Theorem uhgr2edg 16004

Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a hypergraph, there are more than one edges starting at this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 11-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrf1oedg.i	|- I = (iEdg ` G )
usgrf1oedg.e	|- E = (Edg ` G )
uhgr2edg.v	|- V = (Vtx ` G )

Assertion

Ref	Expression
uhgr2edg	|- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, A, y   x, B, y   y, G   x, I, y   x, N, y   x, V, y

Allowed substitution hints:   E( x, y)

Proof of Theorem uhgr2edg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1045	. . 3 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> G e. UHGraph )
2		simp1r 1046	. . 3 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> A =/= B )
3		simp23 1056	. . . 4 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> N e. V )
4		simp21 1054	. . . 4 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> A e. V )
5		3simpc 1020	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) -> ( B e. V /\ N e. V ) )
6	5	3ad2ant2 1043	. . . 4 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( B e. V /\ N e. V ) )
7	3, 4, 6	jca31 309	. . 3 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) )
8	1, 2, 7	jca31 309	. 2 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) )
9		simp3 1023	. 2 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) )
10		usgrf1oedg.e	. . . . . . . . 9 |- E = (Edg ` G )
11	10	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( G e. UHGraph -> E = (Edg ` G ) )
12		edgvalg 15860	. . . . . . . 8 |- ( G e. UHGraph -> (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G ) )
13		usgrf1oedg.i	. . . . . . . . . . 11 |- I = (iEdg ` G )
14	13	eqcomi 2233	. . . . . . . . . 10 |- (iEdg ` G ) = I
15	14	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( G e. UHGraph -> (iEdg ` G ) = I )
16	15	rneqd 4953	. . . . . . . 8 |- ( G e. UHGraph -> ran (iEdg ` G ) = ran I )
17	11, 12, 16	3eqtrd 2266	. . . . . . 7 |- ( G e. UHGraph -> E = ran I )
18	17	eleq2d 2299	. . . . . 6 |- ( G e. UHGraph -> ( { N , A } e. E <-> { N , A } e. ran I ) )
19	17	eleq2d 2299	. . . . . 6 |- ( G e. UHGraph -> ( { B , N } e. E <-> { B , N } e. ran I ) )
20	18, 19	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( G e. UHGraph -> ( ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) <-> ( { N , A } e. ran I /\ { B , N } e. ran I ) ) )
21	13	uhgrfun 15877	. . . . . . 7 |- ( G e. UHGraph -> Fun I )
22	21	funfnd 5349	. . . . . 6 |- ( G e. UHGraph -> I Fn dom I )
23		fvelrnb 5681	. . . . . . 7 |- ( I Fn dom I -> ( { N , A } e. ran I <-> E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } ) )
24		fvelrnb 5681	. . . . . . 7 |- ( I Fn dom I -> ( { B , N } e. ran I <-> E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) )
25	23, 24	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( I Fn dom I -> ( ( { N , A } e. ran I /\ { B , N } e. ran I ) <-> ( E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } /\ E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) ) )
26	22, 25	syl 14	. . . . 5 |- ( G e. UHGraph -> ( ( { N , A } e. ran I /\ { B , N } e. ran I ) <-> ( E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } /\ E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) ) )
27	20, 26	bitrd 188	. . . 4 |- ( G e. UHGraph -> ( ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) <-> ( E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } /\ E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) ) )
28	27	ad2antrr 488	. . 3 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) <-> ( E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } /\ E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) ) )
29		reeanv 2701	. . . 4 |- ( E. x e. dom I E. y e. dom I ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) <-> ( E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } /\ E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) )
30		fveqeq2 5636	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( ( I ` x ) = { N , A } <-> ( I ` y ) = { N , A } ) )
31	30	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) <-> ( ( I ` y ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) )
32		eqtr2 2248	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( I ` y ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> { N , A } = { B , N } )
33		prcom 3742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { B , N } = { N , B }
34	33	eqeq2i 2240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { N , A } = { B , N } <-> { N , A } = { N , B } )
35		preq12bg 3851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( N e. V /\ B e. V ) ) -> ( { N , A } = { N , B } <-> ( ( N = N /\ A = B ) \/ ( N = B /\ A = N ) ) ) )
36	35	ancom2s 566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) -> ( { N , A } = { N , B } <-> ( ( N = N /\ A = B ) \/ ( N = B /\ A = N ) ) ) )
37		eqneqall 2410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A = B -> ( A =/= B -> x =/= y ) )
