Theorem xleadd2a 9966

Description: Commuted form of xleadd1a 9965. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xleadd2a	|- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( C +e A ) <_ ( C +e B ) )

Proof of Theorem xleadd2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xleadd1a 9965	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
2		xaddcom 9953	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e C ) = ( C +e A ) )
3	2	3adant2 1018	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e C ) = ( C +e A ) )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( A +e C ) = ( C +e A ) )
5		xaddcom 9953	. . . 4 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( B +e C ) = ( C +e B ) )
6	5	3adant1 1017	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( B +e C ) = ( C +e B ) )
7	6	adantr 276	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( B +e C ) = ( C +e B ) )
8	1, 4, 7	3brtr3d 4065	1 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( C +e A ) <_ ( C +e B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925   RR*cxr 8077   <_ cle 8079   +ecxad 9862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-xadd 9865

This theorem is referenced by:  xle2add  9971  xrmaxaddlem  11442