)
4342ad3antrrr 479 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵𝐴) → 𝑛 ∈ ω)
44 nneneq 6680 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑚𝑛𝑚 = 𝑛))
4541, 43, 44syl2anc 406 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑚𝑛𝑚 = 𝑛))
4639, 45mpbid 146 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵𝐴) → 𝑚 = 𝑛)
47 simplr 500 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝑚 = 𝑛)
4846, 47pm2.65da 628 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) → ¬ 𝐵𝐴)
4948orcd 693 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) → (¬ 𝐵𝐴 ∨ ¬ ¬ 𝐵𝐴))
5042adantr 272 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → 𝑛 ∈ ω)
51 nndceq 6325 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → DECID 𝑚 = 𝑛)
5240, 50, 51syl2anc 406 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → DECID 𝑚 = 𝑛)
53 exmiddc 788 . . . . . 6 (DECID 𝑚 = 𝑛 → (𝑚 = 𝑛 ∨ ¬ 𝑚 = 𝑛))
5452, 53syl 14 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → (𝑚 = 𝑛 ∨ ¬ 𝑚 = 𝑛))
5528, 49, 54mpjaodan 753 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → (¬ 𝐵𝐴 ∨ ¬ ¬ 𝐵𝐴))
567, 55rexlimddv 2513 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (¬ 𝐵𝐴 ∨ ¬ ¬ 𝐵𝐴))
573, 56rexlimddv 2513 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → (¬ 𝐵𝐴 ∨ ¬ ¬ 𝐵𝐴))
58 df-dc 787 . 2 (DECID ¬ 𝐵𝐴 ↔ (¬ 𝐵𝐴 ∨ ¬ ¬ 𝐵𝐴))
5957, 58sylibr 133 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → DECID ¬ 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 670  DECID wdc 786  w3a 930   = wceq 1299  wcel 1448  wrex 2376  Vcvv 2641  cdif 3018  cun 3019  wss 3021  {csn 3474   class class class wbr 3875  ωcom 4442  cen 6562  Fincfn 6564
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-1o 6243  df-er 6359  df-en 6565  df-fin 6567
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