ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xleadd1 Unicode version
Theorem xleadd1 10115
Description: Weakened version of xleadd1a 10113 under which the reverse implication is true. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xleadd1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) ) )
Proof of Theorem xleadd1
StepHypRef Expression
1 rexr 8230 . . 3 |- ( C e. RR -> C e. RR* )
2 xleadd1a 10113 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
32ex 115 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ B -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) ) )
41, 3syl3an3 1308 . 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( A <_ B -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) ) )
5 simp1 1023 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> A e. RR* )
613ad2ant3 1046 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> C e. RR* )
7 xaddcl 10100 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e C ) e. RR* )
85, 6, 7syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( A +e C ) e. RR* )
9 simp2 1024 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> B e. RR* )
10 xaddcl 10100 . . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( B +e C ) e. RR* )
119, 6, 10syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( B +e C ) e. RR* )
12 xnegcl 10072 . . . . 5 |- ( C e. RR* -> -e C e. RR* )
136, 12syl 14 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> -e C e. RR* )
14 xleadd1a 10113 . . . . 5 |- ( ( ( ( A +e C ) e. RR* /\ ( B +e C ) e. RR* /\ -e C e. RR* ) /\ ( A +e C ) <_ ( B +e C ) ) -> ( ( A +e C ) +e -e C ) <_ ( ( B +e C ) +e -e C ) )
1514ex 115 . . . 4 |- ( ( ( A +e C ) e. RR* /\ ( B +e C ) e. RR* /\ -e C e. RR* ) -> ( ( A +e C ) <_ ( B +e C ) -> ( ( A +e C ) +e -e C ) <_ ( ( B +e C ) +e -e C ) ) )
168, 11, 13, 15syl3anc 1273 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( A +e C ) <_ ( B +e C ) -> ( ( A +e C ) +e -e C ) <_ ( ( B +e C ) +e -e C ) ) )
17 xpncan 10111 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( A +e C ) +e -e C ) = A )
18173adant2 1042 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( A +e C ) +e -e C ) = A )
19 xpncan 10111 . . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( B +e C ) +e -e C ) = B )
20193adant1 1041 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( B +e C ) +e -e C ) = B )
2118, 20breq12d 4102 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( ( A +e C ) +e -e C ) <_ ( ( B +e C ) +e -e C ) <-> A <_ B ) )
2216, 21sylibd 149 . 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( A +e C ) <_ ( B +e C ) -> A <_ B ) )
234, 22impbid 129 1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2201   class class class wbr 4089  (class class class)co 6023   RRcr 8036   RR*cxr 8218   <_ cle 8220   -ecxne 10009   +ecxad 10010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-xneg 10012  df-xadd 10013
This theorem is referenced by:  xsubge0  10121  xlesubadd  10123
  Copyright terms: Public domain W3C validator