ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xleadd1 Unicode version
Theorem xleadd1 10032
Description: Weakened version of xleadd1a 10030 under which the reverse implication is true. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xleadd1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) ) )
Proof of Theorem xleadd1
StepHypRef Expression
1 rexr 8153 . . 3 |- ( C e. RR -> C e. RR* )
2 xleadd1a 10030 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
32ex 115 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ B -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) ) )
41, 3syl3an3 1285 . 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( A <_ B -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) ) )
5 simp1 1000 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> A e. RR* )
613ad2ant3 1023 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> C e. RR* )
7 xaddcl 10017 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e C ) e. RR* )
85, 6, 7syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( A +e C ) e. RR* )
9 simp2 1001 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> B e. RR* )
10 xaddcl 10017 . . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( B +e C ) e. RR* )
119, 6, 10syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( B +e C ) e. RR* )
12 xnegcl 9989 . . . . 5 |- ( C e. RR* -> -e C e. RR* )
136, 12syl 14 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> -e C e. RR* )
14 xleadd1a 10030 . . . . 5 |- ( ( ( ( A +e C ) e. RR* /\ ( B +e C ) e. RR* /\ -e C e. RR* ) /\ ( A +e C ) <_ ( B +e C ) ) -> ( ( A +e C ) +e -e C ) <_ ( ( B +e C ) +e -e C ) )
1514ex 115 . . . 4 |- ( ( ( A +e C ) e. RR* /\ ( B +e C ) e. RR* /\ -e C e. RR* ) -> ( ( A +e C ) <_ ( B +e C ) -> ( ( A +e C ) +e -e C ) <_ ( ( B +e C ) +e -e C ) ) )
168, 11, 13, 15syl3anc 1250 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( A +e C ) <_ ( B +e C ) -> ( ( A +e C ) +e -e C ) <_ ( ( B +e C ) +e -e C ) ) )
17 xpncan 10028 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( A +e C ) +e -e C ) = A )
18173adant2 1019 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( A +e C ) +e -e C ) = A )
19 xpncan 10028 . . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( B +e C ) +e -e C ) = B )
20193adant1 1018 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( B +e C ) +e -e C ) = B )
2118, 20breq12d 4072 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( ( A +e C ) +e -e C ) <_ ( ( B +e C ) +e -e C ) <-> A <_ B ) )
2216, 21sylibd 149 . 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( A +e C ) <_ ( B +e C ) -> A <_ B ) )
234, 22impbid 129 1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   RRcr 7959   RR*cxr 8141   <_ cle 8143   -ecxne 9926   +ecxad 9927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-xneg 9929  df-xadd 9930
This theorem is referenced by:  xsubge0  10038  xlesubadd  10040
  Copyright terms: Public domain W3C validator