ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xleadd1 Unicode version
Theorem xleadd1 10100
Description: Weakened version of xleadd1a 10098 under which the reverse implication is true. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xleadd1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) ) )
Proof of Theorem xleadd1
StepHypRef Expression
1 rexr 8215 . . 3 |- ( C e. RR -> C e. RR* )
2 xleadd1a 10098 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
32ex 115 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ B -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) ) )
41, 3syl3an3 1306 . 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( A <_ B -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) ) )
5 simp1 1021 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> A e. RR* )
613ad2ant3 1044 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> C e. RR* )
7 xaddcl 10085 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e C ) e. RR* )
85, 6, 7syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( A +e C ) e. RR* )
9 simp2 1022 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> B e. RR* )
10 xaddcl 10085 . . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( B +e C ) e. RR* )
119, 6, 10syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( B +e C ) e. RR* )
12 xnegcl 10057 . . . . 5 |- ( C e. RR* -> -e C e. RR* )
136, 12syl 14 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> -e C e. RR* )
14 xleadd1a 10098 . . . . 5 |- ( ( ( ( A +e C ) e. RR* /\ ( B +e C ) e. RR* /\ -e C e. RR* ) /\ ( A +e C ) <_ ( B +e C ) ) -> ( ( A +e C ) +e -e C ) <_ ( ( B +e C ) +e -e C ) )
1514ex 115 . . . 4 |- ( ( ( A +e C ) e. RR* /\ ( B +e C ) e. RR* /\ -e C e. RR* ) -> ( ( A +e C ) <_ ( B +e C ) -> ( ( A +e C ) +e -e C ) <_ ( ( B +e C ) +e -e C ) ) )
168, 11, 13, 15syl3anc 1271 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( A +e C ) <_ ( B +e C ) -> ( ( A +e C ) +e -e C ) <_ ( ( B +e C ) +e -e C ) ) )
17 xpncan 10096 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( A +e C ) +e -e C ) = A )
18173adant2 1040 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( A +e C ) +e -e C ) = A )
19 xpncan 10096 . . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( B +e C ) +e -e C ) = B )
20193adant1 1039 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( B +e C ) +e -e C ) = B )
2118, 20breq12d 4099 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( ( A +e C ) +e -e C ) <_ ( ( B +e C ) +e -e C ) <-> A <_ B ) )
2216, 21sylibd 149 . 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( A +e C ) <_ ( B +e C ) -> A <_ B ) )
234, 22impbid 129 1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013   RRcr 8021   RR*cxr 8203   <_ cle 8205   -ecxne 9994   +ecxad 9995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-xneg 9997  df-xadd 9998
This theorem is referenced by:  xsubge0  10106  xlesubadd  10108
  Copyright terms: Public domain W3C validator