ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xleadd1 Unicode version
Theorem xleadd1 9999
Description: Weakened version of xleadd1a 9997 under which the reverse implication is true. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xleadd1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) ) )
Proof of Theorem xleadd1
StepHypRef Expression
1 rexr 8120 . . 3 |- ( C e. RR -> C e. RR* )
2 xleadd1a 9997 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) )
32ex 115 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ B -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) ) )
41, 3syl3an3 1285 . 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( A <_ B -> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) ) )
5 simp1 1000 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> A e. RR* )
613ad2ant3 1023 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> C e. RR* )
7 xaddcl 9984 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e C ) e. RR* )
85, 6, 7syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( A +e C ) e. RR* )
9 simp2 1001 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> B e. RR* )
10 xaddcl 9984 . . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( B +e C ) e. RR* )
119, 6, 10syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( B +e C ) e. RR* )
12 xnegcl 9956 . . . . 5 |- ( C e. RR* -> -e C e. RR* )
136, 12syl 14 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> -e C e. RR* )
14 xleadd1a 9997 . . . . 5 |- ( ( ( ( A +e C ) e. RR* /\ ( B +e C ) e. RR* /\ -e C e. RR* ) /\ ( A +e C ) <_ ( B +e C ) ) -> ( ( A +e C ) +e -e C ) <_ ( ( B +e C ) +e -e C ) )
1514ex 115 . . . 4 |- ( ( ( A +e C ) e. RR* /\ ( B +e C ) e. RR* /\ -e C e. RR* ) -> ( ( A +e C ) <_ ( B +e C ) -> ( ( A +e C ) +e -e C ) <_ ( ( B +e C ) +e -e C ) ) )
168, 11, 13, 15syl3anc 1250 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( A +e C ) <_ ( B +e C ) -> ( ( A +e C ) +e -e C ) <_ ( ( B +e C ) +e -e C ) ) )
17 xpncan 9995 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( A +e C ) +e -e C ) = A )
18173adant2 1019 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( A +e C ) +e -e C ) = A )
19 xpncan 9995 . . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( B +e C ) +e -e C ) = B )
20193adant1 1018 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( B +e C ) +e -e C ) = B )
2118, 20breq12d 4058 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( ( A +e C ) +e -e C ) <_ ( ( B +e C ) +e -e C ) <-> A <_ B ) )
2216, 21sylibd 149 . 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( A +e C ) <_ ( B +e C ) -> A <_ B ) )
234, 22impbid 129 1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A +e C ) <_ ( B +e C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   class class class wbr 4045  (class class class)co 5946   RRcr 7926   RR*cxr 8108   <_ cle 8110   -ecxne 9893   +ecxad 9894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-xneg 9896  df-xadd 9897
This theorem is referenced by:  xsubge0  10005  xlesubadd  10007
  Copyright terms: Public domain W3C validator