Theorem usgrf1oedg 16083

Description: The edge function of a simple graph is a 1-1 function onto the set of edges. (Contributed by AV, 18-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrf1oedg.i	|- I = (iEdg ` G )
usgrf1oedg.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
usgrf1oedg	|- ( G e. USGraph -> I : dom I -1-1-onto-> E )

Proof of Theorem usgrf1oedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrf1oedg.i	. . 3 |- I = (iEdg ` G )
2	1	usgrf1o 16052	. 2 |- ( G e. USGraph -> I : dom I -1-1-onto-> ran I )
3		usgrf1oedg.e	. . . 4 |- E = (Edg ` G )
4		edgvalg 15937	. . . . 5 |- ( G e. USGraph -> (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G ) )
5	1	eqcomi 2235	. . . . . 6 |- (iEdg ` G ) = I
6	5	rneqi 4960	. . . . 5 |- ran (iEdg ` G ) = ran I
7	4, 6	eqtrdi 2280	. . . 4 |- ( G e. USGraph -> (Edg ` G ) = ran I )
8	3, 7	eqtrid 2276	. . 3 |- ( G e. USGraph -> E = ran I )
9	8	f1oeq3d 5581	. 2 |- ( G e. USGraph -> ( I : dom I -1-1-onto-> E <-> I : dom I -1-1-onto-> ran I ) )
10	2, 9	mpbird 167	1 |- ( G e. USGraph -> I : dom I -1-1-onto-> E )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   dom cdm 4725   ran crn 4726   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326  iEdgciedg 15891  Edgcedg 15935  USGraphcusgr 16032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-addcom 8135  ax-mulcom 8136  ax-addass 8137  ax-mulass 8138  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-1rid 8142  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-cnre 8146

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-1st 6306  df-2nd 6307  df-sub 8355  df-inn 9147  df-2 9205  df-3 9206  df-4 9207  df-5 9208  df-6 9209  df-7 9210  df-8 9211  df-9 9212  df-n0 9406  df-dec 9615  df-ndx 13106  df-slot 13107  df-base 13109  df-edgf 15883  df-vtx 15892  df-iedg 15893  df-edg 15936  df-usgren 16034

This theorem is referenced by: (None)