Theorem uhgr2edg 16188

Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a hypergraph, there are more than one edges starting at this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 11-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrf1oedg.i	|- I = (iEdg ` G )
usgrf1oedg.e	|- E = (Edg ` G )
uhgr2edg.v	|- V = (Vtx ` G )

Assertion

Ref	Expression
uhgr2edg	|- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, A, y   x, B, y   y, G   x, I, y   x, N, y   x, V, y

Allowed substitution hints:   E( x, y)

Proof of Theorem uhgr2edg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1048	. . 3 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> G e. UHGraph )
2		simp1r 1049	. . 3 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> A =/= B )
3		simp23 1059	. . . 4 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> N e. V )
4		simp21 1057	. . . 4 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> A e. V )
5		3simpc 1023	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) -> ( B e. V /\ N e. V ) )
6	5	3ad2ant2 1046	. . . 4 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( B e. V /\ N e. V ) )
7	3, 4, 6	jca31 309	. . 3 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) )
8	1, 2, 7	jca31 309	. 2 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) )
9		simp3 1026	. 2 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) )
10		usgrf1oedg.e	. . . . . . . . 9 |- E = (Edg ` G )
11	10	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( G e. UHGraph -> E = (Edg ` G ) )
12		edgvalg 16041	. . . . . . . 8 |- ( G e. UHGraph -> (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G ) )
13		usgrf1oedg.i	. . . . . . . . . . 11 |- I = (iEdg ` G )
14	13	eqcomi 2236	. . . . . . . . . 10 |- (iEdg ` G ) = I
15	14	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( G e. UHGraph -> (iEdg ` G ) = I )
16	15	rneqd 4985	. . . . . . . 8 |- ( G e. UHGraph -> ran (iEdg ` G ) = ran I )
17	11, 12, 16	3eqtrd 2269	. . . . . . 7 |- ( G e. UHGraph -> E = ran I )
18	17	eleq2d 2302	. . . . . 6 |- ( G e. UHGraph -> ( { N , A } e. E <-> { N , A } e. ran I ) )
19	17	eleq2d 2302	. . . . . 6 |- ( G e. UHGraph -> ( { B , N } e. E <-> { B , N } e. ran I ) )
20	18, 19	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( G e. UHGraph -> ( ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) <-> ( { N , A } e. ran I /\ { B , N } e. ran I ) ) )
21	13	uhgrfun 16059	. . . . . . 7 |- ( G e. UHGraph -> Fun I )
22	21	funfnd 5382	. . . . . 6 |- ( G e. UHGraph -> I Fn dom I )
23		fvelrnb 5723	. . . . . . 7 |- ( I Fn dom I -> ( { N , A } e. ran I <-> E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } ) )
24		fvelrnb 5723	. . . . . . 7 |- ( I Fn dom I -> ( { B , N } e. ran I <-> E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) )
25	23, 24	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( I Fn dom I -> ( ( { N , A } e. ran I /\ { B , N } e. ran I ) <-> ( E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } /\ E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) ) )
26	22, 25	syl 14	. . . . 5 |- ( G e. UHGraph -> ( ( { N , A } e. ran I /\ { B , N } e. ran I ) <-> ( E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } /\ E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) ) )
27	20, 26	bitrd 188	. . . 4 |- ( G e. UHGraph -> ( ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) <-> ( E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } /\ E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) ) )
28	27	ad2antrr 488	. . 3 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) <-> ( E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } /\ E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) ) )
29		reeanv 2713	. . . 4 |- ( E. x e. dom I E. y e. dom I ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) <-> ( E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } /\ E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) )
30		fveqeq2 5678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( ( I ` x ) = { N , A } <-> ( I ` y ) = { N , A } ) )
31	30	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) <-> ( ( I ` y ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) )
32		eqtr2 2251	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( I ` y ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> { N , A } = { B , N } )
33		prcom 3766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { B , N } = { N , B }
34	33	eqeq2i 2243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { N , A } = { B , N } <-> { N , A } = { N , B } )
35		preq12bg 3876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( N e. V /\ B e. V ) ) -> ( { N , A } = { N , B } <-> ( ( N = N /\ A = B ) \/ ( N = B /\ A = N ) ) ) )
36	35	ancom2s 568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) -> ( { N , A } = { N , B } <-> ( ( N = N /\ A = B ) \/ ( N = B /\ A = N ) ) ) )
37		eqneqall 2422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A = B -> ( A =/= B -> x =/= y ) )
