ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xleadd1 Unicode version
Theorem xleadd1 10171
Description: Weakened version of xleadd1a 10169 under which the reverse implication is true. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xleadd1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) ) )
Proof of Theorem xleadd1
StepHypRef Expression
1 rexr 8284 . . 3 |- ( C e. RR -> C e. RR* )
2 xleadd1a 10169 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
32ex 115 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ B -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) ) )
41, 3syl3an3 1309 . 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( A <_ B -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) ) )
5 simp1 1024 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> A e. RR* )
613ad2ant3 1047 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> C e. RR* )
7 xaddcl 10156 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e C ) e. RR* )
85, 6, 7syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( A +e C ) e. RR* )
9 simp2 1025 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> B e. RR* )
10 xaddcl 10156 . . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( B +e C ) e. RR* )
119, 6, 10syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( B +e C ) e. RR* )
12 xnegcl 10128 . . . . 5 |- ( C e. RR* -> -e C e. RR* )
136, 12syl 14 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> -e C e. RR* )
14 xleadd1a 10169 . . . . 5 |- ( ( ( ( A +e C ) e. RR* /\ ( B +e C ) e. RR* /\ -e C e. RR* ) /\ ( A +e C ) <_ ( B +e C ) ) -> ( ( A +e C ) +e -e C ) <_ ( ( B +e C ) +e -e C ) )
1514ex 115 . . . 4 |- ( ( ( A +e C ) e. RR* /\ ( B +e C ) e. RR* /\ -e C e. RR* ) -> ( ( A +e C ) <_ ( B +e C ) -> ( ( A +e C ) +e -e C ) <_ ( ( B +e C ) +e -e C ) ) )
168, 11, 13, 15syl3anc 1274 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( A +e C ) <_ ( B +e C ) -> ( ( A +e C ) +e -e C ) <_ ( ( B +e C ) +e -e C ) ) )
17 xpncan 10167 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( A +e C ) +e -e C ) = A )
18173adant2 1043 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( A +e C ) +e -e C ) = A )
19 xpncan 10167 . . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( B +e C ) +e -e C ) = B )
20193adant1 1042 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( B +e C ) +e -e C ) = B )
2118, 20breq12d 4106 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( ( A +e C ) +e -e C ) <_ ( ( B +e C ) +e -e C ) <-> A <_ B ) )
2216, 21sylibd 149 . 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( A +e C ) <_ ( B +e C ) -> A <_ B ) )
234, 22impbid 129 1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   RRcr 8091   RR*cxr 8272   <_ cle 8274   -ecxne 10065   +ecxad 10066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-xneg 10068  df-xadd 10069
This theorem is referenced by:  xsubge0  10177  xlesubadd  10179
  Copyright terms: Public domain W3C validator