Theorem uhgr2edg 15961

Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a hypergraph, there are more than one edges starting at this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 11-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrf1oedg.i	|- I = (iEdg ` G )
usgrf1oedg.e	|- E = (Edg ` G )
uhgr2edg.v	|- V = (Vtx ` G )

Assertion

Ref	Expression
uhgr2edg	|- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, A, y   x, B, y   y, G   x, I, y   x, N, y   x, V, y

Allowed substitution hints:   E( x, y)

Proof of Theorem uhgr2edg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1024	. . 3 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> G e. UHGraph )
2		simp1r 1025	. . 3 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> A =/= B )
3		simp23 1035	. . . 4 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> N e. V )
4		simp21 1033	. . . 4 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> A e. V )
5		3simpc 999	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) -> ( B e. V /\ N e. V ) )
6	5	3ad2ant2 1022	. . . 4 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( B e. V /\ N e. V ) )
7	3, 4, 6	jca31 309	. . 3 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) )
8	1, 2, 7	jca31 309	. 2 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) )
9		simp3 1002	. 2 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) )
10		usgrf1oedg.e	. . . . . . . . 9 |- E = (Edg ` G )
11	10	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( G e. UHGraph -> E = (Edg ` G ) )
12		edgvalg 15817	. . . . . . . 8 |- ( G e. UHGraph -> (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G ) )
13		usgrf1oedg.i	. . . . . . . . . . 11 |- I = (iEdg ` G )
14	13	eqcomi 2211	. . . . . . . . . 10 |- (iEdg ` G ) = I
15	14	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( G e. UHGraph -> (iEdg ` G ) = I )
16	15	rneqd 4927	. . . . . . . 8 |- ( G e. UHGraph -> ran (iEdg ` G ) = ran I )
17	11, 12, 16	3eqtrd 2244	. . . . . . 7 |- ( G e. UHGraph -> E = ran I )
18	17	eleq2d 2277	. . . . . 6 |- ( G e. UHGraph -> ( { N , A } e. E <-> { N , A } e. ran I ) )
19	17	eleq2d 2277	. . . . . 6 |- ( G e. UHGraph -> ( { B , N } e. E <-> { B , N } e. ran I ) )
20	18, 19	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( G e. UHGraph -> ( ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) <-> ( { N , A } e. ran I /\ { B , N } e. ran I ) ) )
21	13	uhgrfun 15834	. . . . . . 7 |- ( G e. UHGraph -> Fun I )
22	21	funfnd 5322	. . . . . 6 |- ( G e. UHGraph -> I Fn dom I )
23		fvelrnb 5651	. . . . . . 7 |- ( I Fn dom I -> ( { N , A } e. ran I <-> E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } ) )
24		fvelrnb 5651	. . . . . . 7 |- ( I Fn dom I -> ( { B , N } e. ran I <-> E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) )
25	23, 24	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( I Fn dom I -> ( ( { N , A } e. ran I /\ { B , N } e. ran I ) <-> ( E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } /\ E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) ) )
26	22, 25	syl 14	. . . . 5 |- ( G e. UHGraph -> ( ( { N , A } e. ran I /\ { B , N } e. ran I ) <-> ( E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } /\ E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) ) )
27	20, 26	bitrd 188	. . . 4 |- ( G e. UHGraph -> ( ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) <-> ( E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } /\ E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) ) )
28	27	ad2antrr 488	. . 3 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) <-> ( E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } /\ E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) ) )
29		reeanv 2679	. . . 4 |- ( E. x e. dom I E. y e. dom I ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) <-> ( E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } /\ E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) )
30		fveqeq2 5609	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( ( I ` x ) = { N , A } <-> ( I ` y ) = { N , A } ) )
31	30	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) <-> ( ( I ` y ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) )
32		eqtr2 2226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( I ` y ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> { N , A } = { B , N } )
33		prcom 3720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { B , N } = { N , B }
34	33	eqeq2i 2218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { N , A } = { B , N } <-> { N , A } = { N , B } )
35		preq12bg 3828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( N e. V /\ B e. V ) ) -> ( { N , A } = { N , B } <-> ( ( N = N /\ A = B ) \/ ( N = B /\ A = N ) ) ) )
36	35	ancom2s 566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) -> ( { N , A } = { N , B } <-> ( ( N = N /\ A = B ) \/ ( N = B /\ A = N ) ) ) )
37		eqneqall 2388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A = B -> ( A =/= B -> x =/= y ) )
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N = N /\ A = B ) -> ( A =/= B -> x =/= y ) )
39		eqtr 2225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A = N /\ N = B ) -> A = B )