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N = N /\ A = B ) -> ( A =/= B -> x =/= y ) )
39		eqtr 2250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A = N /\ N = B ) -> A = B )
40	39	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N = B /\ A = N ) -> A = B )
41	40, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N = B /\ A = N ) -> ( A =/= B -> x =/= y ) )
42	38, 41	jaoi 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N = N /\ A = B ) \/ ( N = B /\ A = N ) ) -> ( A =/= B -> x =/= y ) )
43	42	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N = N /\ A = B ) \/ ( N = B /\ A = N ) ) -> ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) -> x =/= y ) )
44	36, 43	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) -> ( { N , A } = { N , B } -> ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) -> x =/= y ) ) )
45	44	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { N , A } = { N , B } -> ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) -> ( ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) -> x =/= y ) ) )
46	45	impd 254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { N , A } = { N , B } -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> x =/= y ) )
47	34, 46	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { N , A } = { B , N } -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> x =/= y ) )
48	32, 47	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( I ` y ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> x =/= y ) )
49	31, 48	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> x =/= y ) ) )
50	49	impcomd 255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) -> x =/= y ) )
51	50	impcom 125	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) /\ x = y ) -> x =/= y )
52	51	neneqd 2433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) /\ x = y ) -> -. x = y )
53	52	pm2.01da 641	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) -> -. x = y )
54	53	neqned 2419	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) -> x =/= y )
55		prid1g 3794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. V -> N e. { N , A } )
56	55	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) -> N e. { N , A } )
57	56	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> N e. { N , A } )
58		eleq2 2296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I ` x ) = { N , A } -> ( N e. ( I ` x ) <-> N e. { N , A } ) )
59	57, 58	imbitrrid 156	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I ` x ) = { N , A } -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> N e. ( I ` x ) ) )
60	59	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> N e. ( I ` x ) ) )
61	60	impcom 125	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) -> N e. ( I ` x ) )
62		prid2g 3795	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. V -> N e. { B , N } )
63	62	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) -> N e. { B , N } )
64	63	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> N e. { B , N } )
65		eleq2 2296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I ` y ) = { B , N } -> ( N e. ( I ` y ) <-> N e. { B , N } ) )
66	64, 65	imbitrrid 156	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I ` y ) = { B , N } -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> N e. ( I ` y ) ) )
67	66	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> N e. ( I ` y ) ) )
68	67	impcom 125	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) -> N e. ( I ` y ) )
69	54, 61, 68	3jca 1204	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) -> ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) )
70	69	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) ) )
71	70	reximdv 2643	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( E. y e. dom I ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) ) )
72	71	reximdv 2643	. . . 4 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( E. x e. dom I E. y e. dom I ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) ) )
73	29, 72	biimtrrid 153	. . 3 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( ( E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } /\ E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) ) )
74	28, 73	sylbid 150	. 2 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) ) )
75	8, 9, 74	sylc 62	1 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   E.wrex 2521   {cpr 3689   dom cdm 4748   ran crn 4749   Fn wfn 5346   ` cfv 5351  Vtxcvtx 15994  iEdgciedg 15995  Edgcedg 16039  UHGraphcuhgr 16049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fo 5357  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-sub 8442  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-dec 9706  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-edgf 15987  df-vtx 15996  df-iedg 15997  df-edg 16040  df-uhgrm 16051

This theorem is referenced by:  umgr2edg  16189