ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xleadd1 Unicode version

Theorem xleadd1 9687
Description: Weakened version of xleadd1a 9685 under which the reverse implication is true. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xleadd1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) ) )

Proof of Theorem xleadd1
StepHypRef Expression
1 rexr 7834 . . 3  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  RR* )
2 xleadd1a 9685 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )
32ex 114 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <_  B  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) ) )
41, 3syl3an3 1252 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) ) )
5 simp1 982 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  A  e.  RR* )
613ad2ant3 1005 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  C  e.  RR* )
7 xaddcl 9672 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A +e C )  e.  RR* )
85, 6, 7syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  ( A +e C )  e.  RR* )
9 simp2 983 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
10 xaddcl 9672 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B +e C )  e.  RR* )
119, 6, 10syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  ( B +e C )  e.  RR* )
12 xnegcl 9644 . . . . 5  |-  ( C  e.  RR*  ->  -e
C  e.  RR* )
136, 12syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  -e
C  e.  RR* )
14 xleadd1a 9685 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A +e C )  e. 
RR*  /\  ( B +e C )  e.  RR*  /\  -e
C  e.  RR* )  /\  ( A +e
C )  <_  ( B +e C ) )  ->  ( ( A +e C ) +e  -e
C )  <_  (
( B +e
C ) +e  -e C ) )
1514ex 114 . . . 4  |-  ( ( ( A +e
C )  e.  RR*  /\  ( B +e
C )  e.  RR*  /\  -e C  e. 
RR* )  ->  (
( A +e
C )  <_  ( B +e C )  ->  ( ( A +e C ) +e  -e
C )  <_  (
( B +e
C ) +e  -e C ) ) )
168, 11, 13, 15syl3anc 1217 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A +e
C )  <_  ( B +e C )  ->  ( ( A +e C ) +e  -e
C )  <_  (
( B +e
C ) +e  -e C ) ) )
17 xpncan 9683 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A +e
C ) +e  -e C )  =  A )
18173adant2 1001 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A +e
C ) +e  -e C )  =  A )
19 xpncan 9683 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  (
( B +e
C ) +e  -e C )  =  B )
20193adant1 1000 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  (
( B +e
C ) +e  -e C )  =  B )
2118, 20breq12d 3949 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  (
( ( A +e C ) +e  -e C )  <_  ( ( B +e C ) +e  -e
C )  <->  A  <_  B ) )
2216, 21sylibd 148 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A +e
C )  <_  ( B +e C )  ->  A  <_  B
) )
234, 22impbid 128 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    /\ w3a 963    = wceq 1332    e. wcel 1481   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781   RRcr 7642   RR*cxr 7822    <_ cle 7824    -ecxne 9585   +ecxad 9586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-xneg 9588  df-xadd 9589
This theorem is referenced by:  xsubge0  9693  xlesubadd  9695
  Copyright terms: Public domain W3C validator