40	39	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N = B /\ A = N ) -> A = B )
41	40, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N = B /\ A = N ) -> ( A =/= B -> x =/= y ) )
42	38, 41	jaoi 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N = N /\ A = B ) \/ ( N = B /\ A = N ) ) -> ( A =/= B -> x =/= y ) )
43	42	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N = N /\ A = B ) \/ ( N = B /\ A = N ) ) -> ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) -> x =/= y ) )
44	36, 43	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) -> ( { N , A } = { N , B } -> ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) -> x =/= y ) ) )
45	44	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { N , A } = { N , B } -> ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) -> ( ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) -> x =/= y ) ) )
46	45	impd 254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { N , A } = { N , B } -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> x =/= y ) )
47	34, 46	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { N , A } = { B , N } -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> x =/= y ) )
48	32, 47	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( I ` y ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> x =/= y ) )
49	31, 48	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> x =/= y ) ) )
50	49	impcomd 255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) -> x =/= y ) )
51	50	impcom 125	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) /\ x = y ) -> x =/= y )
52	51	neneqd 2399	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) /\ x = y ) -> -. x = y )
53	52	pm2.01da 637	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) -> -. x = y )
54	53	neqned 2385	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) -> x =/= y )
55		prid1g 3748	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. V -> N e. { N , A } )
56	55	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) -> N e. { N , A } )
57	56	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> N e. { N , A } )
58		eleq2 2271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I ` x ) = { N , A } -> ( N e. ( I ` x ) <-> N e. { N , A } ) )
59	57, 58	imbitrrid 156	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I ` x ) = { N , A } -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> N e. ( I ` x ) ) )
60	59	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> N e. ( I ` x ) ) )
61	60	impcom 125	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) -> N e. ( I ` x ) )
62		prid2g 3749	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. V -> N e. { B , N } )
63	62	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) -> N e. { B , N } )
64	63	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> N e. { B , N } )
65		eleq2 2271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I ` y ) = { B , N } -> ( N e. ( I ` y ) <-> N e. { B , N } ) )
66	64, 65	imbitrrid 156	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I ` y ) = { B , N } -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> N e. ( I ` y ) ) )
67	66	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> N e. ( I ` y ) ) )
68	67	impcom 125	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) -> N e. ( I ` y ) )
69	54, 61, 68	3jca 1180	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) -> ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) )
70	69	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) ) )
71	70	reximdv 2609	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( E. y e. dom I ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) ) )
72	71	reximdv 2609	. . . 4 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( E. x e. dom I E. y e. dom I ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) ) )
73	29, 72	biimtrrid 153	. . 3 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( ( E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } /\ E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) ) )
74	28, 73	sylbid 150	. 2 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) ) )
75	8, 9, 74	sylc 62	1 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   =/= wne 2378   E.wrex 2487   {cpr 3645   dom cdm 4694   ran crn 4695   Fn wfn 5286   ` cfv 5291  Vtxcvtx 15772  iEdgciedg 15773  Edgcedg 15815  UHGraphcuhgr 15824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-addcom 8062  ax-mulcom 8063  ax-addass 8064  ax-mulass 8065  ax-distr 8066  ax-i2m1 8067  ax-1rid 8069  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-cnre 8073

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-if 3581  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-id 4359  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-fo 5297  df-fv 5299  df-riota 5924  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-1st 6251  df-2nd 6252  df-sub 8282  df-inn 9074  df-2 9132  df-3 9133  df-4 9134  df-5 9135  df-6 9136  df-7 9137  df-8 9138  df-9 9139  df-n0 9333  df-dec 9542  df-ndx 12996  df-slot 12997  df-base 12999  df-edgf 15765  df-vtx 15774  df-iedg 15775  df-edg 15816  df-uhgrm 15826

This theorem is referenced by:  umgr2edg  15962