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N = N /\ A = B ) -> ( A =/= B -> x =/= y ) )
39		eqtr 2247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A = N /\ N = B ) -> A = B )
40	39	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N = B /\ A = N ) -> A = B )
41	40, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N = B /\ A = N ) -> ( A =/= B -> x =/= y ) )
42	38, 41	jaoi 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N = N /\ A = B ) \/ ( N = B /\ A = N ) ) -> ( A =/= B -> x =/= y ) )
43	42	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N = N /\ A = B ) \/ ( N = B /\ A = N ) ) -> ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) -> x =/= y ) )
44	36, 43	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) -> ( { N , A } = { N , B } -> ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) -> x =/= y ) ) )
45	44	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { N , A } = { N , B } -> ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) -> ( ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) -> x =/= y ) ) )
46	45	impd 254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { N , A } = { N , B } -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> x =/= y ) )
47	34, 46	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { N , A } = { B , N } -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> x =/= y ) )
48	32, 47	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( I ` y ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> x =/= y ) )
49	31, 48	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> x =/= y ) ) )
50	49	impcomd 255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) -> x =/= y ) )
51	50	impcom 125	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) /\ x = y ) -> x =/= y )
52	51	neneqd 2421	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) /\ x = y ) -> -. x = y )
53	52	pm2.01da 639	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) -> -. x = y )
54	53	neqned 2407	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) -> x =/= y )
55		prid1g 3770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. V -> N e. { N , A } )
56	55	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) -> N e. { N , A } )
57	56	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> N e. { N , A } )
58		eleq2 2293	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I ` x ) = { N , A } -> ( N e. ( I ` x ) <-> N e. { N , A } ) )
59	57, 58	imbitrrid 156	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I ` x ) = { N , A } -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> N e. ( I ` x ) ) )
60	59	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> N e. ( I ` x ) ) )
61	60	impcom 125	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) -> N e. ( I ` x ) )
62		prid2g 3771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. V -> N e. { B , N } )
63	62	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) -> N e. { B , N } )
64	63	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> N e. { B , N } )
65		eleq2 2293	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I ` y ) = { B , N } -> ( N e. ( I ` y ) <-> N e. { B , N } ) )
66	64, 65	imbitrrid 156	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I ` y ) = { B , N } -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> N e. ( I ` y ) ) )
67	66	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> N e. ( I ` y ) ) )
68	67	impcom 125	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) -> N e. ( I ` y ) )
69	54, 61, 68	3jca 1201	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) -> ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) )
70	69	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) ) )
71	70	reximdv 2631	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( E. y e. dom I ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) ) )
72	71	reximdv 2631	. . . 4 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( E. x e. dom I E. y e. dom I ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) ) )
73	29, 72	biimtrrid 153	. . 3 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( ( E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } /\ E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) ) )
74	28, 73	sylbid 150	. 2 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) ) )
75	8, 9, 74	sylc 62	1 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   E.wrex 2509   {cpr 3667   dom cdm 4719   ran crn 4720   Fn wfn 5313   ` cfv 5318  Vtxcvtx 15813  iEdgciedg 15814  Edgcedg 15858  UHGraphcuhgr 15867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fo 5324  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-sub 8319  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-7 9174  df-8 9175  df-9 9176  df-n0 9370  df-dec 9579  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-edgf 15806  df-vtx 15815  df-iedg 15816  df-edg 15859  df-uhgrm 15869

This theorem is referenced by:  umgr2edg  16005